Exercicis: Definicions i propietats

El club de teatre d'un institut decideix sortejar tres entrades per a l'estrena entre el públic assistent. Per a això, utilitza un bombo amb boles numerades del $1$ al $20$. Es considera l'experiment aleatori d'extreure una bola i anotar-ne el número.

Defineix els elements següents:

1. a) L'espai mostral $E$.

1. b) L'esdeveniment $A$: "obtenir un número que sigui múltiple de $5$".

1. c) L'esdeveniment $B$: "obtenir un nombre primer més gran que $10$".

1. d) L'esdeveniment $C$: "obtenir un número menor que $4$".

Escriu tots els esdeveniments elementals que formen cadascun dels conjunts anteriors.

En una urna hi ha $12$ boles de colors: $5$ són vermelles, $4$ són blaves i $3$ són grogues. Extraiem una bola a l'atzar i observem el seu color. Utilitzant la Regla de Laplace, calcula la probabilitat dels successos següents:

1. a) $P(R)$: "la bola sigui vermella".
2. b) $P(A \cup M)$: "la bola sigui blava o groga".
3. c) $P(\bar{R})$: "la bola no sigui vermella".
4. d) $P(V)$: "la bola sigui verda".

Observa el diagrama de Venn següent que representa els successos $A$ i $B$ dins d'un espai mostral $E$. Els números representen la quantitat de successos elementals a cada regió.

Si l'experiment consisteix a triar a l'atzar un dels successos elementals d'$E$, tots ells equiprobables, calcula:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(A \cup B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (que no estigui ni a $A$ ni a $B$).

Una aplicació de música ha analitzat les preferències d'un grup de joves. Se sap que la probabilitat que a un usuari li agradi el Trap és $P(T) = 0,65$, la probabilitat que li agradi el Pop és $P(P) = 0,40$ i la probabilitat que li agradin tots dos gèneres és $P(T \cap P) = 0,15$.

Calcula la probabilitat que, en triar un usuari a l'atzar:

1. a) Li agradi el Trap o el Pop.
2. b) No li agradi el Trap.
3. c) Li agradi el Trap però no el Pop ($P(T - P)$).

Indica raonadament si les assignacions de probabilitat següents per a un espai mostral $E = \{x_1, x_2, x_3\}$ són vàlides segons els axiomes de Kolmogorov:

1. a) $P(x_1) = 0,4; \quad P(x_2) = 0,3; \quad P(x_3) = 0,3$
2. b) $P(x_1) = 0,7; \quad P(x_2) = -0,1; \quad P(x_3) = 0,4$
3. c) $P(x_1) = 0,5; \quad P(x_2) = 0,5; \quad P(x_3) = 0,2$
4. d) $P(x_1) = 1; \quad P(x_2) = 0; \quad P(x_3) = 0$

Llancem un dau de sis cares numerades del $1$ al $6$. Considerem els successos:

• $A = \{2, 4, 6\}$ (sortir parell)

• $B = \{1, 2, 3\}$ (sortir més petit o igual que $3$)

• $C = \{5\}$ (sortir el cinc)

Determina si les parelles de successos següents són compatibles o incompatibles:

1. a) $A$ i $B$
2. b) $A$ i $C$
3. c) $B$ i $C$

Justifica la teva resposta comprovant si la intersecció de cada parella és el conjunt buit $\emptyset$.

En un institut, el $25\%$ dels alumnes de 1r de Batxillerat estan apuntats a classes de guitarra, i el $15\%$ estan apuntats a classes de piano. Si sabem que no hi ha cap alumne que estudiï tots dos instruments alhora:

1. a) Com es diuen aquest tipus de successos en probabilitat?

1. b) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar estudiï guitarra o piano.

1. c) Calcula la probabilitat que un alumne no estudiï cap d'aquests dos instruments.

S'extreu una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Calcula la probabilitat d'obtenir:

1. a) Un rei.
2. b) Una carta de copes.
3. c) L'as d'ors.
4. d) Una figura (sota, cavall o rei).
5. e) Una carta que no sigui un as.

