Exercicis: Equacions exponencials i logarítmiques

Resol les equacions exponencials següents escrivint tots dos membres com a potències de la mateixa base:

1. a) $2^{x} = 8$

1. b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

1. c) $5^{x} = 25$

1. d) $10^{x} = 0,001$

Aplicant la definició de logaritme, resol:

1. a) $\log_{2} x = 5$

1. b) $\log_{3} x = -2$

1. c) $\log x = 4$

1. d) $\ln x = 0$

Resol les equacions:

1. a) $\log_{2} x + \log_{2} 4 = 5$

1. b) $\log_{5} x - \log_{5} 2 = 2$

Resol les equacions exponencials següents amb la incògnita en una expressió de l'exponent:

1. a) $3^{x + 1} = 27$

1. b) $2^{3x} = 16$

1. c) $5^{2 - x} = 125$

Resol les equacions prenent logaritmes decimals en tots dos membres. Expressa la solució exacta com a quocient de logaritmes (no cal donar el valor decimal):

1. a) $2^{x} = 15$

1. b) $7^{x} = 100$

Resol aplicant la funció inversa adequada:

1. a) $\ln x = 4$

1. b) $e^{x} = 7$

1. c) $10^{x} = 45$

1. d) $\log x = 2,5$

Per resoldre l'equació exponencial $8^{x-1} = 4^{x+2}$, dos estudiants proposen camins diferents:

• La Paula afirma que el més directe és descompondre les bases en potències de $2$ ($8 = 2^3$ i $4 = 2^2$) i igualar els exponents resultants.

• En Sergio suggereix aplicar logaritmes decimals directament a tots dos membres: $\log(8^{x-1}) = \log(4^{x+2})$, i baixar els exponents fent servir la propietat del logaritme d'una potència.

1. a) Resol l'equació mitjançant el mètode proposat per la Paula.
2. b) Raona per què tots dos mètodes són matemàticament vàlids i argumenta quin dels dos resulta més avantatjós i menys propens a errors de càlcul en aquest cas particular.

La Lucía intenta resoldre l'equació exponencial $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ i lliura el desenvolupament següent a la seva llibreta:

«Pas 1: Faig el canvi $t = 2^x$, amb la qual cosa $4^x = (2^x)^2 = t^2$.

Pas 2: Obtinc $t^2 - 3t - 4 = 0$, les solucions de la qual són $t_1 = 4$ i $t_2 = -1$.

Pas 3: Desfaig el canvi:

• Per a $t_1 = 4 \implies 2^x = 4 \implies x = 2$.

• Per a $t_2 = -1 \implies 2^x = -1 \implies x = -0,5$ (perquè $2 \cdot (-0,5) = -1$).

Conclusió: L'equació té dues solucions reals: $x = 2$ i $x = -0,5$».

1. a) Localitza i explica detalladament l'error conceptual comès per la Lucía en el Pas 3, justificant mitjançant les propietats de la funció exponencial per què la igualtat $2^x = -1$ és impossible en el conjunt dels nombres reals.
2. b) Corregeix la resolució i determina el conjunt final de solucions vàlides de l'equació.

Resol l'equació $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ fent el canvi de variable $t = 2^{x}$. Comprova les solucions obtingudes.

Resol l'equació $2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$ treient factor comú de la potència més petita. Comprova la solució.

Resol l'equació logarítmica $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3$ i comprova la validesa de cada solució candidata.

Resol l'equació $\log x + \log(x + 3) = 1$, on $\log$ denota el logaritme decimal. Per què una de les solucions de l'equació de segon grau associada s'ha de descartar?

Resol l'equació $3^{x - 1} = 2^{x}$ prenent logaritmes neperians en tots dos membres. Expressa la solució exacta en funció de logaritmes i dona el seu valor aproximat amb dos decimals.

Resol el sistema logarítmic:

Comprova que la solució verifica les dues equacions i que els valors són vàlids per als logaritmes.

Resol el sistema exponencial:

Indicació: converteix cada equació en una equació lineal per als exponents.

En la figura s'han representat la corba $y = 2^{x}$ i la recta $y = 5$.

