Exercicis: Tècniques de recompte

Una plataforma de streaming permet personalitzar el perfil d'usuari triant un avatar entre 4 animals diferents (lleó, panda, gat i llop) i un color de fons entre 3 opcions (blau, verd i taronja).

1. a) Descriu l'espai mostral $E$ de les possibles combinacions de perfil.

1. b) Quants elements té l'espai mostral? Utilitza el principi multiplicatiu per justificar-ho.

Al menú de la cafeteria del teu institut pots triar un primer plat entre amanida, pasta o arròs; un segon entre pollastre o peix; i una postra entre fruita o iogurt.

1. a) Representa mitjançant un diagrama d'arbre totes les opcions possibles de menú complet.
2. b) Si tries un menú a l'atzar, quina és la probabilitat que inclogui "pasta" de primer?

Un cadenat de combinació per a un armariet té un codi de 3 xifres. Cada xifra pot ser un nombre del $1$ al $5$.

1. a) Quantes combinacions diferents es poden crear si els nombres es poden repetir?
2. b) Quantes combinacions hi ha si els tres nombres han de ser diferents?

En una classe de 1r de Batxillerat hi ha 30 alumnes. Se sap que 18 d'ells han aprovat l'últim examen de Matemàtiques i 12 han aprovat el d'Anglès. Si hi ha 5 alumnes que han aprovat totes dues assignatures:

1. a) Calcula la probabilitat que, en triar un alumne a l'atzar, aquest hagi aprovat Matemàtiques o Anglès.
2. b) Calcula la probabilitat que no hagi aprovat cap de les dues assignatures.

Cinc amics (Ana, Beto, Clara, David i Elena) van al cinema i s'asseuen en una fila de cinc butaques consecutives.

1. a) De quantes formes diferents poden asseure's a la fila?
2. b) Si decideixen que l'Ana i el Beto s'han d'asseure sempre als dos extrems de la fila, quantes disposicions diferents són possibles ara?

S'extreu una bola d'una urna que conté 10 boles numerades del $1$ al $10$. Considerem els successos següents:

$A = \text{"Obtenir un nombre primer"}$

$B = \text{"Obtenir un múltiple de 3"}$

1. a) Escriu els elements que formen els successos $A \cup B$ i $A \cap B$.
2. b) Calcula les probabilitats $P(A)$, $P(B)$ i $P(A \cup B)$ aplicant la Regla de Laplace.

Un grup de música té preparades 10 cançons per al seu nou àlbum, però la discogràfica els diu que només poden incloure-hi 4 d'elles.

1. a) Quantes seleccions diferents de 4 cançons poden fer si no importa l'ordre en què es triïn?
2. b) Com es diuen aquest tipus d'agrupacions en combinatòria? Justifica la teva resposta.

En un torneig local d'escacs participen 8 jugadors. Es repartiran tres trofeus diferents per al primer, segon i tercer classificat.

1. a) De quantes formes diferents es poden repartir els tres premis?
2. b) Si el campió de l'any passat torna a participar i estem segurs que quedarà entre els tres primers, quantes classificacions de podi són possibles ara?

En una classe de 1r de Batxillerat de 20 estudiants s'ha de formar una comissió de 3 persones per coordinar les jornades culturals del centre. Tots els membres de la comissió tindran la mateixa responsabilitat i no hi haurà càrrecs jeràrquics.

En Lucas calcula el nombre de comissions possibles de la manera següent:

«Per a la primera persona hi ha 20 opcions; per a la segona, 19; i per a la tercera, 18. Per tant, el nombre total de comissions possibles és $20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet en Lucas i explica detalladament per què el seu càlcul compta comissions repetides de més.
2. b) Corregeix el càlcul d'en Lucas aplicant la tècnica de recompte adequada per determinar el nombre real de comissions diferents que es poden formar.
3. c) Si la direcció del centre decidís assignar a les tres persones tres funcions clarament diferenciades (coordinació d'actes, tresoreria i comunicació), seria llavors correcte el raonament original d'en Lucas? Justifica la teva resposta distingint la importància de l'ordre en cadascuna de les dues situacions.

A la prova d'avaluació d'Història del Món Contemporani de 1r de Batxillerat, l'examen consta d'un banc de 6 preguntes de desenvolupament i cada estudiant n'ha de seleccionar lliurement 4 per respondre-les.

1. a) Abans de fer cap càlcul amb fórmules combinatòries, fes una estimació intuïtiva i raonada de quantes eleccions diferents de 4 preguntes són possibles: creus que el resultat estarà entre 1 i 10, entre 11 i 30, o superarà les 50 opcions? Justifica breument en què bases la teva previsió inicial.
2. b) Modela la situació i calcula formalment el nombre exacte d'opcions mitjançant la tècnica de recompte pertinent, justificant per què influeix o no l'ordre d'elecció.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada i explica, mitjançant la propietat de simetria dels nombres combinatoris $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, per què seleccionar 4 preguntes per contestar d'entre 6 disponibles produeix exactament la mateixa quantitat d'opcions que seleccionar 2 preguntes per descartar.

