Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales escribiendo ambos miembros como potencias de la misma base:

1. a) $2^{x} = 8$

1. b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

1. c) $5^{x} = 25$

1. d) $10^{x} = 0,001$

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales con la incógnita en una expresión del exponente:

1. a) $3^{x + 1} = 27$

1. b) $2^{3x} = 16$

1. c) $5^{2 - x} = 125$

Aplicando la definición de logaritmo, resuelve:

1. a) $\log_{2} x = 5$

1. b) $\log_{3} x = -2$

1. c) $\log x = 4$

1. d) $\ln x = 0$

Resuelve aplicando la función inversa adecuada:

1. a) $\ln x = 4$

1. b) $e^{x} = 7$

1. c) $10^{x} = 45$

1. d) $\log x = 2,5$

Resuelve la ecuación $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ haciendo el cambio de variable $t = 2^{x}$. Comprueba las soluciones obtenidas.

Resuelve la ecuación $2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$ sacando factor común de la potencia más pequeña. Comprueba la solución.

Resuelve las ecuaciones:

1. a) $\log_{2} x + \log_{2} 4 = 5$

1. b) $\log_{5} x - \log_{5} 2 = 2$

Resuelve la ecuación logarítmica $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3$ y comprueba la validez de cada solución candidata.

Resuelve la ecuación $\log x + \log(x + 3) = 1$, donde $\log$ denota el logaritmo decimal. ¿Por qué una de las soluciones de la ecuación de segundo grado asociada hay que descartarla?

Resuelve las ecuaciones tomando logaritmos decimales en ambos miembros. Expresa la solución exacta como cociente de logaritmos (no hace falta dar el valor decimal):

1. a) $2^{x} = 15$

1. b) $7^{x} = 100$

Resuelve la ecuación $3^{x - 1} = 2^{x}$ tomando logaritmos neperianos en ambos miembros. Expresa la solución exacta en función de logaritmos y da su valor aproximado con dos decimales.

Una familia ingresa $5.000\ \text{ €}$ en un depósito al $4 \%$ de interés compuesto anual, de modo que el capital al cabo de $t$ años es $C(t) = 5.000 \cdot 1,04^{t}$.

1. a) Plantea la ecuación exponencial que determina cuántos años deben pasar para que el capital llegue a $8.000\ \text{ €}$.

1. b) Resuélvela aplicando logaritmos y expresa el resultado redondeado a meses.

1. c) Sin hacer toda la cuenta, razona si con un interés del $2 \%$ el tiempo necesario sería exactamente el doble. Comprueba tu conjetura con el cálculo.

Resuelve el sistema logarítmico:

Comprueba que la solución verifica las dos ecuaciones y que los valores son válidos para los logaritmos.

Resuelve el sistema exponencial:

Indicación: convierte cada ecuación en una ecuación lineal para los exponentes.