Exercicis: Àlgebra de matrius utilitzant determinants

En una excavació arqueològica, s'han registrat les coordenades de tres punts clau que formen un sector de cerca. Per calcular l'àrea d'aquest sector, primer necessitem obtenir el valor del determinant de la matriu de posició següent $A$:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el valor de $|A|$ utilitzant la regla de Sarrus.

Una empresa de missatgeria utilitza un sistema de codificació basat en matrius. Perquè un missatge sigui "desencriptable", la matriu utilitzada $M$ ha de ser inversible.

Donada la matriu $M = \begin{pmatrix} k & 4 \\ 1 & k \end{pmatrix}$, determina per a quins valors del paràmetre real $k$ la matriu no té inversa (és a dir, és una matriu singular).

Sense fer el desenvolupament complet de la matriu, aplica les propietats dels determinants per justificar per què el determinant següent és igual a $0$:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

(Pista: Observa la relació entre la primera i la segona fila).

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre $3$ el determinant de la qual és $|A| = -2$. Utilitza les propietats dels determinants per calcular els valors següents:

1. a) $|A^t|$ (determinant de la transposada).
2. b) $|A^{-1}|$ (determinant de la inversa).
3. c) $|3A|$ (determinant de la matriu multiplicada per l'escalar $3$).

Calcula la matriu inversa $A^{-1}$ de la matriu $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ utilitzant el mètode de la matriu adjunta:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$

Sigueix aquests passos:

1. Troba el determinant $|A|$.

2. Calcula la matriu d'adjunts $\text{Adj}(A)$.

3. Fes la transposició i divideix pel determinant.

Determina el rang de la matriu següent $B$ estudiant els seus menors:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

Indica raonadament si el rang és $1$, $2$ o $3$.

Resol la següent equació matricial per trobar la matriu incògnita $X$:

$A \cdot X = B$

On:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

(Recorda: $X = A^{-1} \cdot B$. Has de calcular primer $A^{-1}$).

Calcula el valor del determinant de la matriu següent $4 \times 4$ desenvolupant pels elements de la segona fila (aquella que té més zeros):

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

En un examen de Matemàtiques II, en Mateo resol l'exercici següent:

«Sabent que $A$ és una matriu quadrada d'ordre $3$ el determinant de la qual és $|A| = -2$, calcula raonadament el valor de $|-2\cdot A^{-1}|$ i de $|\operatorname{Adj}(A)|$.»

El desenvolupament que escriu en Mateo és el següent:

1) Per al primer determinant: $|-2\cdot A^{-1}| = -2\cdot |A^{-1}| = -2\cdot \frac{1}{|A|} = -2\cdot \frac{1}{-2} = 1$.

2) Per al segon determinant: Com que es compleix la propietat $A\cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A|\cdot I$, prenent determinants a ambdós costats obtinc $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|\cdot |I| = -2\cdot 1 = -2$.

Fes les tasques següents:

1. a) Localitza i explica de manera raonada els dos errors conceptuals comesos per en Mateo, indicant amb precisió quina propietat dels determinants ha aplicat de manera errònia a cada apartat.
2. b) Corregeix el desenvolupament d'en Mateo i calcula els valors correctes de $|-2\cdot A^{-1}|$ i $|\operatorname{Adj}(A)|$ justificant cada pas mitjançant les propietats corresponents.
3. c) Dedueix la fórmula general que relaciona $|\operatorname{Adj}(A)|$ amb $|A|$ per a qualsevol matriu quadrada invertible d'ordre $n$, partint de la identitat fonamental $A\cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A|\cdot I$.

Considera la matriu de Vandermonde $V$ associada als valors reals ordenats $x = -1$, $y = 2$ i $z = 4$:

$$V = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{pmatrix}$$

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, estima raonadament el signe de $|V|$ basant-te en la posició relativa dels tres valors $x < y < z$ i en l'estructura factoritzada del determinant de Vandermonde $(y - x)(z - x)(z - y)$. Justifica si el determinant podria arribar a ser nul o negatiu sense alterar l'ordre de les files.
2. b) Calcula el valor numèric exacte de $|V|$ utilitzant les transformacions elementals per files necessàries per fer zeros a la primera columna, comprovant si coincideix amb el resultat de l'expressió factoritzada.
3. c) Si a partir de $V$ es construeix una nova matriu $W$ intercanviant la seva primera i tercera fila, i multiplicant posteriorment la segona fila per $-3$: estima el signe del nou determinant $|W|$ abans de calcular-lo i comprova la teva estimació aplicant les propietats dels determinants sobre el resultat obtingut a l'apartat b).

Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 és $|A| = -2$, utilitza les propietats dels determinants per calcular, de forma raonada, el valor dels següents determinants:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3A^{-1}|$

1. c) El determinant de la matriu resultant de multiplicar la primera fila de $A$ per $5$, intercanviar la segona i la tercera files, i transposar la matriu.

Donada la matriu $M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Determina els valors del paràmetre real $k$ per als quals la matriu $M$ és singular (no té inversa).

1. b) Per al valor $k = 0$, calcula la matriu inversa $M^{-1}$ utilitzant el mètode de la matriu adjunta.

Resol la següent equació matricial $A \cdot X \cdot B = C$, on les matrius $A$, $B$ i $C$ són:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ i $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Justifica prèviament que les matrius $A$ i $B$ són invertibles calculant els seus determinants.

Considera la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula el determinant de $A$ en funció del paràmetre $m$.

1. b) Determina el rang de la matriu $A$ segons els valors de $m$.

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, calcula:

1. a) El determinant de $A$ mitjançant la regla de Sarrus.

1. b) La matriu d'adjunts $\text{Adj}(A)$.

1. c) Comprova que es compleix la propietat $A \cdot \text{Adj}(A)^t = |A| \cdot I$, on $I$ és la matriu identitat d'ordre 3.

Es sap que una matriu quadrada $B$ verifica l'equació $B^2 - 3B + 2I = O$, on $I$ és la matriu identitat i $O$ és la matriu nul·la.

1. a) Demostra que $B$ és una matriu regular (té inversa) i expressa $B^{-1}$ en funció de $B$ i $I$.

1. b) Si $B$ és d'ordre 2 i el seu determinant és $|B| = 2$, quin és el determinant de la matriu adjunta de $B$, $|\text{Adj}(B)|$?

Resol el sistema d'equacions matricials per trobar les matrius $X$ i $Y$:

$\begin{cases} 2X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$

Un cop trobades, calcula el determinant de la matriu producte $X \cdot Y$.

Una empresa de components electrònics fabrica tres tipus de circuits: $C_1$, $C_2$ i $C_3$. El cost de producció de cada circuit ve determinat pel determinant de la matriu de materials $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$

1. a) Sabent que $x$, $y$ i $z$ representen les quantitats de silici, coure i estany respectivament, demostra que el determinant d'aquesta matriu (Vandermonde) és $(y-x)(z-x)(z-y)$.

1. b) Si per a un circuit concret les quantitats són $x=1$, $y=2$ i $z=4$, és invertible la matriu $M$? Justifica la teva resposta fent servir el resultat de l'apartat anterior.

Es considera una matriu quadrada invertible $A$ d'ordre $3$ el determinant de la qual és $|A| = -2$. Es vol determinar el valor del determinant de la matriu resultant $M = \operatorname{Adj}\big(2\cdot A^t \cdot A^{-1}\big)$.

Per resoldre aquesta qüestió, dos estudiants proposen estratègies oposades:

• Camí A (Constructiu): Proposar una matriu diagonal concreta el determinant de la qual sigui $-2$ (per exemple, amb elements $1$, $1$ i $-2$ a la diagonal), calcular de forma explícita la seva transposada, la seva inversa, multiplicar-les per $2$, trobar els cofactors de la matriu resultant per construir la seva adjunta i finalment calcular el seu determinant mitjançant la regla de Sarrus.

• Camí B (Estructural): Aplicar de forma encadenada les propietats algebraiques dels determinants (determinant del producte, de la transposada, de la inversa, extracció de l'escalar $2$ en dimensió $3$ i la propietat del determinant de la matriu adjunta).

1. a) Analitza críticament el Camí A: argumenta per què calcular una matriu particular no constitueix una demostració vàlida per a qualsevol matriu $A$ i quins riscos algebraics comporta.
2. b) Aplica el Camí B deduint l'expressió simplificada de $|M|$ en funció de $|A|$ i de l'ordre $n=3$, mostrant detalladament quina propietat intervé en cada igualtat.
3. c) Obtén el valor numèric final de $|M|$ i explica la raó per la qual aquest resultat no depèn del valor concret $|A| = -2$, sempre que $|A| \neq 0$.