L'Hugo analitza una enquesta feta al seu institut sobre les aficions dels estudiants de Batxillerat. Segons les seves anotacions, la probabilitat que un alumne jugui a videojocs habitualment és $P(V) = 0,70$, i la que practiqui algun esport d'equip és $P(D) = 0,50$. L'Hugo publica a la revista del centre les dues afirmacions següents:

1. «Els successos $V$ i $D$ són incompatibles perquè qui dedica molt de temps als videojocs no té temps per entrenar en un equip».

2. «Per tant, la probabilitat que un alumne jugui a videojocs o practiqui esport d'equip és $P(V \cup D) = 0,70 + 0,50 = 1,20$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que ha comès l'Hugo i explica raonadament quins axiomes o propietats de la probabilitat vulnera cadascuna de les seves afirmacions.
2. b) Corregeix l'anàlisi de l'Hugo deduint el valor mínim que ha de tenir $P(V \cap D)$ perquè les dades siguin compatibles amb els axiomes de Kolmogórov.
3. c) Si $P(V \cap D)$ pren exactament aquest valor mínim, calcula la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar practiqui únicament esport d'equip.

En un sondeig sobre hàbits de mobilitat sostenible en una capital de província, la probabilitat que un ciutadà faci servir habitualment el transport públic és $P(T) = 0,60$, que faci servir la bicicleta és $P(B) = 0,25$, i la probabilitat que utilitzi tots dos mitjans en el seu dia a dia és $P(T \cap B) = 0,15$.

1. a) Abans de fer qualsevol operació matemàtica, estima de manera justificada si la probabilitat que una persona utilitzi almenys un dels dos mitjans, $P(T \cup B)$, serà menor que la suma directa $0,60 + 0,25 = 0,85$ i si pot arribar a ser menor que $0,60$.
2. b) Aplica la fórmula general de la probabilitat de la unió per calcular el valor exacte de $P(T \cup B)$ i verifica si la teva estimació inicial ha estat encertada.
3. c) A partir del resultat anterior i utilitzant la probabilitat del succés contrari juntament amb les lleis de De Morgan, calcula la probabilitat que un ciutadà no utilitzi cap dels dos mitjans, $P(\overline{T} \cap \overline{B})$, i interpreta si el resultat obtingut és coherent amb les dades de partida.

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ dels subscriptors ha vist l'última temporada d'una sèrie de ciència-ficció ($S$), el $40\ \%$ ha vist un documental sobre natura ($D$) i el $25\ \%$ ha vist tots dos continguts. Si seleccionem un usuari a l'atzar, calcula la probabilitat dels successos següents:

a) Que hagi vist la sèrie o el documental.

b) Que no hagi vist ni la sèrie ni el documental.

c) Que hagi vist la sèrie però no el documental.

S'ha realitzat una enquesta als alumnes d'un institut sobre l'ús de xarxes socials. Se sap que la probabilitat que un alumne utilitzi Instagram ($I$) és $P(I) = 0,82$ i la probabilitat que utilitzi TikTok ($T$) és $P(T) = 0,55$. Si la probabilitat que no n'utilitzi cap de les dues és $P(\bar{I} \cap \bar{T}) = 0,10$, utilitza les Lleis de Morgan per calcular:

a) La probabilitat que utilitzi com a mínim una de les dues xarxes socials.

b) La probabilitat que utilitzi totes dues simultàniament.

c) Són els successos "utilitzar Instagram" i "utilitzar TikTok" incompatibles? Raona la resposta.

En una acadèmia d'idiomes, els alumnes es divideixen segons el nivell que cursen i l'idioma triat. Les dades es recullen en la taula de contingència següent:

	Anglès ($A$)	Francès ($B$)	TOTAL
Nivell B1 ($M$)	$45$		$75$
Nivell B2 ($N$)		$20$
TOTAL	$100$

a) Completa les dades que falten a la taula.

b) Si triem un alumne a l'atzar, calcula la probabilitat que estudiï Francès o sigui del nivell B2.

c) Sabent que l'alumne triat és del nivell B1, quina és la probabilitat que estudiï Anglès?

Un equip d'e-sports participa en un torneig amb dues fases eliminatòries. La probabilitat de superar la primera fase és $0,7$ i, si la supera, la de superar la segona és $0,6$. Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre i calcula:

a) La probabilitat que l'equip guanyi totes dues fases.

b) La probabilitat que sigui eliminat en alguna de les dues fases.

c) La probabilitat que superi exactament una de les dues fases.

