Exercicis: Potències d'exponent enter

Aplica les propietats de les potències per simplificar la següent expressió i deixa el resultat en forma d'una única potència de base positiva:

Calcula el valor numèric de les següents potències amb exponent negatiu, expressant el resultat final en forma de fracció irreductible:

1. a) $5^{-2}$

1. b) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$

1. c) $(-4)^{-2}$

És molt comú confondre l'efecte dels parèntesis quan la base és negativa. Calcula els següents valors i explica la diferència entre ells:

1. a) $(-2)^4$

1. b) $-2^4$

1. c) $(-2)^3$

1. d) $-2^3$

Simplifica la següent expressió utilitzant les propietats de potència d'una potència i producte de potències. Expressa el resultat com una sola potència:

En informàtica, les unitats de mesura creixen en potències de base $2$. Sabent que $1 \text{ KB (Kilobyte)}$ són $2^{10} \text{ bytes}$ i que $1 \text{ MB (Megabyte)}$ són $2^{10} \text{ KB}$, expressa en forma d'una única potència de base $2$ quants bytes hi ha en un arxiu d'imatge que ocupa $4 \text{ MB}$.

Redueix a una sola potència de base $x$ la següent expressió i, després, expressa-la amb exponent positiu:

Un biòleg observa una població de bacteris que es triplica cada hora. Si inicialment hi havia $3^2$ bacteris, expressa mitjançant una potència de base $3$:

1. a) Quants bacteris hi haurà després de $5$ hores?
2. b) Quants bacteris hi haurà després de $n$ hores?

Calcula el valor de les següents expressions combinades respectant la jerarquia de les operacions i les regles dels exponents:

1. a) $2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0$

1. b) $10^3 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^0$

1. c) $(3-1)^2 \cdot 3^{-1}$

En un examen d'1r de Batxillerat, la Lucía havia de simplificar la següent expressió numèrica:

La Lucía va escriure en el seu full de respostes:

«Com que la base és negativa i l'exponent també, els dos signes menys es cancel·len, de manera que $(-2)^{-4} = 2^4 = 16$. D'altra banda, com que qualsevol nombre elevat a 0 és 1, però té un signe menys al davant dins del parèntesi, $(-3)^0 = -1$. Per tant:

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per la Lucía, indicant quina propietat de les potències o regla de signes ha vulnerat en cadascun.
2. b) Corregeix la resolució calculant pas a pas el valor exacte de l'expressió en forma de fracció irreductible o nombre enter.

Considera la següent expressió numèrica amb potències d'exponent enter:

1. a) Estima raonadament sense calcular el valor exacte:

Observa els factors del numerador i del denominador i interpreta l'efecte de les potències amb exponent negatiu en moure-les de terme a la fracció. Raona si el valor final d'$E$ serà:

1. Positiu o negatiu.

2. Més gran que $1$ o més petit que $1$.

1. b) Calcula i comprova:

Descompon totes les bases en els seus factors primers ($2$ i $5$), aplica les propietats de les potències per simplificar l'expressió pas a pas fins a obtenir un únic nombre enter o fracció irreductible, i comprova de manera explícita si el resultat numèric confirma les previsions que has fet en l'apartat anterior.

Per calcular la capacitat d'emmagatzematge d'un nou servidor al núvol, un enginyer ha de simplificar la següent expressió numèrica. Utilitza les propietats de les potències per reduir-la a una única potència de base prima o a un producte d'elles amb exponents positius:

Una empresa de ciberseguretat utilitza claus criptogràfiques que tenen una longitud que creix de forma exponencial. Si una clau de nivell 1 té una complexitat de $(x^2 \cdot y^{-3})^2$ i es multiplica per una de nivell 2 amb complexitat $(x \cdot y^2)^{-4}$, simplifica l'expressió resultant per trobar la complexitat total del sistema en termes de $x$ i $y$:

En un laboratori de biotecnologia, una població de bacteris es triplica cada hora. Si inicialment hi havia $3^4$ bacteris, l'expressió que representa el nombre de bacteris al cap de $t$ hores és $3^4 \cdot 3^t$.

1. a) Quants bacteris hi haurà al cap d'un dia ($t=24$)? Expressa el resultat com una potència.

