Exercicis: Inversa d'una matriu fent servir determinants

En una petita empresa de logística, es registra la quantitat de palets de tres tipus de productes en tres magatzems diferents mitjançant la matriu següent $A$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el determinant de la matriu $A$ utilitzant la regla de Sarrus per verificar la consistència de les dades d'inventari.

Un enginyer està dissenyant un sistema de control automàtic. Perquè el sistema sigui estable, la matriu de coeficients $M$ no ha de ser singular (el seu determinant ha de ser diferent de zero). Donada la matriu:

$M = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$

Determina per a quins valors del paràmetre real $m$ la matriu $M$ és singular i, per tant, el sistema no tindria inversa.

Donada la matriu d'ordre 2:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

Calcula raonadament, aplicant les propietats dels determinants:

• a) El valor de $|A|$.

• b) El valor del determinant de la seva trasposada, $|A^t|$.

• c) El valor de $|2A|$.

En un videojoc d'estratègia, les coordenades de transformació d'una unitat es gestionen mitjançant la matriu $B$:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Troba la matriu adjunta, $Adj(B)$, i comprova si la matriu $B$ admet matriu inversa calculant prèviament el seu determinant.

Calcula la matriu inversa $A^{-1}$ de la següent matriu utilitzant el mètode dels determinants:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Recorda que la fórmula és $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Es sap que el determinant d'una matriu quadrada $X$ d'ordre 3 és $|X| = -4$. Sense calcular els elements de les matrius, obtén el valor dels següents determinants:

• a) $|X^{-1}|$

• b) $|X^2|$

• c) $|X \cdot X^t|$

Resol l'equació matricial $A \cdot X = B$, on:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Per a fer-ho, calcula primer la inversa de $A$ mitjançant determinants i aïlla la matriu $X$.

Una de les aplicacions més interessants dels determinants en geometria és el càlcul d'àrees. L'àrea d'un triangle els vèrtexs del qual són $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ i $(x_3, y_3)$ ve donada per la fórmula:

$Area = \frac{1}{2} \cdot | \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} |$

Calcula l'àrea del triangle representat en el següent gràfic els vèrtexs del qual són $P(1, 1)$, $Q(5, 2)$ i $R(2, 4)$.

L'Hugo ha de resoldre l'equació matricial $A \cdot X + B = C$, on:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

En el seu examen, l'Hugo escriu el desenvolupament següent:

1. Aïlla l'equació com a $A \cdot X = C - B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

2. Troba $|A| = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 1 \ne 0$, deduint que existeix matriu inversa $A^{-1}$.

3. Calcula els adjunts de $A$: $A_{11}=3$, $A_{12}=-1$, $A_{21}=-2$, $A_{22}=1$, i escriu directament $\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

4. Afirma que $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot \operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

5. Finalment, calcula la solució com a $X = (C - B) \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 4 \end{pmatrix}$.

Fes les tasques següents:

1. a) Localitza i explica de manera raonada els dos errors conceptuals que ha comès l'Hugo (un en l'obtenció de $A^{-1}$ i un altre en l'aïllament de $X$).
2. b) Corregeix ambdues errades: calcula la matriu inversa $A^{-1}$ correcta mitjançant la fórmula dels adjunts i determina la matriu $X$ que satisfà l'equació original.

Donada la matriu quadrada d'ordre $3$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

1. a) Abans de calcular cap matriu adjunta o inversa, dedueix de manera raonada el signe i el valor exacte de $|A^{-1}|$ i de $|\operatorname{Adj}(A)|$ utilitzant exclusivament el determinant $|A|$ i les propietats teòriques dels determinants.
2. b) Calcula pas a pas els 9 adjunts de $A$, construeix la matriu d'adjunts $\operatorname{Adj}(A)$ i obtén la matriu inversa $A^{-1}$ aplicant la fórmula $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t$.
3. c) Comprova la coherència de les teves deduccions calculant directament el determinant de la matriu $\operatorname{Adj}(A)$ que has obtingut a l'apartat b), i verificant que el producte matricial $A \cdot A^{-1}$ dóna com a resultat la matriu identitat $I_3$.

Donada la matriu $A$ dependent del paràmetre real $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{pmatrix}$$

1. a) Determina de forma raonada per a quins valors de $k$ la matriu $A$ no té matriu inversa.
2. b) Per al cas $k = 0$, calcula la matriu inversa $A^{-1}$ utilitzant el mètode dels adjunts.

Siguin $A$ i $B$ dues matrius quadrades d'ordre 3 tals que $|A| = 2$ i $|B| = -3$. Utilitzant les propietats dels determinants, calcula el valor dels següents determinants:

1. a) $|A^t \cdot B|$
2. b) $|(2A)^{-1}|$
3. c) $|A \cdot B^{-1} \cdot A^2|$
4. d) $|B \cdot adj(B)|$ (Recorda la relació entre una matriu, la seva adjunta i el seu determinant).

Resol la següent equació matricial $X \cdot A + B = C$, on:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Justifica prèviament per què és possible trobar la matriu inversa de $A$ i aïlla la incògnita $X$ abans de fer els càlculs numèrics.