Un grup de 12 estudiants de 1r de Batxillerat ha estat seleccionat per assistir a un congrés sobre sostenibilitat. El centre ha de triar 4 d'ells per formar una comissió de portaveus.

• a) De quantes formes diferents es pot triar la comissió si no hi ha distinció de càrrecs?

• b) Si entre els 12 estudiants hi ha 7 noies i 5 nois, quina és la probabilitat que la comissió estigui formada exactament per 2 nois i 2 noies?

Una plataforma de contingut en streaming utilitza un codi de seguretat per al control parental. El codi consta de 2 lletres (d'un alfabet de 26, sense la Ñ) seguides de 3 dígits (del 0 al 9).

• a) Quants codis diferents es poden crear si es poden repetir lletres i nombres?

• b) Si un usuari oblida el seu codi però recorda que comença per la lletra "A" i acaba en el número "7", quantes combinacions possibles hauria de provar?

• c) Si el codi es generés de forma aleatòria sense permetre repetició de cap caràcter (lletres o nombres), quina seria la probabilitat que el codi fos "BX123"?

En una lliga de bàsquet local, s'ha analitzat l'efectivitat dels llançaments de tres punts d'un jugador. Se sap que si anota el primer triple, la probabilitat d'anotar el segon és de $0,7$. Tanmateix, si falla el primer, la probabilitat d'anotar el segon és només de $0,4$. Se sap que la probabilitat d'anotar el primer triple d'un partit és de $0,5$.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre associat a l'experiment de llançar dos triples consecutius.

1. b) Calcula la probabilitat que el jugador anoti exactament un dels dos llançaments.

1. c) Si sabem que el jugador ha fallat el segon llançament, quina és la probabilitat que hagués anotat el primer?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa tecnològica fabrica auriculars inalàmbrics a dues plantes, una a Espanya i l'altra al Vietnam. La planta d'Espanya produeix el $40\%$ del total i el Vietnam la resta. S'ha detectat que el $3\%$ dels auriculars d'Espanya tenen fallades de connexió, mentre que a la planta del Vietnam aquesta fallada apareix en el $6\%$ de la producció.

• a) Si comprem uns auriculars a l'atzar, quina és la probabilitat que funcionin correctament?

• b) Si comprem uns auriculars i resulta que tenen fallades de connexió, quina és la probabilitat que hagin estat fabricats a la planta d'Espanya?

S'ha realitzat una enquesta a 200 joves sobre els seus hàbits de lectura i de consum de televisió. Les dades es recullen en la taula de contingència següent:

Si triem un jove a l'atzar d'aquesta enquesta, calcula:

• a) La probabilitat que llegeixi habitualment i vegi la televisió menys de 2 hores al dia.

• b) Sabent que el jove llegeix habitualment, quina és la probabilitat que vegi la televisió més de 2 hores al dia?

• c) Són els successos "Llegir habitualment" i "Veure la televisió més de 2 hores al dia" independents? Justifica la resposta matemàticament.

En una caixa d'eines hi ha 5 tornavisos d'estrella i 3 de punta plana. Es trien 2 tornavisos a l'atzar, un després de l'altre i sense tornar el primer a la caixa.

1. a) Calcula la probabilitat que tots dos siguin del mateix tipus.

1. b) Calcula la probabilitat que el segon sigui de punta plana sabent que el primer ha estat d'estrella.

1. c) Si l'experiment es fes amb devolució (reemplaçament), com canviaria la probabilitat de l'apartat a)? Calcula'n el nou valor i compara'l amb el de l'apartat a).

Pots ajudar-te d'un diagrama d'arbre que dibuixis tu mateix.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un espai mostral tals que en coneixem les probabilitats: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \cap B) = 0,2$.

Calcula les probabilitats següents utilitzant les propietats de la probabilitat:

• a) $P(A \cup B)$

• b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (Probabilitat que no ocorri ni A ni B).

• c) $P(A | \bar{B})$ (Probabilitat de A condicionat a que no ocorri B).

Un dissenyador de moda està creant una col·lecció càpsula. Per a la desfilada final, ha d'organitzar 6 models en una fila única.

• a) De quantes formes diferents poden desfilar les 6 models?

• b) Si entre les models n'hi ha dues que són germanes i el dissenyador insisteix que han de desfilar l'una immediatament després de l'altra, de quantes formes es pot organitzar ara la fila?

• c) Si el dissenyador decideix que les dues germanes no poden estar juntes en cap cas, quantes opcions té?

