Exercicis: Potències d'exponent racional. Radicals

En l'estudi de microorganismes, la mida de certes estructures es pot expressar mitjançant potències i arrels. Transforma els radicals següents en potències d'exponent fraccionari i viceversa:

1. a) $\sqrt[5]{x^2}$

1. b) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$

1. c) $7^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{-\frac{1}{2}}$

Simplifica els radicals següents dividint l'índex i l'exponent del radicand pel màxim comú divisor entre tots dos:

1. a) $\sqrt[12]{x^8}$

1. b) $\sqrt[9]{27}$

1. c) $\sqrt[10]{a^{15}}$

1. d) $\sqrt[6]{125}$

Per optimitzar l'espai en un disseny gràfic, un programador necessita extreure factors dels radicals sempre que sigui possible. Realitza l'extracció en les expressions següents:

1. a) $\sqrt{50}$

1. b) $\sqrt[3]{16x^5}$

1. c) $\sqrt{a^3 b^4 c}$

1. d) $\sqrt[4]{32}$

En algunes fórmules financeres, és preferible tenir tots els elements sota un mateix signe radical. Introdueix els factors dins de l'arrel i simplifica el resultat:

1. a) $3\sqrt{2}$

1. b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

1. c) $\frac{2}{3}\sqrt{5}$

1. d) $a \sqrt[4]{a^3}$

Un arquitecte està calculant els perímetres d'una estructura metàl·lica composta per diversos perfils. Suma i simplifica els radicals semblants següents per obtenir la longitud total:

$2\sqrt{27} - 5\sqrt{3} + \sqrt{12}$

Realitza les operacions següents de producte i divisió de radicals que tenen el mateix índex, simplificant el resultat final:

1. a) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

1. b) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

1. c) $\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}$

1. d) $(\sqrt[4]{a})^2$

Un dissenyador d'interiors ha projectat una catifa quadrada per a un despatx d'advocats de Madrid. L'àrea total de la catifa és de $18 \text{ m}^2$.

1. a) Expressa la mida del costat del quadrat de forma exacta mitjançant un radical.
2. b) Simplifica el radical extreient factors.

Racionalitza les expressions següents per eliminar els radicals del denominador, simplificant el resultat quan sigui possible:

1. a) $\frac{5}{\sqrt{3}}$

1. b) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

1. c) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

1. d) $\frac{x}{\sqrt{x}}$

En Marcos ha de calcular el valor numèric de la potència $16^{-3/4}$ per a un exercici de classe. En la seva llibreta escriu els passos següents:

Pas 1: $16^{-3/4} = -16^{3/4}$

Pas 2: $-16^{3/4} = -(\sqrt[4]{16})^3$

Pas 3: $-(\sqrt[4]{16})^3 = -(2)^3 = -8$

1. a) Assenyala de manera raonada en quin pas comet en Marcos el primer error i explica quina errada conceptual té sobre el significat del signe menys en l'exponent.
2. b) Corregeix l'exercici pas a pas: transforma la potència amb exponent negatiu en la seva expressió equivalent amb exponent positiu, escriu-la en forma de radical i calcula el seu valor exacte en forma de fracció irreductible.
3. c) A partir del teu resultat, explica quin significat concret tenen tant el denominador 4 com el numerador 3 de la potència inicial aplicada sobre el nombre 16.

Volem analitzar el comportament numèric de les potències $A = 75^{0,5}$ i $B = 75^{-0,5}$.

1. a) Sense utilitzar la calculadora, estima entre quins dos nombres enters consecutius es troba el valor d'$A = 75^{0,5}$, justificant el teu raonament a partir dels quadrats perfectes més propers.
2. b) Sense calcular decimals, raona entre quins dos nombres enters se situa $B = 75^{-0,5}$ i explica a quina fracció senzilla de la forma $1/k$ (amb $k$ enter) s'aproxima el seu valor. Pot una potència de base positiva donar com a resultat un nombre negatiu? Justifica la teva resposta.
3. c) Expressa tant $A$ com $B$ en forma de radical simplificat (extraient factors a $A$ i racionalitzant el denominador a $B$). Sabent que $\sqrt{3} \approx 1,73$, comprova numèricament si les teves estimacions dels apartats a) i b) han estat coherents.

Expressa les potències següents d'exponent racional en forma de radical i simplifica el resultat extreient tots els factors possibles:

1. a) $27^{\frac{2}{3}}$

1. b) $125^{-\frac{1}{3}}$

1. c) $\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{1,5}$

Opera i simplifica la següent expressió, deixant el resultat com un únic radical d'índex mínim:

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^5}}$$

Un estudi d'arquitectura està dissenyant un jardí triangular. Les longituds dels tres camins que delimiten el jardí vénen donades per les expressions següents en metres:

• Camí A: $3\sqrt{20}$

• Camí B: $\sqrt{125}$

• Camí C: $2\sqrt{45}$

Calcula el perímetre total del jardí simplificant l'expressió al màxim.

