Operaciones con radicales

Simplifica la siguiente expresión matemática extrayendo factores de los radicales y agrupando aquellos que sean semejantes:

$5\sqrt{12} - \sqrt{27} + 2\sqrt{75}$

Una empresa de tecnología está diseñando un nuevo modelo de smartphone. La pantalla es rectangular y sus dimensiones exactas vienen dadas por los siguientes radicales: la base mide $\sqrt{12}$ cm y la altura mide $\sqrt{3}$ cm. Calcula el área de la pantalla expresando el resultado de forma simplificada.

Extrae todos los factores que sea posible de los siguientes radicales para obtener la expresión más simplificada:

1. a) $\sqrt{72x^4y^3}$

1. b) $\sqrt[3]{128a^5}$

Extrae los factores posibles de los siguientes radicales y simplifica la expresión resultante para obtener un único término:

$3\sqrt{80} - 2\sqrt{45} + \sqrt{20}$

Racionaliza las siguientes fracciones de modo que no quede ningún radical en el denominador. Recuerda simplificar el resultado final si es posible:

1. a) $\frac{10}{\sqrt{2}}$

1. b) $\frac{3}{\sqrt[3]{5}}$

En el diseño de un nuevo chip para smartphones, una de las conexiones tiene una longitud dada por el producto de dos componentes radicales. Calcula el valor exacto de dicha longitud simplificando el siguiente producto y expresándolo bajo un único radical:

$\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}$

Calcula el área de una plaza pública de forma cuadrada cuyo lado mide $(2 + \sqrt{5})$ metros. Expresa el resultado de forma exacta simplificando los radicales que aparezcan en el desarrollo del binomio.

Racionaliza las siguientes expresiones para eliminar los radicales del denominador y simplifica el resultado final:

1. a) $\dfrac{6}{\sqrt[3]{9}}$

1. b) $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$

Simplifica al máximo la siguiente expresión combinada, extrayendo factores de los radicales y racionalizando aquellos términos que sea necesario para agrupar la parte numérica:

$$3\sqrt{175} - \frac{5}{\sqrt{7}} + \sqrt[4]{441} - 2\sqrt{112}$$

Racionaliza y simplifica la siguiente fracción. Debes operar el numerador tras la racionalización para obtener la expresión más reducida posible:

$$\frac{2\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}$$

Reduce a un único radical y simplifica la expresión resultante, asumiendo que las variables $x$ e $y$ representan valores reales positivos:

$$\frac{\sqrt[3]{x^2 \cdot y} \cdot \sqrt{x \cdot y^3}}{\sqrt[6]{x^5 \cdot y^4}}$$

Un arquitecto está diseñando una claraboya triangular para un nuevo centro comercial. El diseño requiere que la base de la claraboya sea un triángulo equilátero cuya altura sea exactamente $H = \sqrt{18} + \sqrt{6}$ metros. Calcula el valor exacto del área de la claraboya, expresando el resultado como un radical simplificado en $m^2$.