Per organitzar una campanya de voluntariat juvenil en un municipi es crea un grup de treball compost per 4 estudiants triats per sorteig entre un col·lectiu voluntari de 12 persones format per 7 noies i 5 nois. Es vol determinar de quantes maneres diferents es pot constituir el grup de manera que compti amb almenys una noia.

Dos membres de l'equip directiu proposen estratègies de recompte diferents:

• Mètode A (recompte directe): Comptar per separat les comissions possibles amb exactament 1 noia, amb 2 noies, amb 3 noies i amb 4 noies, i sumar els quatre resultats.

• Mètode B (mètode del complementari): Calcular el total de grups possibles de 4 persones sense cap restricció i restar aquells grups en què no participa cap noia.

1. a) Desenvolupa i resol numèricament el problema seguint pas a pas el Mètode A.
2. b) Desenvolupa i resol numèricament el problema seguint pas a pas el Mètode B, comprovant que tots dos camins condueixen a la mateixa solució.
3. c) Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos resulta més avantatjós i eficient si el grup voluntari augmentés a 20 noies i 15 nois i s'hagués de triar una delegació de 8 persones amb almenys una noia.

El sistema ordinari de matriculació de vehicles a Espanya, regulat per la Direcció General de Trànsit (DGT), assigna a cada vehicle una placa formada per dos blocs consecutius: primer, quatre dígits numèrics (des del $0000$ fins al $9999$) i, a continuació, tres lletres de l'alfabet.

Per evitar paraules malsonants o acrònims confusos, així com errors de lectura amb els nombres, la normativa espanyola exclou del bloc de lletres les cinc vocals (A, E, I, O, U) i les consonants Ñ i Q. D'aquesta manera, s'utilitzen exactament 20 consonants diferents. Tant en els dígits com en les lletres es permet repetir caràcters (per exemple, la matrícula $0044\text{--}BBD$ és plenament vàlida).

1. a) Modela l'espai de totes les matrícules possibles identificant la tècnica de recompte adequada per a cadascun dels dos blocs. Determina la capacitat teòrica total de vehicles que es poden matricular amb aquest sistema a Espanya.
2. b) Segons els informes del parc mòbil espanyol de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) i de la DGT, a Espanya circulen actualment al voltant de 33 milions de vehicles matriculats. A partir del resultat obtingut en l'apartat anterior, raona si aquest sistema té risc d'esgotar-se a curt o mitjà termini.
3. c) Si la DGT aprovés una reforma tècnica que prohibís repetir qualsevol lletra dins de la mateixa matrícula (permetent, per exemple, BCD però no BBC), quantes matrícules vàlides quedarien i quin percentatge exacte de matrícules respecte al sistema original es perdria? Justifica els càlculs combinatoris.

Un sistema de seguretat informàtica requereix que les contrasenyes tinguin exactament $8$ caràcters. Aquests s'han de triar entre les $26$ lletres de l'alfabet (sense distingir majúscules de minúscules) i els $10$ dígits numèrics ($0-9$). Una contrasenya es considera "robusta" si conté com a mínim dos dígits numèrics i no repeteix cap caràcter. Si un programa genera una contrasenya aleatòria que compleix la condició de no repetir caràcters, calcula la probabilitat que aquesta sigui "robusta".

En un torneig de debat intercentres participen $12$ estudiants: $7$ noies i $5$ nois. Per a la fase final, s'ha de triar un equip de $4$ representants de forma aleatòria. Calcula la probabilitat que l'equip triat compleixi simultàniament que:

• Hi hagi representació de tots dos sexes.

• El nombre de noies sigui estrictament més gran que el de nois.

Una empresa de logística organitza les seves rutes utilitzant un codi de barres de $10$ franges verticals. Cada franja pot ser de color negre, gris o blanc. Per motius de llegibilitat de l'escàner, no es permeten codis on hi hagi tres franges consecutives del mateix color.

1. Quants codis diferents de $10$ franges es poden formar en total (sense restriccions)?

2. Si es tria un codi a l'atzar entre tots els possibles (sense restriccions), quina és la probabilitat que les franges en les posicions senars siguin totes negres i les de les posicions parells siguin totes blanques o grises?

Un analista de dades estudia el comportament dels usuaris en una plataforma de streaming. Disposa de la informació següent sobre una mostra de $500$ usuaris:

• El $65\%$ són menors de $25$ anys.

• El $40\%$ dels usuaris utilitza la plataforma principalment per a veure documentals.

• Entre els que no veuen documentals, el $70\%$ són menors de $25$ anys.

Si es selecciona un usuari a l'atzar i resulta ser menor de $25$ anys, calcula la probabilitat que la seva preferència principal siguin els documentals. Utilitza una taula de contingència per a organitzar la informació.

