Exercicis: Probabilitat condicionada

En una baralla espanyola de 40 cartes (4 pals amb 10 cartes cada un: sota, cavall i rei són les figures de cada pal), s'extreu una carta a l'atzar. Considerem els successos $A$: "treure un rei" i $B$: "treure una figura" (sota, cavall o rei).

Calcula la probabilitat que la carta sigui un rei sabent que ha sortit una figura, és a dir, determina $P(A|B)$.

S'ha realitzat una enquesta a 100 estudiants de 1r de Batxillerat sobre la seva preferència entre dos àmbits d'estudi. Les dades es recullen en la taula de contingència següent:

Si triem un estudiant a l'atzar i resulta que és una noia, quina és la probabilitat que prefereixi Lletres? Calcula $P(L|M)$.

Dats dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori, es sap que la probabilitat de la seva intersecció és $P(A \cap B) = 0,12$ i que la probabilitat del succés $B$ és $P(B) = 0,4$. Calcula la probabilitat que passi $A$ sabent que ha passat $B$.

Una urna conté 5 boles blaves i 3 boles vermelles. Extraiem dues boles de manera consecutiva amb reemplaçament (tornem la primera bola a l'urna abans de treure la segona).

1. a) Representa l'experiment mitjançant un diagrama d'arbre, indicant a cada branca la seva probabilitat.

1. b) Calcula la probabilitat que la segona bola sigui vermella sabent que la primera ha estat blava. Són esdeveniments dependents o independents? Justifica la teva resposta.

En un grup d'amics, el $60\%$ utilitza Spotify ($S$), el $40\%$ utilitza Netflix ($N$) i el $20\%$ utilitza totes dues plataformes. Si triem una persona que sabem que utilitza Netflix, quina és la probabilitat que també utilitzi Spotify?

Un llançador de dards professional encerta al centre de la diana el $80\%$ de les vegades. Si fa dos llançaments independents, calcula la probabilitat que:

1. a) Encerti el segon llançament sabent que ha encertat el primer.

1. b) Encerti els dos llançaments seguits.

Pots ajudar-te d'un diagrama d'arbre de dos llançaments, amb les branques «encert» i «fallada» a cadascun.

En un centre d'idiomes, el $30\%$ dels alumnes estudia francès ($F$). D'aquests, el $60\%$ són alumnes de batxillerat ($B$). Si seleccionem un alumne a l'atzar de la llista del centre, quina és la probabilitat que estudiï francès i sigui de batxillerat? Ajuda't de la fórmula de la probabilitat condicionada: $P(F \cap B) = P(F) \cdot P(B|F)$.

Extraiem dues cartes d'una baralla espanyola sense devolució. Calcula la probabilitat que la segona carta sigui un as, sabent que la primera carta extreta va ser l'as d'oros.

En una enquesta sobre consum digital realitzada a 200 joves d'una localitat, es registra que 120 miren sèries en plataformes de reproducció en línia habitualment ($S$) i 80 juguen a videojocs en línia diàriament ($V$). A més, 48 joves fan totes dues activitats ($S \cap V$).

Per calcular «la probabilitat que un jove jugui a videojocs sabent que mira sèries habitualment», en Lucas escriu al seu examen:

1. a) Identifica amb precisió els dos errors conceptuals comesos per en Lucas en la seva fórmula i en la interpretació del succés condicionant.
2. b) Explica com es redueix l'espai mostral en imposar la condició «mirar sèries habitualment» i quin ha de ser el denominador correcte de la probabilitat condicionada.
3. c) Corregeix el càlcul de $P(V|S)$ i calcula, a més, la probabilitat que un jove triat a l'atzar que no jugui a videojocs tampoc miri sèries habitualment, és a dir, $P(S^c|V^c)$.

En un institut de secundària, el $60\,\%$ de l'alumnat d'1r de Batxillerat cursa la modalitat d'Humanitats i Ciències Socials ($H$) i el $40\,\%$ la de Ciències i Tecnologia ($C$). Dels estudiants d'Humanitats i Ciències Socials, el $70\,\%$ utilitza habitualment el transport escolar ($T$), mentre que entre l'alumnat de Ciències només l'utilitza el $35\,\%$.

