Exercicis: Concepte

Un creador de contingut analitza l'evolució dels seus seguidors en una xarxa social durant la darrera setmana. El nombre de seguidors $S$ en funció del dia $t$ ve donat per l'expressió $S(t) = t^2 + 10t + 500$. Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) dels seus seguidors entre el dia $t=1$ i el dia $t=4$. Explica amb les teves paraules què significa el resultat obtingut en el context del problema.

Observa la gràfica següent, que representa l'evolució del preu d'una criptomoneda en un matí. Llegeix-hi els valors de $f(1)$ i $f(5)$ i calcula la Taxa de Variació Mitjana en l'interval $[1, 5]$, interpretant-la com el pendent de la recta secant que passa per aquests dos punts.

La velocitat d'un patinet elèctric durant els primers segons d'un trajecte segueix la funció $v(t) = 0,5t^2 + 2$, on $v$ és la velocitat en m/s i $t$ el temps en segons.

1. a) Calcula la TVM en els intervals $[2, 3]$ i $[2, 2,1]$.
2. b) A quin valor creus que s'aproxima la variació quan l'interval és cada vegada més petit al voltant de $t=2$?

Donada la funció lineal $f(x) = 4x - 3$, utilitza la definició de derivada en un punt mitjançant el límit:

per calcular el valor de la derivada en el punt $x=2$. Comprova si el resultat coincideix amb el pendent de la recta.

Associa cadascun dels punts marcats en la gràfica ($A$, $B$ i $C$) amb el signe de la derivada de la funció en aquest punt (positiva, negativa o zero). Justifica la teva resposta dibuixant mentalment la recta tangent en cada punt.

Una petita empresa de fabricació de fundes per a mòbils ha estimat que els seus costos diaris (en euros) depenen del nombre d'unitats fabricades $x$ segons la funció $C(x) = x^2 - 4x + 100$.

Calcula la Taxa de Variació Instantània del cost quan es produeixen exactament 5 unitats, aplicant la definició de derivada:

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 + 1$ en el punt d'abscissa $x=1$, sabent que el valor de la derivada en aquest punt és $f'(1) = 2$.

(Recorda que l'equació de la recta tangent és $y - f(a) = f'(a)(x - a)$).

Calcula, mitjançant la definició de límit, la funció derivada de la funció constant $f(x) = 7$. Basant-te en la interpretació geomètrica de la derivada com a «taxa de canvi» o «pendent», explica per què té sentit que el resultat sigui $0$.

Per analitzar el ritme de vendes d'una petita llibreria durant la seva primera setmana, s'utilitza la funció $V(t) = t^2 + 4t + 10$, on $t$ és el temps en dies i $V(t)$ el nombre d'exemplars venuts acumulats. En Marcos vol calcular la taxa de variació mitjana entre el dia $t = 1$ i el dia $t = 4$, i presenta la resolució següent:

A partir d'aquesta dada, en Marcos conclou que el dia $t = 2$ la llibreria va vendre exactament $6,75$ llibres més que el dia $t = 1$.

1. a) Localitza i explica els dos errors conceptuals comesos per en Marcos: un en l'aplicació de la fórmula de la $\text{TVM}$ i un altre en la interpretació d'allò que representa una mitjana enfront d'una variació diària puntual.
2. b) Corregeix el càlcul obtenint el valor veritable de la $\text{TVM}[1, 4]$.
3. c) Redacta una conclusió correcta que descrigui l'evolució de les vendes de la llibreria en aquest període utilitzant el valor corregit.

La temperatura $T$ (en graus Celsius) registrada per una estació meteorològica de l'AEMET en una localitat de l'interior peninsular ve donada, durant les primeres hores del matí, per la funció $T(t) = -0,5t^2 + 4t + 12$, on $t$ és el temps en hores transcorregudes des de les 8:00 (amb $0 \le t \le 5$).

1. a) Sense fer càlculs analítics previs, observa l'expressió quadràtica i estima de manera raonada si a les 9:00 ($t = 1$) la temperatura estarà augmentant o disminuint. A partir d'aquesta deducció, quin signe esperes que tingui la taxa de variació instantània $T'(1)$?
2. b) Calcula la taxa de variació mitjana de la temperatura en els intervals de temps $[1; 1,1]$ i $[1; 1,01]$, expressant els resultats amb les unitats corresponents.
3. c) En vista dels resultats numèrics obtinguts a l'apartat b), estima raonadament el valor exacte de la derivada $T'(1)$. Comprova si coincideix amb la teva predicció de l'apartat a) i interpreta què significa aquest valor per a la població d'aquest municipi a les 9:00.