En una caixa d'eines hi ha $15$ bombetes LED, de les quals se sap que $3$ estan defectuoses. Si extraiem $4$ bombetes una a una i sense devolució:

1. Calcula la probabilitat que la quarta bombeta extreta sigui la segona defectuosa que apareix en el procés.

2. Si les extraccions es fessin amb devolució, canviaria la probabilitat anterior? Justifica la resposta utilitzant tècniques de recompte.

Se sap que en una determinada ciutat el $20\%$ dels dies plou ($LL$), el $10\%$ fa molt de vent ($V$) i el $5\%$ es donen totes dues condicions simultàniament.

1. Calcula la probabilitat que en un dia triat a l'atzar no plogui i no faci vent.

2. Sabent que un dia no ha plogut, quina és la probabilitat que fes molt de vent?

3. Són els successos "ploure" i "fer molt de vent" independents? Demostra-ho matemàticament.

Un examen tipus test consta de $5$ preguntes amb $4$ opcions de resposta cadascuna, de les quals només una és correcta. Un alumne que no ha estudiat gens decideix respondre a l'atzar. Tanmateix, té una estratègia: per a cada pregunta, descarta una de les opcions que sap amb seguretat que és falsa (per ser absurda) i tria a l'atzar entre les tres restants.

1. Calcula la probabilitat que obtingui exactament $3$ encerts.

2. Quina és la probabilitat que encerti com a mínim una pregunta?

Una urna conté $n$ boles blanques i $4$ boles vermelles. S'extreuen dues boles simultàniament (o successivament sense devolució). Si se sap que la probabilitat que les dues boles siguin blanques és igual a $1/3$, determina el nombre total de boles que hi ha a l'urna. (Nota: hauràs de plantejar una equació combinatòria i resoldre-la per trobar el valor de $n$).

En el departament d'atenció al client d'una empresa de comerç electrònic treballen 8 dones i un nombre desconegut $h$ d'homes ($h \ge 2$). Amb motiu d'una avaluació de qualitat interna, la direcció seleccionarà a l'atzar una parella de 2 treballadors del departament per coordinar les auditories, sense distinció de funcions entre ells.

Es sap amb certesa que la probabilitat que les dues persones seleccionades per sorteig siguin del mateix sexe és exactament $\frac{7}{15}$.

1. a) Expressa en funció d'$h$, utilitzant nombres combinatoris i justificant per què es tracta de combinacions sense repetició, tant el nombre total de parelles possibles que es poden formar en el departament com el nombre de parelles favorables formades per dues persones del mateix sexe.
2. b) Planteja l'equació associada a la probabilitat indicada i resol-la algebraicament pas a pas per trobar els possibles valors del nombre d'homes $h$.
3. c) Interpreta amb sentit crític els resultats obtinguts: com és possible que existeixin dos nombres enters diferents d'homes que proporcionin exactament la mateixa probabilitat d'obtenir una parella del mateix sexe? Explica aquest fenomen analitzant com varien conjuntament els casos favorables i els casos possibles en passar d'una solució a l'altra.

A l'Audiència Provincial, d'acord amb la Llei orgànica del tribunal del jurat a Espanya, s'ha de constituir un jurat popular format per 9 jurats titulars i 2 jurats suplents. Finalitzada la fase de recusacions, queden a la sala 15 candidats preseleccionats: 9 dones i 6 homes. El procés de designació s'efectua per sorteig rigorós en dues fases consecutives: primer s'extreuen a l'atzar els 9 jurats titulars (entre els quals no hi ha ordre ni jerarquia); tot seguit, d'entre els candidats no elegits, s'extreuen per ordre els 2 jurats suplents, assignant al primer extret la condició de «primer suplent» i al segon la de «segon suplent» (aquí l'ordre sí que és rellevant per determinar la prioritat davant d'una eventual substitució).

1. a) Modela mitjançant el principi multiplicatiu i les tècniques combinatòries pertinents el nombre total de configuracions diferents en què pot quedar constituït el tribunal complet (9 titulars i 2 suplents ordenats).
2. b) Si el sorteig és equiprobable, calcula la probabilitat que el tribunal de 9 jurats titulars quedi constituït amb majoria femenina (és a dir, amb almenys 5 dones titulars). Detalla i justifica el recompte dels casos favorables aplicant combinatòria.
3. c) Durant el procés judicial, un lletrat sosté la queixa processal següent: «L'ordre en què es fan els sortejos altera les possibilitats: si haguéssim sortejat en primer lloc els 2 suplents amb el seu ordre de prelació entre els 15 candidats, i dels 13 restants haguéssim extret els 9 titulars, el nombre total de configuracions possibles del tribunal hauria estat completament diferent». Demostra algebraicament si l'afirmació del lletrat és vertadera o falsa comparant les expressions combinatòries de tots dos procediments.