Potencias de exponente entero

Es muy común confundir el efecto de los paréntesis cuando la base es negativa. Calcula los siguientes valores y explica la diferencia entre ellos:

1. a) $(-2)^4$

1. b) $-2^4$

1. c) $(-2)^3$

1. d) $-2^3$

Calcula el valor de las siguientes expresiones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones y las reglas de los exponentes:

1. a) $2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0$

1. b) $10^3 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^0$

1. c) $(3-1)^2 \cdot 3^{-1}$

Aplica las propiedades de las potencias para simplificar la siguiente expresión y deja el resultado en forma de una única potencia de base positiva:

$$\frac{3^5 \cdot 3^2}{3^4}$$

Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de potencia de una potencia y producto de potencias. Expresa el resultado como una sola potencia:

$$(2^3)^2 \cdot (2^{-2})^4$$

Calcula el valor numérico de las siguientes potencias con exponente negativo, expresando el resultado final en forma de fracción irreducible:

1. a) $5^{-2}$

1. b) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$

1. c) $(-4)^{-2}$

Opera y simplifica la siguiente expresión, dejando el resultado en forma de fracción irreducible sin exponentes negativos:

$$\frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{3}}{\left( \frac{3}{2} \right)^{4} \cdot 2^{-1}}$$

Para calcular la capacidad de almacenamiento de un nuevo servidor en la nube, un ingeniero debe simplificar la siguiente expresión numérica. Utiliza las propiedades de las potencias para reducirla a una única potencia de base prima o un producto de ellas con exponentes positivos:

$$\frac{12^4 \cdot 18^{-2} \cdot 2^5}{32 \cdot 3^{-3}}$$

Calcula el valor de la siguiente expresión numérica descomponiendo las bases en factores primos y simplificando al máximo. El resultado debe ser un número entero o una fracción irreducible:

$$\frac{15^6 \cdot 12^{-4} \cdot 80^3}{20^4 \cdot 27^2 \cdot 3^{-5}}$$

Un biólogo observa una población de bacterias que se triplica cada hora. Si inicialmente había $3^2$ bacterias, expresa mediante una potencia de base $3$:

1. a) ¿Cuántas bacterias habrá tras $5$ horas?
2. b) ¿Cuántas bacterias habrá tras $n$ horas?

En un laboratorio de biotecnología, una población de bacterias se triplica cada hora. Si inicialmente había $3^4$ bacterias, la expresión que representa el número de bacterias al cabo de $t$ horas es $3^4 \cdot 3^t$.

1. a) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de un día ($t=24$)? Expresa el resultado como una potencia.

1. b) Si debido a un antibiótico la población se reduce dividiéndose por $9^5$, simplifica la expresión resultante:

$$\frac{3^4 \cdot 3^{24}}{9^5}$$

Un inversor analiza dos productos financieros. En el primero, su capital se multiplica por $1,02$ cada mes (interés compuesto). En el segundo, debido a la alta volatilidad, el capital se multiplica por $1,05$ un mes, pero disminuye multiplicándose por $0,98$ al mes siguiente, repitiéndose este ciclo de dos meses indefinidamente.

Si el inversor deposita una cantidad $C$ durante $2$ años ($24$ meses), expresa mediante potencias de exponente entero el capital final obtenido en cada opción. ¿Cuál de las dos opciones es más rentable tras esos $24$ meses? Justifica tu respuesta comparando las bases de las potencias resultantes.