En el disseny d'un filtre digital per a senyals d'àudio, s'utilitza una matriu de transferència $H$ definida com:

$$H(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$$

1. a) Troba els valors del paràmetre real $x$ per als quals el determinant de la matriu és nul.

1. b) Per a $x = 2$, calcula la matriu inversa $H^{-1}$. Quin significat té que el determinant sigui molt pròxim a zero en aplicacions d'enginyeria?

Considera la matriu $M = \begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ a & a & 1 \\ 0 & a & -1 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula $|M|$ en funció de $a$.
2. b) Determina el rang de la matriu $M$ segons els valors de $a$.
3. c) Per a $a = 1$, resol l'equació matricial $M \cdot X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Sabent que el determinant d'una matriu $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{pmatrix}$ és igual a $5$, utilitza les propietats dels determinants per calcular, sense desenvolupar per Sarrus, el valor del determinant de la següent matriu $B$:

$$B = \begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \\ p+x & q+y & r+z \\ 3a & 3b & 3c \end{pmatrix}$$

Indica detalladament quina propietat apliques en cada pas de la simplificació.

Es diu que una matriu quadrada $A$ és ortogonal si compleix la condició $A \cdot A^t = I$, on $A^t$ és la trasposada i $I$ la identitat.

1. a) Demostra que si $A$ és ortogonal, aleshores el seu determinant només pot ser $1$ o $-1$.
2. b) Comprova si la matriu $A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ és ortogonal i troba la seva inversa $A^{-1}$ en funció de $\alpha$.

Un sistema d'encriptació bàsic utilitza una matriu $K$ per transformar missatges en forma de vector. Perquè el missatge es pugui desencriptar, la matriu $K$ ha de ser invertible. Donada la matriu:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ m & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

1. a) Troba els valors de $m$ que fan que el sistema d'encriptació sigui insegur (la matriu no sigui invertible).
2. b) Si $m = 1$, calcula la matriu de desencriptació $K^{-1}$.

Considera la matriu d'ordre $3$ dependent del paràmetre real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & k & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Es plantegen dues tasques independents:

1. Determinar per a quins valors de $k$ la matriu $M$ és regular (té inversa).

2. Per al valor $k = 1$, calcular únicament l'element que ocupa la fila 3 i columna 2 de la matriu inversa, és a dir, $(M^{-1})_{32}$.

1. a) Per a la tasca 1, compara l'estratègia d'escalonar la matriu pel mètode de Gauss enfront del càlcul del seu determinant $|M|$. Justifica quina de les dues vies és més convenient en aquest cas i utilitza-la per donar la resposta.
2. b) Per a la tasca 2, una alternativa és calcular la matriu inversa completa $M^{-1}$ i després seleccionar aquest element; una altra alternativa consisteix a utilitzar la fórmula $M^{-1} = \dfrac{1}{|M|} \cdot (\operatorname{Adj}(M))^t$ per calcular únicament l'adjunt necessari. Justifica quin dels dos camins requereix un cost de càlcul menor, dedueix amb precisió quin adjunt $M_{ij}$ intervé (justificant el paper de la transposició) i calcula el valor de $(M^{-1})_{32}$.

Una empresa de consultoria tecnològica amb seu a Sevilla desplaça els seus tres equips d'auditoria en tren d'alta velocitat (Renfe AVE) durant un trimestre, adquirint bitllets de tres tarifes diferents: Premium ($x$ €), Elige ($y$ €) i Básico ($z$ €). En la comptabilitat del trimestre consten les següents dades de compra:

• A l'octubre van adquirir 1 bitllet Premium, 1 Elige i 1 Básico, amb una despesa total de $180$ €.

• Al novembre van adquirir 2 bitllets Premium, 1 Elige i 2 Básico, sumant una despesa total de $300$ €.

• Al desembre van adquirir 1 bitllet Premium, 3 Elige i 2 Básico, amb un cost total de $330$ €.

1. a) Modela la situació mitjançant una equació matricial de la forma $A \cdot X = B$, indicant amb claredat les matrius $A$, $X$ i $B$ juntament amb les seves dimensions.
2. b) Demostra que la matriu de coeficients $A$ és invertible calculant el seu determinant $|A|$ i troba la seva matriu inversa $A^{-1}$ aplicant el mètode de la matriu adjunta transposada.
3. c) Aïlla algebraicament el vector incògnita $X$ justificant l'ordre de la multiplicació matricial, realitza el producte $A^{-1} \cdot B$ i determina el preu unitari exacte de cadascuna de les tres tarifes.

Determina els valors del paràmetre real $a$ per als quals el següent determinant d'ordre 4 s'anul·la. Per resoldre'l, utilitza exclusivament les propietats dels determinants per simplificar l'expressió abans de desenvolupar pels elements d'una línia:

$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & 2 & -1 & 3 \\ a^2 & 4 & 1 & 9 \\ a^3 & 8 & -1 & 27 \end{vmatrix} $$

(Pista: Observa que es tracta d'una estructura similar a un determinant de Vandermonde).

