Exercicis: Successos dependents i independents

Siguin $A$ i $B$ dos successos associats a un experiment aleatori. Sabem que la probabilitat que passi el succés $A$ és $P(A) = 0,6$ i la probabilitat que passi el succés $B$ és $P(B) = 0,3$. Si es sap que els successos són independents, calcula la probabilitat que passin tots dos alhora, és a dir, $P(A \cap B)$.

En una màquina de xicles hi ha boles de tres colors: 10 vermelles, 6 blaves i 4 verdes. Un nen treu un xicle, n'anota el color, el torna a introduir a la màquina i treu un segon xicle.

1. a) Justifica si els successos "treure bola vermella en la primera" i "treure bola blava en la segona" són dependents o independents.
2. b) Calcula la probabilitat que el primer xicle sigui blau i el segon sigui verd.

Extraiem dues cartes d'una baralla espanyola de 40 cartes, l'una rere l'altra i sense retornar la primera a la baralla.

1. a) Quina és la probabilitat que la primera carta sigui un Rei?
2. b) Sabent que la primera carta va ser un Rei, quina és la probabilitat que la segona també sigui un Rei?
3. c) Són aquests successos dependents o independents?

Un estudiant de 1r de Batxillerat té dos exàmens el mateix dia: Matemàtiques i Anglès. La probabilitat d'aprovar Matemàtiques és $P(M) = 0,7$ i la d'aprovar Anglès és $P(I) = 0,8$. Suposant que aprovar un examen no influeix en el resultat de l'altre:

1. a) Calcula la probabilitat d'aprovar tots dos exàmens.
2. b) Calcula la probabilitat de no aprovar cap dels dos.

En un calaix d'un emprovador d'una botiga de roba han quedat oblidats 4 mitjons negres i 2 mitjons blancs, tots de la mateixa mida i tacte. Si una depenenta hi fica la mà i n'extreu dos mitjons a l'atzar, l'un rere l'altre i sense mirar:

1. a) Completa el diagrama d'arbre següent amb les probabilitats corresponents.
2. b) Calcula la probabilitat que els dos mitjons extrets siguin negres.

S'ha realitzat una enquesta en un institut sobre l'ús de dues xarxes socials: Instagram ($I$) i TikTok ($T$). Els resultats mostren que el $70\%$ dels alumnes utilitza Instagram, el $50\%$ utilitza TikTok i el $35\%$ utilitza totes dues plataformes. Determina si l'ús d'Instagram és independent de l'ús de TikTok en aquest institut.

En un control de qualitat d'una fàbrica de bombetes, es sap que la probabilitat que una bombeta sigui defectuosa és $0,02$. Si s'elegeixen dues bombetes a l'atzar, calcula la probabilitat que:

1. a) Cap sigui defectuosa.
2. b) Les dues siguin defectuoses.

(Nota: La mida del lot és tan gran que es pot considerar que l'extracció d'una bombeta no afecta la probabilitat de la següent).

Observa la taula de contingència següent que mostra el tipus d'esport preferit per un grup de 100 adolescents:

S'elegeix un adolescent a l'atzar. Calcula:

1. a) $P(F)$, la probabilitat que li agradi el futbol.
2. b) $P(F|H)$, la probabilitat que li agradi el futbol sabent que és un noi.
3. c) A la vista dels resultats, són independents els successos "ser noi" i "agradar el futbol"?

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials, es planteja la qüestió següent: «Llençum un dau equilibrat de sis cares. Considerem els esdeveniments $A$: "obtenir un nombre parell" i $B$: "obtenir un nombre senar". Són $A$ i $B$ independents?».\n\nEn Lucas respon al seu examen:\n«Com que és impossible treure un nombre parell i senar alhora, els esdeveniments no s'influeixen en absolut; per tant, són independents perquè l'un no pot alterar l'altre».\n\na) Troba l'error conceptual en el raonament d'en Lucas i explica detalladament per què confon els conceptes d'«esdeveniments incompatibles» i d'«esdeveniments independents».\nb) Corregeix l'exercici fent la comprovació matemàtica formal rigorosa mitjançant la igualtat $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ per classificar amb certesa si els esdeveniments són dependents o independents.