1. a) Se't plantegen dues eines per organitzar aquesta informació abans d'operar: un diagrama d'arbre ponderat o una taula de contingència basada en un total hipotètic de 100 alumnes. Compara l'adequació d'ambdós mètodes i justifica quin resulta més directe a partir de com venen estructurades les dades de l'enunciat (probabilitats a priori i condicionades successives).
2. b) Fent servir el mètode que has seleccionat, calcula la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar utilitzi el transport escolar, $P(T)$.
3. c) Si es tria a l'atzar un estudiant que no utilitza el transport escolar, quina és la probabilitat que pertanyi a la modalitat de Ciències i Tecnologia?

En un institut de Madrid s'ha realitzat un estudi sobre els hàbits d'oci de $100$ alumnes de 1r de Batxillerat. Les dades s'han recollit en la taula de contingència següent, me classificant els estudiants pel seu gènere i la seva xarxa social preferida (Instagram o TikTok):

Si triem un alumne a l'atzar, calcula les probabilitats següents utilitzant la notació de probabilitat condicionada:

1. a) Que prefereixi TikTok, sabent que és una noia.
2. b) Que sigui un noi, atès que la seva xarxa social preferida és Instagram.
3. c) Són els successos "ser noi" ($H$) i "preferir Instagram" ($I$) independents? Justifica la teva resposta comparant $P(I/H)$ amb $P(I)$.

Una caixa d'eines conté $12$ bombetes LED, de les quals $4$ estan defectuoses. Si extreiem dues bombetes de la caixa de forma consecutiva i sense reemplaçament, calcula la probabilitat dels successos següents:

1. a) Que la segona bombeta sigui defectuosa, sabent que la primera extreta funcionava correctament.
2. b) Que totes dues bombetes estiguin defectuoses.
3. c) Que almenys una de les dues bombetes funcioni correctament.

En una lliga d'E-sports, un equip té una probabilitat de guanyar el partit del $70\,\%$ si juga al seu servidor local ($L$), però aquesta probabilitat baixa al $40\,\%$ si juga en un servidor extern ($E$). Se sap que el $60\,\%$ dels partits els juga com a local.

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre, indicant a cada branca la seva probabilitat.

1. b) Si l'equip ha guanyat l'últim partit, quina és la probabilitat que hagi jugat al seu servidor local?

1. c) Quina és la probabilitat total que l'equip guanyi un partit qualsevol?

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,7$ i $P(A \cup B) = 0,85$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.
2. b) Troba la probabilitat que ocorri $A$ sabent que ha ocorregut $B$.
3. c) Determina si els successos $A$ i $B$ són compatibles i si són independents.

Un estudi mèdic indica que la probabilitat que una persona d'una determinada població tingui una al·lèrgia primaveral és de $0,15$. S'ha desenvolupat un test per detectar-la, però no és perfecte:

• Si una persona té al·lèrgia, el test dona positiu en el $95\%$ dels casos.

• Si una persona no té al·lèrgia, el test dona positiu (fals positiu) en el $4\%$ dels casos.

Si s'elegeix una persona a l'atzar i el test dona positiu, quina és la probabilitat que realment tingui al·lèrgia?

En una acadèmia d'idiomes, el $40\%$ dels alumnes estudia francès ($F$), el $30\%$ estudia alemany ($G$) i la resta estudia italià ($I$). Es sap que el percentatge d'alumnes que aprova l'examen final és del $60\%$ en francès, el $50\%$ en alemany i el $80\%$ en italià.

1. a) Si triem un alumne que ha aprovat l'examen, quina és la probabilitat que estudiï alemany?
2. b) Si triem un alumne a l'atzar, quina és la probabilitat que no hagi aprovat l'examen?

Es llancen dos daus cúbics equilibrats amb les cares numerades del $1$ al $6$. Considerem els successos següents:

• $S$: "La suma dels punts obtinguts és igual a $7$".

• $A$: "En el primer dau ha sortit un nombre parell".

Calcula:

1. a) L'espai mostral de la suma dels punts i la probabilitat del succés $S$.
2. b) La probabilitat que la suma sigui $7$ sabent que en el primer dau ha sortit un nombre parell, $P(S/A)$.
3. c) Influeix el fet que el primer dau sigui parell en la probabilitat que la suma sigui $7$? Justifica si els successos són dependents o independents.

En una plataforma de streaming, el $20\%$ dels usuaris prefereix pel·lícules de terror, el $50\%$ prefereix comèdies i el $30\%$ prefereix drames. El departament d'anàlisi de dades ha observat que la probabilitat que un usuari acabi de veure una pel·lícula completa depèn del gènere:

• Terror: $0,6$

• Comèdia: $0,8$

• Drama: $0,7$

Si seleccionem un usuari a l'atzar i veiem que ha deixat una pel·lícula a meitats (no l'ha acabada), quina és la probabilitat que la pel·lícula fos de terror?