Una plataforma de streaming ha analitzat el creixement dels seus subscriptors durant els primers mesos de l'any. La funció que estima el nombre de subscriptors (en milers) ve donada per $S(t) = t^2 + 2t + 10$, on $t$ és el temps mesurat en mesos des de l'inici de l'any ($t=0$ és el 1 de gener).

1. a) Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) del nombre de subscriptors entre el segon mes ($t=2$) i el cinquè mes ($t=5$).
2. b) Explica el significat del resultat obtingut en el context del problema.
3. c) Seria correcte afirmar que la plataforma va guanyar exactament aquesta quantitat de subscriptors cada mes durant aquest període? Raona la teva resposta.

Calcula, utilitzant estrictament la definició de derivada en un punt (mitjançant el límit quan $h \to 0$), el valor de $f'(3)$ per a la funció:

La gràfica següent mostra el perfil d'una muntanya russa en un tram específic. Se sap que el pendent de la via en un punt determina la sensació d'acceleració dels passatgers.

Basant-te en el concepte geomètric de la derivada:

1. a) És nul·la la derivada en algun dels tres punts assenyalats ($A$, $B$ o $C$)? Què significa que la derivada sigui nul·la respecte a la inclinació de la via?
2. b) Indica si la derivada en el punt $B$ és positiva o negativa. Justifica si la vagoneta està pujant o baixant en aquest instant.
3. c) Ordena de menor a major els valors de les derivades en els punts $A, B$ i $C$.

Donada la funció $f(x) = \frac{4}{x}$, es demana:

1. a) Trobar la Taxa de Variació Instantània (TVI) en el punt d'abscissa $x = 2$ utilitzant el límit de la Taxa de Variació Mitjana.
2. b) Determina l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest punt $x = 2$.

Un petit comerç de roba ha estimat que els seus beneficis diaris (en euros) depenen del nombre d'articles rebaixats ($x$) segons la funció $B(x) = -x^2 + 40x - 300$.

1. a) Calcula la funció derivada $B'(x)$ utilitzant les regles de derivació.
2. b) Calcula $B'(15)$ i $B'(25)$.
3. c) Interpreta els resultats de l'apartat anterior: Li convé al comerciant augmentar el nombre d'articles rebaixats si actualment en té 15? I si en té 25? Raona la teva resposta fent servir el concepte de variació instantània.

El concepte de derivada permet aproximar el valor d'una funció a prop d'un punt conegut. Observa l'esquema següent on es mostra una funció i la seva recta tangent en el punt $P(1, 2)$.

Si sabem que l'equació de la recta tangent taronja és $y = 3x - 1$:

1. a) Quin és el valor de la derivada de la funció a $x = 1$? Justifica la teva resposta.
2. b) Si volguéssim saber el valor de la funció a $x = 1,1$, quin valor obtindríem si utilitzéssim la recta tangent per aproximar-ho?
3. c) Creus que per a $x = 5$ la recta tangent continuaria sent una bona aproximació de la funció? Explica per què.

Es diu que una funció és "derivable" en un punt si la seva gràfica no presenta salts ni pics angulosos en aquest lloc. Analitza la funció següent definida a trossos:

1. a) Comprova si la funció és contínua a $x = 1$.
2. b) Calcula les derivades laterals a $x = 1$ (és a dir, la derivada de cada tram en aquest punt).
3. c) A partir dels resultats anteriors, és la funció derivable a $x = 1$? Justifica la teva resposta relacionant la continuïtat i l'existència de les derivades laterals.

Troba els punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ en què la recta tangent és horitzontal.

Ajuda: Recorda quin valor ha de tenir el pendent (i per tant la derivada) perquè una recta sigui horitzontal.

A partir de dades de l'Enquesta de Pressupostos Familiars de l'INE, la despesa mitjana acumulada per llar en serveis digitals i telecomunicacions (en euros) al llarg d'un període d'expansió es modelitza segons la funció $G(t) = 2t^2 + 10t + 30$, on $t$ és el temps en anys transcorreguts des de 2018 ($t = 0$).