En una petita cooperativa de serveis de $10$ persones associades, $4$ disposen de titulació en comerç internacional i $6$ no. Per anar a una ronda de negocis se seleccionen a l'atzar i de manera consecutiva $2$ persones diferents (mostratge sense reemplaçament). Siguin els esdeveniments $A$: «la primera persona seleccionada té la titulació» i $B$: «la segona persona seleccionada té la titulació».\n\na) Abans de calcular res, estima de manera intuïtiva i raona: creus que el fet que passi $A$ augmenta, redueix o deixa inalterada la probabilitat que passi $B$? En conseqüència, esperes que els esdeveniments siguin independents o dependents?\nb) Calcula ara els valors exactes de $P(A)$, de la probabilitat condicionada $P(B|A)$ i de la probabilitat de la intersecció $P(A \cap B)$.\nc) Calcula la probabilitat marginal $P(B)$ i comprova numèricament si es compleix la condició d'independència $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Valora si el resultat matemàtic obtingut coincideix amb la teva estimació inicial i explica quin paper hi ha jugat l'absència de reemplaçament.

En una plataforma de música per streaming, el $60\%$ dels usuaris escolten el gènere "Urban" ($U$) i el $45\%$ escolten "Pop" ($P$). Es sap a més que el $27\%$ dels usuaris escolten tots dos gèneres musicals.

1. a) Determina si els successos "escoltar Urban" i "escoltar Pop" són independents. Justifica la teva resposta matemàticament.

1. b) Si seleccionem un usuari que sabem que escolta música "Pop", quina és la probabilitat que també escolti "Urban"?

Una urna conté 5 boles grogues i 3 boles liles. Extraiem dues boles de la urna de forma consecutiva i sense devolució.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent a aquest experiment, indicant la probabilitat de cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat que les dues boles extretes siguin del mateix color.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un programador de videojocs està provant el sistema de "crítics" d'un personatge. El personatge té una probabilitat de $0,2$ d'assestar un cop crític ($C$). No obstant això, el sistema està dissenyat perquè, si el darrer cop va ser crític, la probabilitat que el següent també ho sigui baixi a $0,1$ a causa del temps de recàrrega de l'habilitat. Si el darrer cop no va ser crític, la probabilitat del següent es manté en $0,2$.

1. a) Són els successos "primer cop crític" i "segon cop crític" independents? Raona la resposta.

1. b) Calcula la probabilitat que, en una seqüència de dos cops, el personatge no assesti cap crític.

En un institut de Madrid, s'ha realitzat un estudi sobre els hàbits d'esmorzar i el curs que fan els alumnes, i s'han obtingut les dades següents:

S'elegeix un alumne a l'atzar. Comprova si el succés "esmorzar a casa" és independent del succés "estar a 1r de Batxillerat".

Dos components electrònics d'un dron, $A$ i $B$, funcionen de forma independent. La probabilitat que falli el component $A$ és de $0,05$ i la probabilitat que falli el component $B$ és de $0,08$.

1. a) Calcula la probabilitat que el dron pugui continuar volant si per a això cal que almenys un dels dos components funcioni correctament.

1. b) Calcula la probabilitat que falli exactament un dels dos components.

Extraiem dues cartes d'una baralla espanyola de 40 cartes, l'una rere l'altra i sense retornar la primera.

1. a) Quina és la probabilitat que la segona carta sigui un Rei, sabent que la primera carta va ser l'As d'Oros?

1. b) Quina és la probabilitat d'obtenir dues figures (Sota, Cavall o Rei) de pals diferents?

