Exercicis: Operacions amb radicals

Simplifica la següent expressió matemàtica extreient factors dels radicals i agrupant aquells que siguin semblants:

$5\sqrt{12} - \sqrt{27} + 2\sqrt{75}$

Una empresa de tecnologia està dissenyant un nou model de telèfon intel·ligent. La pantalla és rectangular i les seves dimensions exactes venen donades pels radicals següents: la base mesura $\sqrt{12}$ cm i l'altura mesura $\sqrt{3}$ cm. Calcula l'àrea de la pantalla expressant el resultat de forma simplificada.

Extreu tots els factors que sigui possible dels radicals següents per obtenir l'expressió més simplificada:

1. a) $\sqrt{72x^4y^3}$

1. b) $\sqrt[3]{128a^5}$

Racionalitza les fraccions següents de manera que no quedi cap radical al denominador. Recorda simplificar el resultat final si és possible:

1. a) $\frac{10}{\sqrt{2}}$

1. b) $\frac{3}{\sqrt[3]{5}}$

Aplica les propietats dels radicals per reduir a una sola arrel i simplifica el resultat final:

$\sqrt[3]{\sqrt{64x^{12}}}$

Realitza les operacions següents amb radicals del mateix índex i expressa el resultat de la forma més senzilla possible:

1. a) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}$

1. b) $\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{3}}$

Un decorador d'interiors vol col·locar una motllura de fusta al voltant d'un gran mirall quadrat que té una àrea de $20 \text{ m}^2$. Expressa el perímetre del mirall en forma de radical simplificat (extreu factors si cal).

Introdueix els factors dins del radical en les expressions següents:

1. a) $3 \sqrt{5x}$

1. b) $2a^2 \sqrt[3]{3a}$

En una prova d'avaluació, el professor demana simplificar la següent suma de radicals:

$$\sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{8}$$

Dos alumnes lliuren respostes incorrectes:

• L'Álvaro escriu: «Com que els radicands són diferents, aplico la propietat de l'arrel d'una suma i obtinc $\sqrt{18 + 50 - 8} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$».

• La Beatriz afirma: «No són radicals semblants perquè tenen diferent radicand ($18 \neq 50 \neq 8$), de manera que l'expressió no es pot agrupar ni simplificar més; s'ha de deixar amb els tres termes».

1. a) Explica amb precisió l'error algebraic comès per l'Álvaro respecte a l'arrel d'una suma.
2. b) Explica l'error conceptual de la Beatriz sobre el criteri necessari per determinar si dos o més radicals són semblants.
3. c) Resol correctament l'expressió: extreu tots els factors possibles de cada arrel, justifica com s'aplica la propietat distributiva per agrupar-los i calcula el resultat final simplificat.

Considera la següent expressió numèrica amb radicals:

$$E = \frac{10}{\sqrt{5}} - \sqrt{45} + \frac{4}{\sqrt{5}-1}$$

1. a) Estima: Sense realitzar transformacions algebraiques exactes i sabent que $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ (pots prendre $\sqrt{5} \approx 2,2$):

• Estima el valor del primer terme dividint $10$ entre $2,2$.

• Estima el valor del segon terme $\sqrt{45}$ sabent que es troba entre $\sqrt{36} = 6$ i $\sqrt{49} = 7$.

• Estima el valor del tercer terme dividint $4$ entre $(\sqrt{5}-1) \approx 1,2$.

• A partir de les tres estimacions, prediu entre quins dos nombres enters es trobarà el resultat global d'$E$.

1. b) Comprova i calcula: Racionalitza el primer terme (denominador monomi), extreu factors del segon terme i racionalitza el tercer terme multiplicant pel seu conjugat. Agrupa els radicals semblants i obtén el valor exacte simplificat.
2. c) Compara el valor exacte obtingut amb la teva estimació prèvia i valora la precisió del teu raonament inicial.

Extreu els factors possibles dels radicals següents i simplifica l'expressió resultant per obtenir un únic terme:

$3\sqrt{80} - 2\sqrt{45} + \sqrt{20}$

En el disseny d'un nou xip per a telèfons intel·ligents, una de les connexions té una longitud donada pel producte de dos components radicals. Calcula el valor exacte d'aquesta longitud simplificant el producte següent i expressant-ho sota un únic radical:

$\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}$

Calcula l'àrea d'una plaça pública de forma quadrada amb un costat que mesura $(2 + \sqrt{5})$ metres. Expressa el resultat de forma exacta simplificant els radicals que apareguin en el desenvolupament del binomi.