Siguin $A$ i $B$ dos successos associats a un experiment aleatori dels quals es coneixen les seves probabilitats: $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cup B) = 0,7$.

a) Calcula $P(A \cap B)$.

b) Determina si $A$ i $B$ són successos independents.

c) Calcula la probabilitat del succés unió dels contraris, és a dir, $P(\bar{A} \cup \bar{B})$.

En un centre de salut juvenil, el $30\ \%$ dels pacients acudeix per motius nutricionals ($N$), el $50\ \%$ per salut mental ($S$) i el $20\ \%$ per revisions rutinàries ($R$). Se sap que el $10\ \%$ dels que hi acudeixen per nutrició, el $20\ \%$ per salut mental i el $5\ \%$ per revisions són majors de 18 anys ($M$).

a) Calcula la probabilitat que un pacient triat a l'atzar sigui major de 18 anys.

b) Si triem un pacient i resulta que és major de 18 anys, quina és la probabilitat que hagi acudit per motius de salut mental?

Una caixa conté 10 auriculars sense fils, dels quals 3 són defectuosos. Si extraiem dos auriculars de forma consecutiva i sense reemplaçament, calcula la probabilitat que:

a) Tots dos auriculars funcionin correctament.

b) Com a mínim un dels auriculars sigui defectuós.

c) El segon auricular sigui defectuós sabent que el primer no ho era.

En un sorteig benèfic organitzat per alumnes per al viatge de fi de curs, es venen paperetes numerades del $000$ al $999$. Considerem els successos:

$A =$ "El número acaba en xifra parell (0, 2, 4, 6, 8)".

$B =$ "El número és múltiple de 25".

a) Calcula $P(A)$ i $P(B)$ aplicant la Regla de Laplace.

b) Són $A$ i $B$ successos compatibles o incompatibles? Justifica la teva resposta trobant el succés $A \cap B$.

c) Calcula la probabilitat que el número premiat acabi en parell o sigui múltiple de 25.

A partir de les dades publicades per l'Institut Nacional d'Estadística (INE) en la seva enquesta sobre equipament i ús de TIC a les llars espanyoles, s'observa que el $85\,\%$ de la població adulta utilitza la banca electrònica (succés $B$) i el $65\,\%$ fa tràmits en seus electròniques públiques (succés $A$). A més, es constata que la probabilitat que un ciutadà seleccionat a l'atzar no faci cap d'aquestes dues gestions digitals és de $0,08$.

1. a) Modela formalment la informació traduint cada percentatge a probabilitats de successos expressats amb operacions de conjunts ($A$, $B$, unions, interseccions o contraris).
2. b) Utilitza les propietats del succés contrari per obtenir el valor numèric de la probabilitat que un ciutadà faci almenys una de les dues gestions, $P(B \cup A)$.
3. c) Demostra rigorosament, a partir dels axiomes de Kolmogórov, per què els successos $B$ i $A$ no poden ser incompatibles i calcula el percentatge exacte de ciutadans que fan totes dues gestions.
4. d) Si es defineix un nou succés $D$: «descarregar certificats tributaris», i sabem que aquest tràmit sempre requereix accedir a una seu electrònica ($D \subseteq A$), raona mitjançant la propietat de monotonia si seria matemàticament admisible un informe que sostingués que $P(D) = 0,70$.

En una empresa de comerç electrònic es fa un control de qualitat sobre els enviaments. La probabilitat que un paquet pateixi un retard en el lliurament és $P(R) = 0,12$, la probabilitat que contingui un article equivocat és $P(E) = 0,08$ i la probabilitat que passin totes dues incidències alhora en la mateixa comanda és $P(R \cap E) = 0,03$. El departament d'atenció al client necessita calcular la probabilitat del succés $U$: «la comanda presenta exactament una de les dues incidències».