Un estudiant de Batxillerat té dos despertadors independents al seu mòbil. El primer ($D_1$) funciona el $95\%$ dels matins i el segon ($D_2$) funciona el $90\%$ de les vegades.

1. a) Calcula la probabilitat que l'estudiant es quedi adormit perquè no soni cap dels dos despertadors.

1. b) Si sabem que almenys un dels despertadors ha sonat, quina és la probabilitat que el despertador $D_1$ hagi fallat?

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un espai mostral tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ i $P(A \cup B) = 0,58$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.

1. b) Determina si els successos $A$ i $B$ són independents.

1. c) Calcula la probabilitat condicionada $P(A | \bar{B})$, sent $\bar{B}$ el succés contrari de $B$.

En una prefectura provincial de Trànsit s'analitzen les dades de $200$ aspirants que es presenten a la prova pràctica de conduir. Del total d'aspirants, $120$ van fer prèviament un curs intensiu de simulador de trànsit ($S$) i la resta no. Després d'avaluar les actes, es comprova que $90$ dels que van fer el curs intensiu van aprovar a la primera ($A$), mentre que dels que no van fer el curs intensiu únicament van aprovar $40$.\n\na) Modela la informació donada construint una taula de contingència completa de freqüències absolutes i calcula les probabilitats $P(S)$, $P(A)$ i $P(S \cap A)$.\nb) Determina formalment si l'esdeveniment «aprovar a la primera» i l'esdeveniment «haver fet el curs de simulador» són esdeveniments matemàticament independents.\nc) A partir dels resultats i comparant $P(A|S)$ amb $P(A)$, interpreta l'eficàcia del curs per a la Direcció General de Trànsit: aconsellaries recomanar aquest curs als futurs conductors? Justifica la teva resposta en termes de probabilitat.

En una investigació sobre el consum cultural dels joves a Espanya, s'analitzen dos serveis de subscripció: premsa digital generalista ($D$) i plataformes de música a la carta ($M$). Se sap que la probabilitat que una persona jove estigui subscrita a la premsa digital és $P(D) = 0,40$ i que la probabilitat que estigui subscrita almenys a un dels dos serveis és $P(D \cup M) = 0,70$.\n\na) Planteja una equació a partir de les propietats de la probabilitat i dedueix quin ha de ser exactament el valor de $P(M)$ perquè estar subscrit a la música i a la premsa digital siguin esdeveniments estadísticament independents.\nb) Suposem que un sondeig posterior més ampli revela que en realitat la probabilitat de subscripció a la música és $P(M) = 0,60$. Amb aquesta nova dada, calcula el valor real de $P(D \cap M)$ i determina si els dos serveis es comporten com a esdeveniments que «s'atreuen» (passen junts amb més freqüència de l'esperada per pur atzar) o que «es repel·leixen» (passen junts amb menys freqüència de l'esperada).

En un popular videojoc d'estratègia, els jugadors obren "cofres llegendaris" per obtenir recompenses. La probabilitat d'obtenir un heroi de nivell S en el primer cofre és de només $0,05$. No obstant això, el joc té un sistema de "sort acumulada": si no obtens l'heroi en un cofre, la probabilitat d'obtenir-lo en el següent augmenta en $0,02$ respecte a la probabilitat del cofre anterior. Si obtens l'heroi, la probabilitat torna a ser $0,05$ per al següent intent.

La figura mostra la situació que has d'estudiar: els dos primers cofres no donen l'heroi i l'heroi apareix al tercer.

Calcula la probabilitat que un jugador necessiti obrir exactament tres cofres per obtenir el seu primer heroi de nivell S.

Una urna conté $n$ boles blanques i $4$ boles negres. S'extreuen successivament dues boles sense retorn. Sabent que la probabilitat que totes dues boles siguin blanques és exactament $\frac{1}{3}$, determina mitjançant una equació algebraica quantes boles blanques hi havia inicialment a l'urna.