Simplifica la següent expressió reduint a un únic radical i extreient factors si cal:

$$\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt{x}}}$$

Racionalitza i simplifica les expressions següents perquè no continguin arrels al denominador:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[3]{5^2}}$

1. b) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

1. c) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

El volum d'un contenidor cúbic utilitzat per al transport de mercaderies tecnològiques és de $V = 16\sqrt{2}$ metres cúbics.

1. a) Expressa l'arista del cub com una potència de base 2.
2. b) Calcula la longitud exacta de l'arista en forma de radical simplificat.

Resol la següent operació combinada amb radicals, expressant el resultat de la forma més senzilla possible:

$$\left( \sqrt{12} - \sqrt{3} \right) \cdot \sqrt[3]{9}$$

Ajuda: Expressa primer tots els termes com a potències de base 3.

En un examen d'accés, es demana als alumnes determinar quina de les dues peces de metall següents té una àrea més gran. La peça A és un quadrat de costat $L_A = \sqrt[3]{4}$ cm i la peça B és un quadrat de costat $L_B = \sqrt[4]{6}$ cm.

Calcula l'àrea de cada peça i compara-les reduint els radicals a índex comú.

Un professor proposa als seus alumnes reconstruir una expressió radical original $\sqrt[n]{M}$, on $n$ és un nombre natural ($n \ge 2$) i $M = c \cdot x^p \cdot y^q$ és un monomi amb $c, p, q \in \mathbb{N}$, a partir del resultat que van obtenir en simplificar-la.

Aquest resultat simplificat, expressat com a producte de potències amb exponent racional irreductible, és:

$$2 \cdot x^{5/6} \cdot y^{4/3}$$

1. a) Dedueix el menor índex comú $n$ necessari per escriure tot el producte sota un únic radical de la forma $\sqrt[n]{M}$, de manera que en el radicand $M$ no aparegui cap potència fraccionària.
2. b) Determina l'expressió explícita del radicand $M = c \cdot x^p \cdot y^q$ (calculant el valor enter del coeficient $c$ i els exponents $p$ i $q$).
3. c) A partir del radical únic $\sqrt[n]{M}$ trobat, realitza el procés estàndard d'extracció de factors i comprova que es recupera l'expressió simplificada. Indica amb claredat quants factors d'$y$ surten fora de l'arrel i quants romanen a dins.

Segons dades sobre el mercat immobiliari basades en l'IPC (INE), el preu mitjà del metre quadrat de lloguer en una determinada ciutat espanyola va acumular un increment del $33,1\,\%$ al llarg d'un període de 3 anys consecutius.

1. a) Modela l'evolució del preu considerant un factor de creixement anual constant $k = (1 + r)$, on $r$ és la taxa anual en tant per u. Escriu la relació entre el preu inicial $P_0$ i el preu final $P_3$, i aïlla $k$ expressant-lo en forma de radical i com a potència d'exponent fraccionari.
2. b) Sabent que $1,331 = 1,1^3$, calcula el valor exacte de la taxa de variació anual $r$ i expressa-la en percentatge.
3. c) Un representant veïnal afirma a la premsa que el lloguer ha pujat «un $11,03\,\%$ cada any», ja que ha dividit $33,1\,\%$ entre 3. Demostra mitjançant l'ús de potències per què aquest raonament és erroni i justifica si la divisió simple sobrestima o infravalora la taxa anual real.
4. d) Si un contracte de lloguer s'incrementa a aquest mateix ritme constant del $10\,\%$ anual ($k = 1,1$), per quin factor s'haurà multiplicat el preu al cap d'un any i mig ($t = 1,5$ anys)? Expressa aquest factor com a potència racional, transforma'l a radical simplificat i raona si la pujada als 18 mesos és superior, inferior o igual al $15\,\%$.

Simplifica la següent expressió algebraica operant amb els radicals i extreient tots els factors possibles. Expressa el resultat final utilitzant un únic radical:

$\displaystyle \frac{\sqrt{x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot y}}}{\sqrt[6]{x \cdot y^5}} \cdot \left( \frac{x}{y^2} \right)^{-1/2}$

Calcula el valor exacte de l'àrea total d'un octaedre regular (format per dues piràmides quadrangulars unides per la base) l'aresta del qual mesura $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ cm. Has de deixar el resultat simplificat amb radicals, sense utilitzar aproximacions decimals.