1. a) Desenvolupa el càlcul mitjançant el Mètode 1: descompon $U$ com la unió de dos successos disjunts emprant la diferència de successos ($R - E$ i $E - R$), aplicant les propietats de la probabilitat corresponents.
2. b) Desenvolupa el càlcul mitjançant el Mètode 2: expressa la probabilitat d'$U$ a partir de la diferència entre la unió i la intersecció, $P(R \cup E) - P(R \cap E)$, justificant prèviament amb un raonament lògic per què aquesta expressió és equivalent a $U$.
3. c) Compara tots dos camins: comprova que porten al mateix valor i justifica quin dels dos mètodes resultaria més avantatjós si una auditoria externa et donés directament els valors globals $P(R \cup E) = 0,17$ i $P(R \cap E) = 0,03$ sense facilitar-te $P(R)$ ni $P(E)$ per separat.

Donats dos successos $A$ i $B$ associats a un mateix experiment aleatori, sabem que la probabilitat que no en passi cap dels dos és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. A més, es coneix que $P(A) = 0,5$ i que la probabilitat que passi $A$ però no passi $B$ és $P(A - B) = 0,3$.

Calcula de forma raonada, utilitzant les propietats de la probabilitat i les lleis de Morgan:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(B)$
4. d) $P(\bar{A} \cup \bar{B})$

En un prestigiós torneig d'e-Sports, s'ha de triar un comitè de control de dopatge digital format per 4 membres. El grup de candidats està compost per 8 analistes de dades i 6 experts en ciberseguretat. Si la selecció es realitza de forma aleatòria, calcula la probabilitat dels successos següents:

1. a) El comitè està format exclusivament per experts en ciberseguretat.
2. b) Al comitè hi ha, com a mínim, un representant de cada perfil.
3. c) El nombre d'analistes de dades és estrictament superior al d'experts en ciberseguretat.

Un estudi sobre les aficions dels joves de 16 anys revela que el $60\%$ practica algun esport, el $55\%$ toca algun instrument musical i el $45\%$ va al cinema amb regularitat. A més, se sap que el $30\%$ practica esport i toca un instrument, el $25\%$ practica esport i va al cinema, i el $20\%$ toca un instrument i va al cinema. Només un $10\%$ dels joves fa totes tres activitats simultàniament.

Si seleccionem un jove a l'atzar, calcula i explica la probabilitat que:

1. a) Faci alguna de les tres activitats.
2. b) No faci cap d'aquestes activitats.
3. c) Faci únicament una de les tres activitats.

Demostra raonadament si les afirmacions següents són verdaderes o falses, aportant un contraexemple numèric en cas que siguin falses:

1. a) Si dos successos $A$ i $B$ són incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), aleshores han de ser obligatòriament dependents.
2. b) Si $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, aleshores els successos $A$ i $B$ són independents.
3. c) Si $P(A) = 0,6$ i $P(B) = 0,5$, aleshores els successos $A$ i $B$ no poden ser incompatibles.

En un centre educatiu, el $65\%$ dels estudiants practica futbol ($F$) i el $50\%$ practica bàsquet ($B$). Sabent que la probabilitat que un alumne no practiqui cap dels dos esports és $P(\bar{F} \cap \bar{B}) = 0,15$:

1. a) Determina si els successos $F$ i $B$ són independents.
2. b) Si el club d'escacs ($A$) és un succés tal que $A \subset F$ i $P(A) = 0,2$, calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar practiqui futbol però no escacs.
3. c) Calcula $P(\bar{F} \cup \bar{B})$ i interpreta el seu significat en el context del problema.

Un sistema informàtic de seguretat té tres capes de protecció independents ($C_1, C_2, C_3$). La probabilitat que un atacant aconsegueixi vulnerar la primera capa és de $0,15$; la probabilitat de vulnerar la segona és de $0,10$ i la de la tercera és de $0,05$. El sistema només es considera compromès si l'atacant aconsegueix superar les tres capes.

1. a) Quina és la probabilitat que el sistema sigui compromès?
2. b) Quina és la probabilitat que l'atacant superi com a mínim una capa de protecció?
3. c) Quina és la probabilitat que l'atacant superi exactament dues de les tres capes?