Un sistema de seguretat de doble autenticació envia un codi al mòbil de l'usuari. Si el primer missatge no arriba (cosa que passa amb una probabilitat de $0,12$), el sistema intenta un segon enviament. No obstant això, a causa de la saturació de la xarxa, si el primer enviament va fallar, la probabilitat que el segon també falli augmenta a $0,45$. D'altra banda, si el primer enviament va ser un èxit, la probabilitat que l'usuari rebi un segon missatge de confirmació és de $0,98$.

Calcula la probabilitat que un usuari rebi el segon missatge, independentment del que hagi passat amb el primer.

En un entrenament de bàsquet, un jugador llança dos tirs lliures consecutius. La probabilitat d'encistellar el primer és de $0,7$. Si encistella el primer, la seva confiança augmenta i la probabilitat d'encistellar el segon és de $0,8$. Si falla el primer, es posa nerviós i la probabilitat d'encistellar el segon baixa a $0,4$.

Si sabem que el jugador ha encistellat només un dels dos llançaments, quina és la probabilitat que hagi estat el segon?

Tres laboratoris farmacèutics ($L_1$, $L_2$ i $L_3$) fabriquen el mateix tipus de test d'antígens. $L_1$ produeix el $45\%$ del total, $L_2$ el $30\%$ i $L_3$ la resta. Es sap que el percentatge de tests defectuosos és del $1\%$ per a $L_1$, del $2\%$ per a $L_2$ i del $3\%$ per a $L_3$.

Si triem dos tests a l'atzar d'un gran lot on estan barrejats tots els fabricants (pots considerar que l'extracció és amb reemplaçament a causa del gran volum):

1. a) Quina és la probabilitat que tots dos siguin defectuosos?
2. b) Sabent que el primer ha resultat defectuós, quina és la probabilitat que el segon també ho sigui? Justifica si aquests successos són dependents o independents.

Dos successos $A$ i $B$ compleixen que $P(A) = 0,6$ i $P(B) = 0,7$. La figura mostra un diagrama de Venn amb els dos successos dins de l'espai mostral $\Omega$.

1. a) Determina l'interval de valors possibles per a la probabilitat de la intersecció $P(A \cap B)$.

1. b) Basant-te en això, raona per què els successos $A$ i $B$ no poden ser mai incompatibles.

1. c) Quin valor hauria de tenir $P(A \cap B)$ perquè $A$ i $B$ fossin independents?

En un centre d'intel·ligència, un programari de reconeixement facial analitza imatges. La probabilitat que identifiqui correctament un individu si aquest és a la base de dades és de $0,95$. No obstant això, el programari té un marge d'error i a vegades identifica erròniament persones que no són a la base de dades amb una probabilitat de $0,02$.

Sabent que només el $1\%$ de les persones que passen per una duana són a la base de dades, calcula:

1. a) La probabilitat que el programari doni una alerta (identifiqui algú).
2. b) Si el programari ha identificat una persona, quina és la probabilitat que realment sigui a la base de dades?

Es llancen dos daus tetraèdrics (cares numerades del 1 al 4). Siguin els successos:

• $A$: "La suma de les cares és un nombre primer".

• $B$: "El producte de les cares és un múltiple de 4".

• $C$: "Almenys un dels daus mostra un 1".

Estudia la independència dels successos $A$ i $B$, i dels successos $B$ i $C$. Existeix alguna relació de dependència entre el resultat del primer dau i el resultat del segon? Explica-ho matemàticament.