1. b) Si a causa d'un antibiòtic la població es redueix dividint-se per $9^5$, simplifica l'expressió resultant:

Opera i simplifica la següent expressió, deixant el resultat en forma de fracció irreductible sense exponents negatius:

Un satèl·lit de comunicacions envia paquets de dades d'una mida de $2^{15}$ bytes. Si el satèl·lit ha d'enviar un arxiu total que ocupa $16^5$ bytes, calcula quants paquets haurà d'emetre. Expressa tant les dades inicials com el resultat final com a potències de base 2.

Aclareix si les següents igualtats són verdaderes o falses raonant la teva resposta basant-te en les propietats de les potències i la regla dels signes:

1. a) $(-2)^4 = -2^4$

1. b) $\frac{a^{-3}}{b^{-3}} = \left( \frac{b}{a} \right)^3$

1. c) $(x+y)^2 = x^2 + y^2$

1. d) $(-5)^{-2} = \frac{1}{25}$

El radi d'un àtom d'hidrogen és d'aproximadament $5 \cdot 10^{-11}$ metres. Si volguéssim representar el volum d'un espai cúbic que contingués exactament aquest radi com a arista, hauríem d'elevar aquesta mesura al cub ($V = l^3$).

Calcula el volum resultant en notació científica i simplifica l'expressió:

Ordena de menor a major els valors següents transformant-los prèviament perquè tinguin la mateixa base:

Volem construir una fracció formada exclusivament per potències de base no prima de la forma:

on $a$, $b$ i $c$ són nombres enters (positius, negatius o zero). L'objectiu és que, després d'aplicar les propietats de les potències i simplificar al màxim, el resultat exacte sigui la fracció irreductible $\frac{20}{27}$.

1. a) Descompon les bases compostes ($6$, $10$, $15$) i els nombres de la fracció objectiu ($20$, $27$) en factors primers.
2. b) Planteja el sistema d'equacions lineals que han de satisfer els exponents $a$, $b$ i $c$ en igualar les potències de cada base prima en ambdós membres.
3. c) Resol el sistema per determinar els valors enters d'$a$, $b$ i $c$. Identifica quin d'ells resulta ser estrictament negatiu i explica quin significat pràctic té aquest exponent negatiu respecte a la posició real d'aquest factor a la fracció.

Una empresa de telecomunicacions monitora el consum mensual de dades en una comarca de Castella-la Manxa. Prenent l'any 2024 com a referència temporal ($k = 0$), l'increment del teletreball fa que el trànsit mitjà mensual es dupliqui exactament cada 3 anys (és a dir, a cada trienni es multiplica per un factor de $2$). El 2024 el trànsit registrat va ser de $128\text{ TB}$ ($128 = 2^7\text{ TB}$).

1. a) Si $k \in \mathbb{Z}$ representa el nombre de triennis transcorreguts des de 2024 (on $k>0$ indica triennis en el futur i $k<0$ triennis en el passat), escriu la fórmula del trànsit mensual $T(k)$ en terabytes com una única potència de base $2$.
2. b) A quin any natural del passat correspon el valor $k = -3$? Calcula el trànsit de dades d'aquell any aplicant les propietats de l'exponent negatiu i justifica per què el signe menys modelitza un retrocés temporal (dividir successivament entre $2$ en comptes de multiplicar).
3. c) Per a l'any 2036 es preveu instal·lar un node central amb capacitat de $2^{15}\text{ TB}$. Utilitza el quocient de potències de la mateixa base per calcular quantes vegades serà més gran aquesta capacitat respecte al trànsit registrat a l'any corresponent a $k = -3$.

Simplifica la següent expressió algebraica fins a obtenir una potència única o un producte de potències de base prima, eliminant tots els exponents negatius i evitant l'ús de la calculadora:

Per resoldre-ho, descompon primer totes les bases en els seus factors primers ($2$ i $3$) i aplica acuradament les propietats de les potències d'exponent enter.

En l'estudi de models econòmics, de vegades apareixen expressions que requereixen extreure factor comú de potències amb exponents variables. Simplifica al màxim la següent fracció perquè sigui més fàcil de programar en un full de càlcul:

Una empresa de ciberseguretat analitza la propagació d'un virus informàtic. S'ha observat que el nombre d'arxius infectats es triplica cada hora. Tanmateix, cada $4$ hores, un antivirus aconsegueix eliminar el $80 \%$ de les infeccions existents en aquell instant.