Es llança un dau de sis cares que ha estat trucat de tal manera que les cares parells tenen totes la mateixa probabilitat de sortir, i les cares senars també tenen la mateixa probabilitat entre elles. Tanmateix, se sap que la probabilitat d'obtenir un nombre parell és el triple que la d'obtenir un nombre senar.

1. a) Determina la probabilitat de cadascuna de les sis cares del dau.
2. b) Si es llança el dau dues vegades, quina és la probabilitat que la suma de les puntuacions obtingudes sigui un nombre primer?
3. c) Calcula la probabilitat d'obtenir com a mínim un nombre més gran que 4 en tres llançaments consecutius.

En un laboratori biològic s'estan analitzant mostres d'ADN. S'ha observat que en un experiment amb 5 mostres independents, la probabilitat que com a mínim una mostra meitat/presenti una mutació específica és de $0,67232$.

1. a) Calcula la probabilitat que una mostra individual triada a l'atzar meitat/presenti aquesta mutació (suposant que és la mateixa per a totes les mostres).
2. b) Si s'analitzen 3 mostres, quina és la probabilitat que exactament dues presentin la mutació?
3. c) Quantes mostres caldria analitzar, com a mínim, perquè la probabilitat de trobar com a mínim una mutació sigui superior a $0,95$?

Un departament de gestió d'inversions avalua dos successos desfavorables, $A$ i $B$, que podrien afectar una cartera d'actius. La direcció estableix com a restricció de seguretat que la probabilitat que no passi cap dels dos successos ha de ser com a mínim de $0,60$ ($P(\overline{A} \cap \overline{B}) \geq 0,60$). Se sap amb certesa que la probabilitat del succés $A$ és $P(A) = 0,35$.

1. a) Suposant que els successos $A$ i $B$ fossin incompatibles, determina el valor màxim que podria assolir la probabilitat $P(B)$ per respectar el criteri de seguretat de la direcció.
2. b) Si un nou informe pericial conclou que $P(B) = 0,25$, dedueix la inequació que ha de satisfer $P(A \cap B)$ per garantir que $P(\overline{A} \cap \overline{B}) \geq 0,60$. A continuació, determina l'interval tancat complet $[k_{\min}, k_{\max}]$ de valors admissibles per a $P(A \cap B)$, tenint en compte les cotes axiomàtiques de Fréchet.
3. c) Dissenya una assignació de probabilitats explícita per a la partició formada pels quatre successos elementals incompatibles $\{A \cap B,\ A \cap \overline{B},\ \overline{A} \cap B,\ \overline{A} \cap \overline{B}\}$ de manera que es compleixi simultàniament $P(A) = 0,35$, $P(B) = 0,25$ i $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,65$, comprovant que es verifiquen tots els axiomes de Kolmogórov.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) analitza la freqüència de dues alertes meteorològiques estivals en una comarca agrícola: alerta per onada de calor ($C$) i alerta per tempesta seca ($T$). A partir de l'històric dels darrers anys, s'estima que $P(C) = 0,75$ i $P(T) = 0,40$.

1. a) Dedueix pas a pas, utilitzant exclusivament els axiomes de Kolmogórov i les propietats de l'addició, l'interval numèric tancat $[L_{\min}, L_{\max}]$ dins del qual s'ha de trobar necessàriament la probabilitat que coincideixin totes dues alertes, $P(C \cap T)$, justificant analíticament d'on sorgeix cadascuna de les dues cotes.
2. b) Una associació d'agricultors presenta un informe on assegura que la probabilitat de tenir un dia tranquil sense cap de les dues alertes és del $30\,\%$ ($P(\overline{C} \cap \overline{T}) = 0,30$). Demostra matemàticament que aquesta afirmació és insostenible i falsa, analitzant la contradicció que es produeix tant en calcular $P(C \cap T)$ com en aplicar la propietat de monotonia al succés $C$ respecte a la unió $C \cup T$.
3. c) Si s'afegeix una tercera alerta per pedra ($G$) i se sap que tot episodi de pedra va necessàriament acompanyat de tempesta seca ($G \subseteq T$), demostra a partir de l'axioma d'additivitat que $P(T \cap \overline{G}) = P(T) - P(G)$. Calcula aquesta probabilitat sabent que $P(G) = 0,15$ i interpreta el seu significat per al sector assegurador agrari.