Potencias de exponente racional. Radicales

En el estudio de microorganismos, el tamaño de ciertas estructuras se puede expresar mediante potencias y raíces. Transforma los siguientes radicales en potencias de exponente fraccionario y viceversa:

1. a) $\sqrt[5]{x^2}$

1. b) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$

1. c) $7^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{-\frac{1}{2}}$

Simplifica los siguientes radicales dividiendo el índice y el exponente del radicando por el máximo común divisor entre ambos:

1. a) $\sqrt[12]{x^8}$

1. b) $\sqrt[9]{27}$

1. c) $\sqrt[10]{a^{15}}$

1. d) $\sqrt[6]{125}$

Para optimizar el espacio en un diseño gráfico, un programador necesita extraer factores de los radicales siempre que sea posible. Realiza la extracción en las siguientes expresiones:

1. a) $\sqrt{50}$

1. b) $\sqrt[3]{16x^5}$

1. c) $\sqrt{a^3 b^4 c}$

1. d) $\sqrt[4]{32}$

En algunas fórmulas financieras, es preferible tener todos los elementos bajo un mismo signo radical. Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica el resultado:

1. a) $3\sqrt{2}$

1. b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

1. c) $\frac{2}{3}\sqrt{5}$

1. d) $a \sqrt[4]{a^3}$

Expresa las siguientes potencias de exponente racional en forma de radical y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles:

1. a) $27^{\frac{2}{3}}$

1. b) $125^{-\frac{1}{3}}$

1. c) $\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{1,5}$

Un arquitecto está calculando los perímetros de una estructura metálica compuesta por varios perfiles. Suma y simplifica los siguientes radicales semejantes para obtener la longitud total:

$2\sqrt{27} - 5\sqrt{3} + \sqrt{12}$

Opera y simplifica la siguiente expresión, dejando el resultado como un único radical de índice mínimo:

Un estudio de arquitectura está diseñando un jardín triangular. Las longitudes de los tres caminos que delimitan el jardín vienen dadas por las siguientes expresiones en metros:

• Camino A: $3\sqrt{20}$

• Camino B: $\sqrt{125}$

• Camino C: $2\sqrt{45}$

Calcula el perímetro total del jardín simplificando la expresión al máximo.

Simplifica la siguiente expresión reduciendo a un único radical y extrayendo factores si es necesario:

Simplifica la siguiente expresión algebraica operando con los radicales y extrayendo todos los factores posibles. Expresa el resultado final utilizando un único radical:

$\displaystyle \frac{\sqrt{x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot y}}}{\sqrt[6]{x \cdot y^5}} \cdot \left( \frac{x}{y^2} \right)^{-1/2}$

Calcula el valor exacto del área total de un octaedro regular (formado por dos pirámides cuadrangulares unidas por su base) cuya arista mide $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ cm. Debes dejar el resultado simplificado con radicales, sin utilizar aproximaciones decimales.

(Pista: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$)

Racionaliza y simplifica al máximo la siguiente expresión. Asegúrate de que el denominador final sea un número entero:

$\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$