Red Eléctrica de España (REE) monitora la producció d'energia solar fotovoltaica en una planta de Castella-la Manxa durant tres moments d'una jornada estival: a les $t_1 = 10$ h es registren $16\text{ MW}$, a les $t_2 = 13$ h s'assoleixen $25\text{ MW}$ (pic de radiació) i a les $t_3 = 16$ h la producció descendeix a $16\text{ MW}$. Per ajustar una corba contínua de predicció quadràtica de la forma $P(t) = a\cdot t^2 + b\cdot t + c$:

1. a) Planteja el model en forma de sistema matricial $M\cdot X = Y$, on el vector d'incògnites és $X = \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix}$, el vector de termes independents és $Y = \begin{pmatrix} 16 \\ 25 \\ 16 \end{pmatrix}$ i la matriu de coeficients $M$ té files de la forma $(1, t_i, t_i^2)$.
2. b) Demostra que $M$ és una matriu de Vandermonde i calcula el seu determinant $|M|$ mitjançant transformacions elementals per files (restant a cada fila l'anterior), sense desenvolupar directament per la regla de Sarrus.
3. c) Interpreta el significat matemàtic del fet que $|M| \neq 0$: què garanteix aquest fet sobre l'existència i unicitat de la paràbola de predicció? Què passaria amb la invertibilitat de $M$ si una fallada en el sensor dupliqués la presa de dades a la mateixa hora ($t_2 = t_1$)?

Es considera la matriu d'ordre 4 dependent del paràmetre real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k & 1 \\ k & k & k & k^2 \end{pmatrix}$$

Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, realitza les següents tasques:

1. a) Troba el valor del determinant de $M$ en funció de $k$, presentant el resultat de forma factoritzada.

1. b) Determina els valors de $k$ per als quals la matriu $M$ no té inversa.

1. c) Per al cas $k = 2$, calcula el valor del determinant de la matriu adjunta de $M$, és a dir, $|Adj(M)|$, sense calcular explícitament els elements de la matriu adjunta esmentada.

Una empresa de logística utilitza un algorisme d'encriptació basat en l'àlgebra matricial per protegir les seves rutes. La clau de seguretat és una matriu $X$ que satisfà la següent equació:

$$A \cdot X \cdot A^t = B - 2I$$

on $I$ és la matriu identitat d'ordre 2 i les matrius $A$ i $B$ són:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$$

1. a) Justifica, utilitzant determinants, que la matriu $A$ és invertible.

1. b) Aïlla la matriu $X$ en l'equació anterior.

1. c) Calcula explíctament la matriu $X$.

Donada la matriu quadrada d'ordre $n$:

$$D_n = \begin{pmatrix} x & a & a & \dots & a \\ a & x & a & \dots & a \\ a & a & x & \dots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \dots & x \end{pmatrix}$$

1. a) Per al cas $n = 3$, demostra que el determinant de la matriu és $|D_3| = (x+2a)(x-a)^2$.

1. b) Generalitza el resultat anterior per a una matriu d'ordre $n$ i dedueix l'expressió de $|D_n|$ en funció de $x, a$ i $n$.

1. c) Si $x = 5$ i $a = 2$, per a quins valors de $n$ la matriu $D_n$ seria singular?

Estudia el rang de la matriu $A$ segons els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$$

Per realitzar l'estudi, utilitza el mètode dels menors orlats i raona detalladament sota quines condicions el rang és 1, 2 o 3.

Siguin $A$ i $B$ dues matrius quadrades d'ordre 3 tals que $|A| = 2$ i $|B| = -1$. Calcula, justificant cada pas amb les propietats dels determinants, el valor dels següents determinants:

1. a) $|(A^t \cdot B)^{-1}|$

1. b) $|3 \cdot A^2 \cdot Adj(B)|$

1. c) Si sabem que una matriu $C$ verifica que $C^2 = C$ (matriu idempotent), demostra que el seu determinant només pot ser 0 o 1.

Es considera la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determina els valors del paràmetre $m$ per als quals la matriu $A$ té inversa.

1. b) Per a $m = 2$, resol l'equació matricial $X \cdot A - 2 \cdot Adj(A) = |A| \cdot I$, on $Adj(A)$ és la matriu adjunta de $A$ i $I$ és la matriu identitat.

Suggeriment: Utilitza la relació fonamental entre una matriu i la seva adjunta: $A \cdot (Adj(A))^t = |A| \cdot I$.

En un sistema de control de trànsit aeri, la posició de tres drons en un instant donat ve definida per les columnes d'una matriu $P$. En el model simplificat que s'utilitza, es considera que la configuració és segura només si el determinant de $P$ no s'anul·la. Donada la matriu:

$$P(k) = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Calcula els valors de $k$ per als quals els drons estarien en una configuració "crítica" (determinant nul).

1. b) Per a $k = 0$, comprova si la matriu és invertible i, en cas afirmatiu, troba la seva inversa $P^{-1}$ mitjançant el mètode de la matriu adjunta.

1. c) Demostra que per a qualsevol valor de $k \neq 1$ i $k \neq -2$, es compleix que $P(k)$ és regular.