Si inicialment només hi ha $1$ arxiu infectat, expressa mitjançant una operació amb potències el nombre d'arxius afectats al cap de $12$ hores, just després de la tercera actuació de l'antivirus. Podries escriure el resultat final en notació científica?

Opera i simplifica la següent expressió amb variables, deixant el resultat final sense exponents negatius:

Un inversor analitza dos productes financers. En el primer, el seu capital es multiplica per $1,02$ cada mes (interès compost). En el segon, a causa de l'alta volatilitat, el capital es multiplica per $1,05$ un mes, però disminueix multiplicant-se per $0,98$ el mes següent, i es repeteix aquest cicle de dos mesos indefinidament.

Si l'inversor diposita una quantitat $C$ durant $2$ anys ($24$ mesos), expressa mitjançant potències d'exponent enter el capital final obtingut en cada opció. Quina de les dues opcions és més rendible després d'aquests $24$ mesos? Justifica la teva resposta comparant les bases de les potències resultants, un cop expressades amb el mateix exponent.

Calcula el valor de la següent expressió numèrica descomponent les bases en factors primers i simplificant al màxim. El resultat ha de ser un nombre enter o una fracció irreductible:

En el món de la computació, les capacitats d'emmagatzematge creixen de forma exponencial. Suposem que un servidor duplica la seva capacitat d'emmagatzematge cada $18$ mesos. Si l'any $2020$ tenia una capacitat de $2^{10}$ Terabytes (TB):

1. a) Expressa mitjançant una potència de base $2$ quina serà la seva capacitat l'any $2035$.
2. b) Si cada TB equival a $2^{40}$ bytes, expressa la capacitat total de l'any $2035$ en bytes utilitzant una única potència de base $2$.

Demostra, aplicant les propietats de les potències, que la següent igualtat és certa per a qualsevol valor de $x$ i $y$ (sempre que les bases no siguin nul·les):

Indica pas a pas quina propietat estàs aplicant en cada etapa de la simplificació.

Per simplificar la següent expressió algebraica (amb $a, b \ne 0$):

dos estudiants d'1r de Batxillerat proposen camins diferents:

• Mètode de l'Alba: Primer inverteix la fracció completa per convertir l'exponent exterior $-2$ en $+2$; després trasllada al membre oposat (numerador o denominador) cada factor amb exponent negatiu perquè tots els exponents siguin positius; finalment, factoritza $18$ i $12$ en primers i simplifica.

• Mètode del Bruno: Manté la fracció original i opera primer a l'interior del claudàtor: factoritza $18$ i $12$ en primers, distribueix la potència del producte al denominador, agrupa les potències d'igual base restant exponents ($a^m / a^n = a^{m-n}$ operant amb enters negatius) i, només al final, aplica la potència de potència amb l'exponent exterior $-2$.

1. a) Desenvolupa la simplificació pas a pas seguint ambdós mètodes i comprova que amb tots dos s'arriba a la mateixa expressió irreductible amb exponents positius.
2. b) Compara amb sentit crític ambdues estratègies: quina d'elles minimitza el risc de cometre errors amb la resta de nombres negatius? Assenyala amb precisió en quin pas algebraic concret és més fàcil equivocar-se en cadascun dels mètodes.

Troba tots els parells de nombres enters $(m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ que satisfan la següent equació:

Per resoldre el problema sense recórrer al tanteig, desenvolupa de manera justificada els següents apartats:

1. a) Signe i paritat: Observa que el segon membre és negatiu. Sabent que $6^{n-m} > 0$ i $9^{-n} > 0$ per a qualssevol enters $m$ i $n$, dedueix el signe que ha de tenir la potència $(-2)^m$ i demostra quina condició de paritat (parell o imparell) ha de complir necessàriament l'enter $m$.
2. b) Descomposició en bases primes: Reescriu ambdós membres de l'equació descomponent totes les bases en els seus factors primers ($2$ i $3$) i aplica les propietats de les operacions amb potències per reduir el primer membre a la forma $- (2^P \cdot 3^Q)$, on $P$ i $Q$ són expressions algebraiques en funció d'$m$ i $n$.
3. c) Resolució i unicitat: A partir de la unicitat de la descomposició factorial en nombres racionals, planteja i resol el sistema d'equacions amb incògnites $m$ i $n$. Comprova que la solució obtinguda compleix la condició de paritat trobada a (a) i justifica per què no hi pot haver cap altra solució entera.