Un servidor d'emmagatzematge de dades crítiques d'una entitat bancària disposa de dos sistemes independents de còpia de seguretat, $S_1$ i $S_2$. Davant d'una pèrdua accidental de fitxers, la probabilitat que el sistema $S_1$ recuperi les dades és $0,90$, i la del sistema $S_2$ és $0,80$. Per calcular la probabilitat que l'entitat no perdi les dades (és a dir, que almenys un dels dos sistemes funcioni amb èxit, esdeveniment $S_1 \cup S_2$), dos analistes proposen procediments diferents:\n- Mètode 1: Aplicar la regla general de la addició $P(S_1 \cup S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1 \cap S_2)$, fent servir la independència de $S_1$ i $S_2$ per calcular la intersecció.\n- Mètode 2: Utilitzar l'esdeveniment contrari i calcular $1 - P(\overline{S_1} \cap \overline{S_2})$, assumint que si dos esdeveniments són independents, els seus contraris també ho són.\n\na) Desenvolupa numèricament tots dos mètodes i comprova que proporcionen un resultat idèntic.\nb) Demostra de manera algebraica general que si dos esdeveniments qualssevol $A$ i $B$ són independents, llavors els seus esdeveniments contraris $\overline{A}$ i $\overline{B}$ són obligatòriament independents.\nc) Si el banc decideix augmentar la seguretat instal·lant $5$ sistemes de seguretat independents en comptes de $2$, justifica quin dels dos mètodes és notablement més eficient i avantatjós per fer el càlcul de la probabilitat d'èxit global.

Un generador pseudoaleatori de seguretat per a transferències bancàries emet codis de dos bits amb quatre resultats equiprobables: $\Omega = \{00, 01, 10, 11\}$, cadascun amb probabilitat $\frac{1}{4}$. Considerem els tres esdeveniments següents:\n- $A$: «el primer bit és $1$»\n- $B$: «el segon bit és $1$»\n- $C$: «exactament un dels dos bits és $1$» (és a dir, els bits són diferents).\n\na) Descriu els elements que formen els esdeveniments $A$, $B$ i $C$, i calcula les seves probabilitats $P(A)$, $P(B)$ i $P(C)$.\nb) Analitza la independència dos a dos: comprova matemàticament si $A$ i $B$ són independents, si $A$ i $C$ són independents, i si $B$ i $C$ són independents.\nc) Comprova si els tres esdeveniments són mútuament independents avaluant la igualtat $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.\nd) Raona l'aparent paradoxa: com és possible que conèixer individualment el resultat d'un esdeveniment no aporti cap informació sobre un altre (independència per parelles), però conèixer el resultat conjunt de dos d'ells determini amb un $100\,\%$ de certesa el que passa amb el tercer?

Repte del tema. Determina el nivell formatiu la inserció laboral juvenil? Analitza dades oficials de l'INE per comprovar-ho probabilísticament.

1. Cerca i recompte: Accedeix al portal de l'INE (EPA) i extreu les dades d'una taula de contingència de $2 \times 2$ sobre joves (16-24 anys), classificant-los segons el seu nivell educatiu (Estudis superiors vs. No superiors) i situació laboral (Ocupat vs. Desocupat).

2. Tractament en full de càlcul: Aboca els valors en un full de càlcul. Defineix els esdeveniments $S$ («té estudis superiors») i $D$ («està desocupat»). Assigna probabilitats marginals i compostes mitjançant la regla de Laplace i les tècniques de recompte matricial.

3. Probabilitat condicionada i independència: Calcula al full $P(D|S)$ i $P(D|\overline{S})$. Justifica formalment mitjançant propietats teòriques si $S$ i $D$ són dependents o independents comprovant si $P(S \cap D) = P(S) \cdot P(D)$ amb un marge de tolerància menor a $0,005$.

4. Proposta raonada: Redacta un informe executiu d'una pàgina amb les teves taules, fórmules emprades i una valoració sociològica basada estrictament en els resultats probabilístics obtinguts.

Es valorarà:

• Obtenció rigorosa de dades reals i correcta formulació matemàtica al full de càlcul.

• Precisió en el càlcul de probabilitats compostes, condicionades i en la demostració d'(in)dependència.

• Capacitat crítica per argumentar conclusions socioeconòmiques fonamentades en els valors probabilístics.