1. a) Obtén l'expressió algebraica simplificada de la taxa de variació mitjana $\text{TVM}[2, 2+h]$ per a qualsevol increment $h \ne 0$, prenent com a referència l'any 2020 ($t = 2$).
2. b) Mitjançant el càlcul del límit $\lim_{h \to 0} \text{TVM}[2, 2+h]$, determina la taxa de variació instantània $G'(2)$. Explica detalladament el seu significat econòmic i inclou les seves unitats de mesura.
3. c) Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $G(t)$ en el punt d'abscissa $t = 2$. Utilitza aquesta recta tangent per aproximar la despesa que prediu el model per a $t = 2,25$ (primer trimestre posterior a 2020) i compara-la amb el valor real obtingut amb la funció $G(2,25)$. Per què l'aproximació de la recta tangent resulta tan propera al valor real en aquest entorn?

Una empresa espanyola de paqueteria urgent estima que el cost unitari de transport $C(x)$ (en euros) en funció de la distància $x$ (en centenars de quilòmetres) respon a un model quadràtic de la forma $C(x) = a x^2 + b x + 5$, on $a$ i $b$ són paràmetres desconeguts. Els analistes de costos disposen únicament de dues informacions tècniques:

1. A una distància de $100\text{ km}$ ($x = 1$), la taxa de variació instantània del cost és de $7\text{ €}$ per cada $100\text{ km}$, és a dir, $C'(1) = 7$.

2. La recta tangent a la gràfica del cost en el punt $x = 2$ ve donada per l'equació $y = 11x - 3$.

1. a) A partir de la recta tangent donada, determina el valor de la funció en aquest punt, $C(2)$, i el valor de la derivada instantània $C'(2)$, justificant l'origen d'ambdues dades.
2. b) Utilitzant la definició formal de derivada mitjançant el límit del quocient incremental $C'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{C(x_0+h)-C(x_0)}{h}$, planteja un sistema de dues equacions amb dues incògnites i calcula el valor dels coeficients $a$ i $b$.
3. c) Amb els paràmetres ja identificats, calcula la $\text{TVM}[1, 2]$ i raona per què aquest valor mitjà coincideix exactament amb la mitjana aritmètica de $C'(1)$ i $C'(2)$.

El nombre de seguidors d'un canal de streaming de videojocs segueix la funció $S(t) = 2t^2 - 4t + 500$, on $t$ és el temps en mesos.

1. a) Calcula la Taxa de Variació Mitjana ($TVM$) en l'interval genèric $[2, 2 + h]$.
2. b) Utilitzant el resultat anterior, dedueix el valor del límit quan $h \to 0$. Què representa físicament aquest valor per al streamer en el mes $t = 2$?
3. c) Existeix algun valor de $h$ per al qual la $TVM$ en l'interval $[2, 2 + h]$ sigui igual a $10$ seguidors/mes?

Calcula, utilitzant estrictament la definició de derivada com un límit, la funció derivada de:

A partir del resultat obtingut, determina les coordenades del punt o punts de la gràfica on el pendent de la recta tangent és exactament $-3$. Explica per què no poden existir punts on el pendent de la tangent sigui positiu.

En un festival d'aerostació, l'altura d'un globus aerostàtic (en metres) respecte al temps (en segons) des que inicia l'ascens ve donada per la funció $H(t) = \sqrt{t + 4}$. La figura mostra la seva gràfica durant els primers 12 segons.

1. a) Calcula la derivada $H'(t)$ aplicant la definició de límit.
2. b) Troba l'equació de la recta tangent a la trajectòria en l'instant $t = 5$.
3. c) Per seguretat, el reglament del festival exigeix que el globus no superi una velocitat d'ascens de $0,25$ m/s. Determina en quin instant la velocitat instantània és exactament aquest valor.

Estudia la derivabilitat de la funció següent en el punt $x = 2$. Perquè la funció representi el cost de producció d'un nou component electrònic de manera suau (sense salts ni pics), determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$:

Recorda que perquè sigui derivable a $x = 2$, primer ha de ser contínua en aquest punt.

Troba els punts de la corba $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ en què la recta tangent és paral·lela a l'eix d'abscisses. Un cop trobats, utilitza la interpretació de la derivada per raonar si en aquests punts la funció presenta un màxim relatiu, un mínim relatiu o un punt d'inflexió, analitzant el signe de la derivada a les proximitats d'aquests punts.

Es sap que la funció d'ingressos d'una cooperativa agrícola és $I(x) = -x^2 + 12x$, on $x$ són les tones de producte venudes.

1. a) Calcula la funció derivada $I'(x)$ i interpreta-la com l'"Ingrés Marginal" (l'ingrés aproximat per vendre una unitat addicional).
2. b) Demostra que l'ingrés és màxim quan l'Ingrés Marginal és igual a zero.
3. c) Què passa amb la funció d'ingressos si la derivada és negativa? Justifica la teva resposta en termes de creixement i decreixement.