1. a) Explica per què la solució de l'equació $2^{x} = 5$ és l'abscissa del punt de tall marcat amb «?».

1. b) Acota la solució entre dos enters consecutius usant la gràfica o per tanteig.

1. c) Expressa la solució exacta mitjançant un logaritme i calcula el seu valor aproximat amb tres decimals.

Donada l'equació exponencial $3^{2x-1} = 50$:

1. a) Sense fer servir calculadora ni logaritmes, acota el valor de la incògnita $x$. Per a fer-ho, identifica entre quines dues potències senceres consecutives de base $3$ es troba el nombre $50$, dedueix entre quins dos enters consecutius s'ha de trobar l'exponent $2x-1$ i, a partir d'aquí, obtén un interval acotat per dos nombres racionals o decimals senzills per a $x$.
2. b) Resol l'equació amb exactitud aplicant logaritmes decimals a tots dos membres i aïllant la incògnita $x$.
3. c) Obtén el valor numèric aproximat amb tres xifres decimals i comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) era coherent.

Segons les taules de taxació de vehicles usats que utilitza l'Agència Tributària a Espanya, un turisme de combustió es deprecia a una taxa aproximada del $12\,\%$ anual durant els seus primers anys de circulació. Una empresa de missatgeria adquireix una furgoneta de repartiment per $25\,000\text{ \euro}$. El seu valor residual $V(t)$, expressat en euros després de $t$ anys de servei, es modelitza mitjançant la funció $V(t) = 25\,000 \cdot (0,88)^t$.

1. a) Planteja l'equació exponencial que permet calcular quants anys han de transcórrer perquè el valor de la furgoneta es redueixi exactament a $10\,000\text{ \euro}$.
2. b) Resol aquesta equació mitjançant logaritmes, arrodoneix el resultat a les centèsimes i interpreta el valor obtingut indicant els anys i mesos aproximats que triga a assolir aquest valor.
3. c) Si l'empresa hagués adquirit una furgoneta de més capacitat per $50\,000\text{ \euro}$ amb el mateix percentatge de depreciació del $12\,\%$ anual, trigaria més temps, menys temps o el mateix temps a perdre exactament la meitat del seu valor inicial? Justifica la teva resposta a partir de l'estructura algebraica de l'equació, sense necessitat de refer tots els càlculs.

Resol l'equació exponencial $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ seguint aquests passos:

1. a) Expressa $9^{x}$ com a potència de base $3$ i fes el canvi de variable $t = 3^{x}$.

1. b) Resol l'equació de segon grau resultant.

1. c) Desfés el canvi, comprova cada solució en l'equació original i descarta les que no siguin vàlides.

Resol l'equació logarítmica $\log_{2} x + \log_{4} x = 3$.

1. a) Expressa $\log_{4} x$ en funció de $\log_{2} x$ usant el canvi de base.

1. b) Resol l'equació resultant i comprova la solució.

Un alumne resol l'equació $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x - 3) = 3$ així:

«$\log_{2}[(x - 1)(x - 3)] = 3 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 8 \Rightarrow x^{2} - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ i $x = -1$. Per tant, l'equació té dues solucions: $x = 5$ i $x = -1$.»

1. a) Explica on és l'error de la seva conclusió, encara que els càlculs siguin correctes.

1. b) Escriu la resolució completa i correcta, indicant quina comprovació és obligatòria en tota equació logarítmica.

Resol l'equació $4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 = 0$.

1. a) Reescriu l'equació usant només potències de base $2$ i fes el canvi $t = 2^{x}$.

1. b) Resol l'equació de segon grau en $t$.

1. c) Desfés el canvi i comprova les dues solucions.

Una família ingressa $5.000\ \text{ €}$ en un dipòsit al $4 \%$ d'interès compost anual, de manera que el capital al cap de $t$ anys és $C(t) = 5.000 \cdot 1,04^{t}$.

1. a) Planteja l'equació exponencial que determina quants anys han de passar perquè el capital arribi a $8.000\ \text{ €}$.

1. b) Resol-la aplicant logaritmes i expressa el resultat arrodonit a mesos.

1. c) Sense fer tot el càlcul, raona si amb un interès del $2 \%$ el temps necessari seria exactament el doble. Comprova la teva conjectura amb el càlcul.