Una empresa de robòtica està dissenyant el sistema de control d'un braç mecànic. La relació entre els sensors i els actuadors ve donada per l'equació matricial $A \cdot X \cdot A = B$, on $A$ és una matriu que depèn de la sensibilitat $k$ del sensor:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ 0 & k & 1 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Estudia per a quins valors de $k \in \mathbb{R}$ la matriu $A$ és regular (inversible).
2. b) Per a $k = 2$, aïlla la matriu $X$ en l'equació i calcula-la utilitzant el mètode de la matriu adjunta per trobar les inverses necessàries.

En el desenvolupament d'un nou videojoc de naus espacials, les coordenades dels objectes en l'espai 3D es transformen mitjançant una matriu de rotació i escalat $M$. Perquè el motor gràfic pugui "desfer" la transformació, la matriu ha de tenir inversa.

$$M = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^a \end{pmatrix}$$

1. a) Demostra que el determinant de $M$ és $|M| = e^a$ per a qualsevol valor de l'angle $\alpha$.
2. b) Calcula la matriu inversa $M^{-1}$ en funció de $\alpha$ i $a$ utilitzant determinants.
3. c) Si un objecte acaba en la posició $(1, 1, 1)$ després d'aplicar $M$ amb $\alpha = \frac{\pi}{2}$ i $a = 0$, quines eren les seves coordenades originals?

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre 3 tal que el seu determinant és $|A| = \frac{1}{2}$. Sense calcular explícitament els elements de la matriu, utilitza les propietats dels determinants per trobar raonadament el valor de:

1. a) $|A^{-1} \cdot (2A)^t|$
2. b) $|Adj(A)|$, on $Adj(A)$ és la matriu formada pels adjunts dels elements de $A$.
3. c) El determinant de la matriu $B$ si es sap que $A \cdot B = Adj(A)$.

Un sistema d'encriptació utilitza una matriu $C$ per transformar blocs de missatges. Perquè el missatge sigui recuperable, el rang de la matriu ha de ser màxim. Estudia el rang de la següent matriu en funció dels paràmetres reals $m$ i $n$:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 & 1 \\ n & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & m \end{pmatrix}$$

Determina per a quins valors de $m$ i $n$ el rang de $C$ és igual a 2.

Considera la matriu $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Troba el polinomi $P(x) = |A|$.
2. b) Determina els valors de $x$ per als quals $A$ no té inversa.
3. c) Per als valors de $x$ en què $A$ és invertible, troba l'expressió de $A^{-1}$ en funció de $x$.
4. d) Comprova que per a $x=0$, es compleix que $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 3I)$.

Es sap que una matriu quadrada $A$ verifica la següent igualtat: $A^2 - 5A + 6I = O$, on $I$ és la matriu identitat i $O$ és la matriu nul·la.

1. a) Demostra raonadament que la matriu $A$ és invertible.
2. b) Expressa la matriu inversa $A^{-1}$ com una combinació lineal de les matrius $A$ i $I$.
3. c) Si $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, comprova que compleix l'equació inicial i troba la seva inversa utilitzant el resultat de l'apartat (b).

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}$, es demana:

1. a) Calcular $|A|$ i factoritzar el resultat.
2. b) Si $a=1, b=2, c=3$, calcula la matriu inversa $A^{-1}$ pel mètode dels adjunts.
3. c) Resol el sistema d'equacions $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ utilitzant la matriu inversa trobada en l'apartat anterior.

Una matriu quadrada $A$ d'ordre $3$ amb coeficients reals té com a matriu d'adjunts:

$$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Sabent que per a qualsevol matriu d'ordre $n$ invertible es compleix $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|^{n-1}$, dedueix els possibles valors del determinant $|A|$ sense calcular prèviament els elements de la matriu $A$.
2. b) A partir de la identitat fonamental $A \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A| \cdot I_3$, aïlla raonadament la matriu $A$ en funció de $|A|$ i de la matriu inversa de $(\operatorname{Adj}(A))^t$.
3. c) Determina de manera explícita totes les matrius $A$ compatibles amb la matriu adjunta donada i justifica algebraicament per què existeixen exactament dues solucions diferents.

Sigui $A$ una matriu quadrada invertible d'ordre $3$ el determinant de la qual és $|A| = 2$.

1. a) A partir de la relació $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ i de la propietat del determinant de la inversa, demostra formalment que $|\operatorname{Adj}(A^{-1})| = \dfrac{1}{|\operatorname{Adj}(A)|}$ i calcula el seu valor numèric exacte per a la matriu $A$.
2. b) Es defineix la matriu $B = 2 \cdot A^t \cdot A^{-1}$. Justifica raonadament si la matriu $B$ és invertible calculant prèviament el valor del seu determinant $|B|$.
3. c) Considera l'equació matricial $(\operatorname{Adj}(A))^t \cdot X = A^2$, on $X$ és una matriu quadrada incògnita d'ordre $3$. Utilitzant la propietat $A \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A| \cdot I_3$, aïlla la matriu $X$ en funció de $A$ i demostra que el determinant de $X$ és independent dels elements numèrics que formin la matriu $A$, calculant el seu valor exacte.