Donada la funció $f(x) = |x^2 - 4|$, analitza'n la derivabilitat en els punts $x = 2$ i $x = -2$. La figura mostra la seva gràfica.

1. a) Expressa la funció com una funció definida a trossos.

1. b) Calcula les derivades laterals a $x = 2$ utilitzant la definició de límit. (A $x = -2$ el raonament és anàleg, per la simetria de la gràfica.)

1. c) Explica gràficament què succeeix en aquests punts (concepte de "punt angulós") i per què la derivada no existeix tot i que la funció és contínua.

Considera la funció $f(x) = ax^2 + bx + c$. Determina els valors de $a$, $b$ i $c$ sabent que:

1. La gràfica de $f(x)$ passa pel punt $(0, 5)$.

2. La recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 1$ és la recta $y = 2x + 1$.

3. Utilitza la derivada per comprovar si el vèrtex de la paràbola resultant es troba a l'esquerra o a la dreta de l'eix $Y$.

Una cooperativa agrària factura el cost d'emmagatzematge en fred de la fruita $C(x)$ (en centenars d'euros) segons el tonatge $x$ dipositat. El model tarifari presenta dos trams i canvia en assolir les $4$ tones:

Per certificar si la transició de costos en el punt de canvi ($x = 4$) és suau o si hi ha un punt angulós, tres membres de l'equip tècnic suggereixen mètodes diferents:

• L'Ignacio afirma: «N'hi ha prou de comprovar que la funció és contínua a $x = 4$; si les dues branques s'uneixen en el mateix punt, la derivada existeix obligatòriament».

• La Beatriz sosté: «Hem de calcular numèricament la $\text{TVM}$ en intervals molt reduïts a banda i banda, com ara $[3,99; 4]$ i $[4; 4,01]$, per comprovar si els pendents gairebé coincideixen».

• La Carla defensa: «És imprescindible calcular algebraicament les derivades laterals $C'(4^-)$ i $C'(4^+)$ aplicant el límit de la taxa de variació mitjana quan $h \to 0^-$ i $h \to 0^+$».

1. a) Refuta l'afirmació de l'Ignacio mitjançant un argument teòric: per què la continuïtat en un punt és condició necessària però no suficient per a la derivabilitat?
2. b) Executa els càlculs proposats per la Beatriz (calculant ambdues $\text{TVM}$) i per la Carla (resolent ambdós límits amb $h$).
3. c) Avalua els mètodes de la Beatriz i de la Carla: quina limitació conceptual presenta el càlcul numèric de la Beatriz enfront de la certesa que proporciona el mètode formal de la Carla? Conclou si la funció és derivable a $x = 4$, si la gràfica té recta tangent única o punt angulós, i explica quina implicació pràctica té això per a la tarifa.

Un estudi sobre la productivitat laboral $P(t)$ (en milers d'euros anuals per treballador) en una comunitat autònoma modelitza els primers quatre anys d'una reforma mitjançant la funció quadràtica $P(t) = -t^2 + 6t + 10$ per a $t \in [0, 4]$. A partir del quart any ($t > 4$), l'administració autonòmica vol implantar un pla de xoc digital lineal de la forma $g(t) = m \cdot (t - 4) + k$.

Per evitar distorsions econòmiques brusques en el mercat laboral, s'exigeix un «empalmament suau» a $t = 4$, la qual cosa requereix dues condicions matemàtiques:

1. La productivitat no pateix salts sobtats (la funció global ha de ser contínua a $t = 4$).

2. La tendència instantània de la productivitat no canvia bruscament (la funció global ha de ser derivable a $t = 4$, de manera que les derivades laterals coincideixin).

1. a) Calcula la taxa de variació instantània $P'(4^-)$ al final del primer període utilitzant rigorosament la definició de derivada com a límit de la taxa de variació mitjana. En vista del signe obtingut, indica si en aquell moment la productivitat estava augmentant o disminuint.
2. b) Dedueix els valors exactes que han de tenir els paràmetres $k$ i $m$ per garantir que el pla de xoc digital compleixi ambdues condicions a $t = 4$.
3. c) Escriu l'equació de la recta tangent a la funció a $t = 4$. Suposa que, per motius pressupostaris, s'apliqués un pendent $m = 1$ en lloc del valor calculat a l'apartat b); explica de manera raonada quina figura geomètrica apareixeria a la gràfica a $t = 4$ i quina informació errònia donaria calcular la $\text{TVM}[3,9; 4,1]$ si no es té en compte que la funció ha deixat de ser derivable.