(Pista: l'àrea d'un triangle equilàter de costat $a$ és $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$)

Racionalitza i simplifica al màxim la següent expressió. Assegura't que el denominador final sigui un nombre enter:

$\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$

En el disseny d'una nova peça de microelectrònica, la resistència d'un component ve donada per l'expressió:

$\displaystyle R = \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3}$

Transforma els radicals en potències de base 3 per trobar el valor de $R$ com una única potència d'exponent fraccionari. Posteriorment, indica entre quins dos nombres enters consecutius es troba aquest valor.

Troba el valor de $x$ perquè es compleixi la igualtat següent, simplificant prèviament tots els radicals:

$\displaystyle \sqrt{125x} - 2\sqrt{45x} + \sqrt{500x} = 18\sqrt{5}$

Un arquitecte projecta una finestra amb forma de triangle rectangle. Es sap que la hipotenusa mesura $\sqrt[4]{1024}$ metres i un dels catets mesura $\sqrt{2}$ metres.

1. a) Calcula la mesura exacta de l'altre catet en forma de radical simplificat.
2. b) Calcula l'àrea de la finestra. És l'àrea un nombre racional o irracional? Justifica la teva resposta.

Simplifica la següent expressió combinada, deixant el resultat en la seva forma més simplificada:

$\displaystyle \frac{\left( \sqrt[3]{a^2 \cdot b} \right)^2 \cdot \sqrt{a \cdot b^3}}{\sqrt[6]{a^5 \cdot b}}$

Es vol construir un dipòsit cúbic d'aigua la diagonal interior del qual mesuri exactament $\sqrt{108}$ metres.

1. a) Demostra que l'aresta del dipòsit és un nombre racional.
2. b) Si el cost d'impermeabilitzar les parets interiors (les 4 cares laterals i el terra) és de $150 \cdot \sqrt{3}$ euros per metre quadrat, calcula el cost total exacte de l'obra.

Per simplificar la següent expressió amb variables reals positives:

$$E = \frac{\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2}}}{\sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt{x}}}$$

dos estudiants d'1r de Batxillerat plantegen dos mètodes de resolució diferents:

• Mètode A (Radicals i mínim comú índex): Introduir factors dins dels radicals niats successius, multiplicar els índexs de les arrels consecutives, trobar el mínim comú múltiple dels índexs del numerador i denominador per unificar en un sol radical i simplificar la fracció resultant.

• Mètode B (Exponents racionals): Convertir immediatament cada arrel a potència d'exponent fraccionari, aplicar les propietats del producte i quocient de potències de la mateixa base sumant i restant fraccions, i finalment expressar el resultat com un radical simplificat.

1. a) Resol la simplificació d'$E$ pas a pas seguint el Mètode A, explicitant cada transformació sobre els radicals.
2. b) Resol la simplificació d'$E$ pas a pas seguint el Mètode B, mostrant amb detall les operacions aritmètiques amb els exponents racionals.
3. c) Compara críticament tots dos mètodes: raona quin dels dos resulta més avantatjós i segur quan l'expressió algebraica conté diverses bases diferents amb exponents negatius, com per exemple en expressions del tipus $\left(x^2 \cdot y^{-3}\right)^{-1/4}$.

En economia de l'empresa, la funció de producció de Cobb-Douglas permet modelitzar la quantitat de producte $Y$ que genera una companyia a partir de les unitats de capital invertit ($K$) i de les hores de treball emprades ($L$). Per a una empresa de transport i logística, el model respon a:

$$Y = 4 \cdot K^{0,75} \cdot L^{0,25} \quad (K > 0, \; L > 0)$$

1. a) Expressa la funció $Y$ utilitzant un únic radical amb el menor índex natural possible, agrupant les variables $K$ i $L$ en el seu radicand.
2. b) Una funció presenta «rendiments constants a escala» si en multiplicar simultàniament tots els factors de producció per un factor $\lambda > 0$, la producció final es multiplica exactament per aquest mateix factor $\lambda$ (és a dir, $Y(\lambda K, \lambda L) = \lambda \cdot Y(K, L)$). Utilitza les propietats algebraiques de les potències d'exponent racional per demostrar rigorosament si aquesta empresa presenta o no rendiments constants a escala quan duplica els seus recursos ($\lambda = 2$).
3. c) Durant un trimestre, l'empresa empra $K = 16$ unitats de capital i $L = 81$ hores de treball. Calcula la producció exacta $Y$ sense fer servir la calculadora, mostrant la descomposició de les bases en factors primers i el càlcul amb els exponents racionals.
4. d) Si la direcció de l'empresa decideix quadruplicar únicament la inversió en capital ($4K$) mantenint constant el treball $L$, per quin factor es multiplica la producció total $Y$? Expressa'l en forma de potència de base 2 i en forma de radical simplificat, i raona per què aquest augment no arriba a quadruplicar la producció final.