Racionalitza les expressions següents per eliminar els radicals del denominador i simplifica el resultat final:

1. a) $\dfrac{6}{\sqrt[3]{9}}$

1. b) $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$

Un arquitecte necessita calcular la pressió que exerceix una estructura sobre el terra. Després de fer els càlculs previs, l'expressió resultant és la següent. Racionalitza-la utilitzant el conjugat del denominador i simplifica al màxim:

$\dfrac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

Troba l'altura ($h$) d'un panell solar triangular si sabem que la seva àrea és de $\sqrt{24}$ metres quadrats i la seva base mesura $\sqrt{2}$ metres. Recorda que l'àrea d'un triangle es calcula com a $A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$. Expressa el resultat simplificant els radicals.

Redueix la següent expressió a un únic radical el més simplificat possible, aplicant les propietats de la arrel d'una arrel i l'extracció de factors:

$\sqrt{\sqrt[3]{64x^8}}$

Realitza la següent operació combinada amb radicals, aplicant la propietat distributiva i simplificant els termes semblants:

$(\sqrt{3} + 2) \cdot (2\sqrt{3} - 5)$

Es vol simplificar la següent operació combinada amb radicals de diferent índex per expressar-la com un únic radical irreductible:

$$P = \frac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt[6]{32}}$$

Dos companys discuteixen sobre l'estratègia més convenient:

• Mètode A (Reducció a índex comú): Descompondre els radicands en factors primers, calcular el mínim comú múltiple dels índexs i unificar-ho tot sota una única arrel abans de simplificar dins del radicand.

• Mètode B (Exponents fraccionaris): Expressar cada arrel com una potència de base 2 amb exponent fraccionari i aplicar les propietats de producte i quocient de potències de la mateixa base sumant i restant els exponents.

1. a) Resol l'expressió pas a pas aplicant el Mètode A.
2. b) Resol l'expressió pas a pas aplicant el Mètode B.
3. c) Justifica raonadament quin dels dos mètodes consideres més eficient i amb menor risc d'error de càlcul en aquest cas concret.
4. d) Continuaria sent aplicable el Mètode B de manera tan directa si en lloc del nombre 8 tinguessis el nombre 12? Justifica quin canvi es produiria en el procediment amb ambdós mètodes.

Considera la següent expressió algebraica en la qual intervenen dues constants racionals desconegudes, $a$ i $b$:

$$K(a, b) = \frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{3} - 1} - \sqrt{75}$$

1. a) Racionalitza el primer terme eliminant l'arrel del denominador monomi.
2. b) Racionalitza el segon terme multiplicant numerador i denominador pel conjugat del denominador.
3. c) Extreu factors de $\sqrt{75}$ per expressar-lo com un radical semblant a $\sqrt{3}$.
4. d) Problema invers: Planteja un sistema d'equacions i calcula els valors exactes d'$a$ i $b$ perquè es compleixin simultàniament dues condicions:

1. Que el terme irracional en $\sqrt{3}$ s'anul·li per complet (és a dir, que $K(a, b)$ sigui un nombre racional).

2. Que el resultat numèric final de l'expressió sigui exactament igual a $4$.

Simplifica al màxim la següent expressió combinada, extreient factors dels radicals i racionalitzant aquells termes que sigui necessari per agrupar la part numèrica:

$$3\sqrt{175} - \frac{5}{\sqrt{7}} + \sqrt[4]{441} - 2\sqrt{112}$$

Redueix a un únic radical i simplifica l'expressió resultant, assumint que les variables $x$ i $y$ representen valors reals positius:

$$\frac{\sqrt[3]{x^2 \cdot y} \cdot \sqrt{x \cdot y^3}}{\sqrt[6]{x^5 \cdot y^4}}$$

Racionalitza i simplifica la següent fracció. Has d'operar el numerador després de la racionalització per obtenir l'expressió més reduïda possible:

$$\frac{2\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}$$

Un arquitecte està dissenyant una claraboia triangular per a un nou centre comercial. El disseny requereix que la base de la claraboia sigui un triangle equilàter amb una altura que sigui exactament $H = \sqrt{18} + \sqrt{6}$ metres. Calcula el valor exacte de l'àrea de la claraboia, expressant el resultat com un radical simplificat en $m^2$.

Simplifica la següent expressió amb radicals niats per convertir-la en una potència d'exponent fraccionari de base $a$:

$$\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt{a \cdot \sqrt[4]{a^3}}}$$

Racionalitza la següent expressió. Tín en compte que, en haver-hi tres arrels quadrades al denominador, és possible que necessitis realitzar el procés de multiplicació pel conjugat més d'una vegada:

$$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$$

Es vol construir una estructura metàl·lica en forma d'ortoedre amb unes dimensions (amplada, llargada i alçada) donades per les expressions següents en metres:

• $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

• $b = \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6}$

• $c = \sqrt{6}$

Calcula el volum total de l'estructura. El resultat ha de ser un nombre real expressat de forma exacta (amb radicals si fos necessari).