Resol les equacions següents, en les quals la incògnita apareix en llocs poc habituals:

1. a) $\log_{x} 8 = \frac{3}{2}$ (la incògnita és la base del logaritme; recorda quins valors pot prendre una base).

1. b) $\log_{3}(x + 2) - \log_{3}(x - 2) = 1$ (aplica la propietat del logaritme d'un quocient i comprova la solució).

Una colònia de bacteris creix a un ritme del $15 \%$ diari de forma acumulativa. Si inicialment hi ha $2.000$ bacteris:

1. a) Escriu l'expressió del nombre de bacteris al cap de $t$ dies i planteja la inequació que determina quan la població superarà els $10.000$ bacteris.

1. b) Resol-la utilitzant logaritmes i conclou quants dies enters han de transcórrer com a mínim.

Dissenya una equació exponencial amb estructura quadràtica de la forma $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ que verifiqui simultàniament les tres condicions següents:

1. Els coeficients $a$, $b$ i $c$ són nombres enters i $a = 1$.

2. El nombre real $x = 3$ és l'única solució real de l'equació.

3. En aplicar el canvi de variable $t = 2^x$, l'equació de segon grau $t^2 + bt + c = 0$ posseeix dues solucions reals diferents, però una d'elles no genera cap solució real per a $x$.

1. a) Dedueix els valors enters de $b$ i $c$ que compleixen aquestes condicions, explicitant el raonament que connecta les arrels de l'equació quadràtica en $t$ amb el recorregut o rang de la funció exponencial $2^x$.
2. b) Resol pas a pas l'equació obtinguda per demostrar que, efectivament, només admet $x = 3$ com a solució real a $\mathbb{R}$.

Considera el següent sistema d'equacions no lineals:

$\begin{cases} \log x + \log y = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

1. a) Resol algebricament el sistema aplicant les propietats dels logaritmes i el mètode de substitució.
2. b) En resoldre l'equació de segon grau que sorgeix en el procés s'obtenen dues parelles de valors: $(20, 5)$ i $(-5, -20)$. Explica analíticament, recolzant-te en la definició i el domini de validesa de la funció logarítmica original, per què una d'elles s'ha de descartar.
3. c) Si un estudiant substitueix la primera equació per $\log(x \cdot y) = 2$, transformant el sistema en:

$\begin{cases} \log(x \cdot y) = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

és aquest nou sistema equivalent a l'original? Compara raonadament els dominis de les expressions $\log x + \log y$ enfront de $\log(x \cdot y)$ i determina si la parella $(-5, -20)$ és o no solució admissible d'aquest segon sistema.

Repte del tema. El teu repte consisteix a elaborar un informe financer viable per a una microcooperativa juvenil utilitzant dades de l'INE (salari medià i despesa mitjana de les llars).

Fase 1 (Dades i Gauss): Consulta a l'INE la despesa mitjana mensual en tres partides (habitatge, transport i alimentació). Planteja un sistema $3 \times 3$ amb restriccions de pressupost i estalvi fixat, i resol-lo mitjançant el mètode de Gauss per determinar les assignacions.

Fase 2 (Polinomis i viabilitat): Modela els costos i ingressos mitjançant polinomis. Factoritza'ls i construeix la funció de cost mitjà com una fracció algebraica. Planteja i resol una inequació de segon grau per fixar el llindar de rendibilitat i un sistema d'inequacions que delimiti la regió factible.

Fase 3 (Projecció a llarg termini): Modela a GeoGebra el fons de reserva enfront de la inflació (taxa mitjana del $2,5\%$) mitjançant un sistema no lineal amb funcions exponencials i logarítmiques. Estudia les seves branques infinites ($t \to +\infty$) per predir si el projecte col·lapsarà o s'estabilitzarà.

Lliura un informe executiu breu amb captures de GeoGebra i la teva proposta justificada.

Es valorarà:

• Correcció en l'aplicació de Gauss, factorització i resolució d'inequacions i sistemes.

• Rigor en l'anàlisi de les branques infinites i la seva interpretació socioeconòmica.

• Integració coherent de les dades reals de l'INE a l'informe final.