Resol el següent sistema d'equacions matricials per a les matrius incògnites $X$ i $Y$:

$$\begin{cases} 2X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$

on les matrius de coeficients són:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Una vegada trobades $X$ i $Y$:

1. a) Calcula $|X \cdot Y|$ i $|X + Y|$.
2. b) Determina si la matriu producte $X \cdot Y$ és invertible utilitzant el seu determinant.

Es considera la família de matrius quadrades d'ordre $3$ dependents de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$$

1. a) Utilitzant exclusivament propietats dels determinants, obtén l'expressió completament factoritzada de $|M(a, b)|$. Determina les equacions de les rectes del pla cartesià $(a, b)$ que formen el conjunt de punts on la matriu $M(a, b)$ no és invertible.
2. b) PROBLEMA INVERS: Troba tots els parells de nombres reals $(a, b)$ que satisfan simultàniament les tres condicions següents:

1. Es compleix l'ordenació estricta $a < b < 3$.

2. La distància entre ambdós paràmetres és unitària: $b - a = 1$.

3. La matriu satisfà l'equació determinantal $|2\cdot (M(a, b))^{-1}| = \frac{4}{3}$.

1. c) Per a la matriu concreta $M$ que resulta del parell de valors obtingut a l'apartat anterior, calcula de forma raonada el determinant de la seva matriu adjunta, $|\operatorname{Adj}(M)|$, i el determinant de la matriu inversa de la seva transposada, $|(M^t)^{-1}|$.

Donada la matriu dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & b & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Per classificar el rang i la invertibilitat de $M(a, b)$ en el pla real $(a, b)$, dos estudiants contrasten els seus mètodes de treball:

• Mètode de l'Alba: Aplicar l'algorisme de reducció de Gauss mitjançant operacions elementals per files ($F_2 \to F_2 - F_1$, $F_3 \to F_3 - a\cdot F_1$) per esglaonar la matriu i comptar el nombre de pivots no nuls.

• Mètode d'en Bruno: Calcular i factoritzar el determinant major $|M(a, b)|$ mitjançant propietats per delimitar les regions de rang 3, i estudiar posteriorment els llocs geomètrics on $|M(a, b)| = 0$ analitzant menors d'ordre inferior.

1. a) Compara críticament ambdós mètodes: explica quins inconvenients i riscos de bifurcació amb paràmetres als denominadors presenta el mètode de l'Alba enfront de la robustesa del mètode d'en Bruno.
2. b) Aplicant el mètode d'en Bruno, demostra que el determinant es factoritza com a $|M(a, b)| = (1 - a)\cdot [b\cdot(a + 1) - 2]$. Identifica geomètricament en el pla $(a, b)$ la recta i la hipèrbola que formen la frontera on la matriu no té inversa.
3. c) Demostra que a gairebé tots els punts d'aquesta frontera el rang de la matriu és $2$, però existeix un únic punt singular $(a_0, b_0)$ en tot el pla on el rang disminueix a $1$. Determina aquest punt justificant la teva resposta amb el valor de tots els seus menors d'ordre 2.

Repte del tema. És viable modelitzar i predir el repartiment del mix energètic nacional?

1. Obtenció de dades: Accedeix al web de Red Eléctrica de España (REE, plataforma e·sios) o de l'INE i extreu la producció diària (en GWh) de tres fonts renovables durant 3 dies consecutius per construir una matriu quadrada $A_{3\times 3}$.

2. Estudi analític: Calcula $|A|$ aplicant la regla de Sarrus i determina el rang de $A$ mitjançant menors. Incorpora un paràmetre de previsió climàtica $t$ en una de les files ($A(t)$); aplica les propietats dels determinants i calcula el límit $\lim_{t \to 1} |A(t)|$ per identificar si el sistema es bloqueja per dependència lineal.

3. Àlgebra matricial: Construeix un vector de demanda diària $B$ (en GWh) com a demanda esperada: assigna probabilitats a diferents escenaris de consum (per exemple, probabilitat $p = 0,35$ de pic hivernal) i pondera la demanda de cada escenari per la seva probabilitat. Justifica l'existència de $A^{-1}$ a través de determinants, calcula-la amb la matriu adjunta i resol en un full de càlcul l'equació $A \cdot X = B$ per trobar els factors de ponderació $X$ (un per font, és a dir, per columna de $A$, de manera que la producció ponderada cobreixi la demanda $B$).

4. Proposta final: Redacta un informe d'una pàgina que exposi la robustesa del model davant de fluctuacions reals de la xarxa.

Es valorarà:

• Correcció i destresa en el càlcul de $|A|$, $\text{rg}(A)$ i $A^{-1}$ mitjançant determinants i Sarrus.

• Aplicació rigorosa de l'àlgebra matricial, límits i propietats de determinants.

• Extracció verídica de dades oficials i justificació matemàtica de les conclusions.