En un estudi de disseny gràfic, es treballa amb un logotip que utilitza una espiral basada en rectangles. Un dels segments crítics té una longitud $L$ definida per l'operació entre els radicals següents de diferent índex. Calcula el seu valor exacte i simplifica'l:

$$L = \frac{\sqrt[4]{32} \cdot \sqrt[3]{16}}{\sqrt[6]{2}}$$

Racionalitza la següent expressió i simplifica el resultat extreient tots els factors possibles dels radicals:

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$$

El resultat és un nombre racional o irracional? Justifica la teva resposta analitzant l'estructura del nombre obtingut.

Una cooperativa agrària de Navarra projecta instal·lar panells solars en dues parcel·les contigües que comparteixen un terme recte:

• La parcel·la A és quadrada i la seva superfície registral és de $72\text{ dam}^2$.

• La parcel·la B és rectangular, té una superfície de $50\text{ dam}^2$ i un dels seus costats fa exactament $x = \frac{10}{\sqrt{2} + 1}\text{ dam}$.

1. a) Calcula la longitud exacta del costat de la parcel·la A, simplificant el radical al màxim mitjançant extracció de factors.
2. b) Troba la longitud exacta de l'altre costat de la parcel·la B (denotat per $y$) dividint la seva superfície entre $x$. Racionalitza el resultat multiplicant pel conjugat i expressa'l de forma simplificada.
3. c) Per optimitzar el tancament, es retira la tanca divisòria interior (la longitud de la qual coincideix exactament amb el costat menor de la parcel·la B) i es tanca únicament el perímetre exterior conjunt de totes dues parcel·les. Obtén l'expressió exacta i simplificada, sense arrels a denominadors i agrupant termes semblants, dels decàmetres totals de filat necessaris.
4. d) Si el cost de la tanca és de $18\text{ €/dam}$ i es pren l'aproximació $\sqrt{2} \approx 1,414$, calcula el pressupost total estimat i argumenta per què és preferible operar amb l'expressió simbòlica exacta amb radicals fins al final en lloc d'arrodonir amb decimals les mesures de cada costat a l'inici del projecte.

Considera l'expressió dependent de dos paràmetres enters positius $m$ i $n$:

$$T(m, n) = \frac{\sqrt[3]{2^m}}{\sqrt[4]{2^n}} \cdot \sqrt[12]{32}$$

1. a) Expressa $T(m, n)$ com una única potència de base 2 amb exponent fraccionari en funció de $m$ i $n$, detallant la reducció d'índexs a comú denominador.
2. b) Sabent que $T(m, n)$ ha de ser un nombre enter, dedueix la relació lineal que han de verificar $m$ i $n$, i troba el parell d'enters estrictament positius més petit $(m, n)$ tal que $T(m, n) = 2$.
3. c) Utilitzant el valor $T(m, n) = 2$ obtingut, es defineix la següent expressió combinada amb un paràmetre racional $k$:

$$H(k) = \frac{T(m, n)}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{175} + \sqrt{28}}{k}$$

Racionalitza el primer terme mitjançant el seu conjugat, extreu factors del segon terme i determina el valor del nombre racional $k$ per al qual s'anul·la el coeficient de $\sqrt{7}$, deixant $H(k)$ com un radical pur en $\sqrt{5}$.

1. d) Demostra raonadament per què no existeix cap valor de $k \in \mathbb{Q}$ que permeti transformar $H(k)$ en un nombre racional no nul.

Repte del tema. Com impacta la inflació en l'economia domèstica? Has d'avaluar la pèrdua de poder adquisitiu a Espanya i proposar una estratègia d'estalvi familiar.

1. Recollida de dades: Accedeix al web de l'INE i consulta l'IPC mitjà de l'últim any i el salari mitjà anual (aprox. $26\,900$ €). Representa a la recta real la taxa anual $r$ (ex. $r = 0,032$) i calcula l'error absolut de l'arrodiment fent servir $|x - \tilde{x}| \le 10^{-3}$.

2. Modelització i càlcul: En un full de càlcul, modelitza la pèrdua de valor d'un estalvi inicial de $10^4$ € amb la funció $C(t) = 10^4 \cdot (1 + r)^{-t}$. Expressa les quantitats en notació científica. Fes servir potències d'exponent racional i radicals per calcular el valor equivalent mensual ($t = 1/12$). Aplica logaritmes per determinar amb precisió quants anys trigarà l'estalvi a reduir-se a la meitat.

3. Operacions amb funcions i informe: Si els ingressos familiars creixen segons $I(t) = I_0 \cdot (1 + 0,015)^t$ i el cost de vida segons $G(t) = G_0 \cdot (1 + r)^t$, defineix i opera la funció d'estalvi net $A(t) = I(t) - G(t)$. Redacta un informe breu amb les teves conclusions i recomanacions.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de dades de l'INE i acotació d'errors amb valor absolut.

• Domini de logaritmes, notació científica i radicals al full de càlcul.

• Correcció en compondre o operar funcions i claredat de les conclusions de l'informe.