Un banc en línia a Espanya aplica un algoritme de seguretat per detectar accessos no autoritzats o fraudulents ($F$) als comptes dels seus clients. Pels registres històrics de ciberseguretat, se sap que només el $0,5\,\%$ dels inicis de sessió corresponen a intents de frau ($P(F) = 0,005$). Quan es produeix un intent fraudulent, el sistema activa una alarma amb una probabilitat del $96\,\%$ ($P(+|F) = 0,96$). Tanmateix, quan l'accés és legítim ($F^c$), el sistema genera una falsa alarma amb una probabilitat del $2\,\%$ ($P(+|F^c) = 0,02$).

1. a) Estima: Abans de realitzar qualsevol càlcul matemàtic, si sona l'alarma de seguretat davant d'un inici de sessió qualsevol (succés $+$), creus que la probabilitat que realment sigui un frau superarà el $50\,\%$ o serà molt inferior? Escriu la teva estimació intuïtiva raonant per què creus això.
2. b) Calcula: Aplica el teorema de la probabilitat total per trobar la probabilitat global que salti l'alarma, $P(+)$, i el teorema de Bayes per determinar la probabilitat exacta que un accés sigui veritablement un frau sabent que l'alarma s'ha activat, $P(F|+)$.
3. c) Comprova i reflexiona: Compara el resultat exacte amb la teva estimació inicial. Per què el resultat matemàtic xoca amb la intuïció de la majoria de les persones? Explica quin impacte determinant té la baixíssima prevalença del frau en el resultat obtingut.

A partir de les microdades de l'Enquesta de Població Activa (EPA) de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), es modelitza la situació dels joves de 18 a 24 anys d'una comunitat autònoma atenent a dues variables: estar matriculat en estudis reglats ($E$) i tenir una feina remunerada ($T$).

Es coneix que el $70\,\%$ d'aquests joves està estudiant ($P(E) = 0,70$). Entre els qui cursen estudis, la probabilitat de compaginar-los amb una feina remunerada és del $0,25$. D'altra banda, entre els qui no estudien, la probabilitat de tenir feina ascendeix al $60\,\%$.

1. a) Modela la situació definint amb claredat els successos i construint un diagrama d'arbre o una taula en què figurin totes les probabilitats marginals, condicionades i interseccions corresponents.
2. b) Troba la probabilitat que un jove de 18 a 24 anys triat a l'atzar en aquesta comunitat estigui treballant.
3. c) Si se selecciona a l'atzar un jove que no té feina remunerada, calcula la probabilitat que estigui estudiant.
4. d) Determina formalment si els successos «estar estudiant» i «tenir una feina remunerada» són independents. Interpreta breument el significat de la teva conclusió en termes socioeconòmics.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix experiment aleatori tals que es coneixen les probabilitats següents:

• $P(A^C \cup B^C) = 0,8$

• $P(A^C | B) = 0,5$

• $P(A \cup B) = 0,75$

Calcula, justificant cada pas mitjançant les propietats de la probabilitat:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A)$
4. d) Determina raonadament si els successos $A$ i $B$ són independents.

En un laboratori de ciberseguretat, un algorisme d'intel·ligència artificial analitza correus electrònics per detectar phishing. Se sap que:

• El $5\%$ dels correus que rep l'empresa són intents d'estafa (phishing).

• Si un correu és phishing, l'algorisme l'identifica correctament com a "sospitós" en el $98\%$ dels casos.

• Si un correu és legítim, l'algorisme s'equivoca i el marca com a "sospitós" en el $3\%$ de les ocasions (fals positiu).

Si un empleat rep una alerta de "correu sospitós" a la seva safata d'entrada:

1. a) Quina és la probabilitat real que el correu sigui efectivament un intent de phishing?
2. b) Si l'algorisme indica que el correu és "segur", quina és la probabilitat que es tracti d'un error i realment sigui phishing?

Disposem de dues urnes amb la composició següent:

• Urna A: 4 boles vermelles i 6 boles blaves.

• Urna B: 7 boles vermelles i 3 boles blaves.

L'experiment consisteix a llançar un dau equilibrat de sis cares. Si surt un nombre primer, extreiem una bola de l'Urna A i la introduïm a l'Urna B sense mirar-ne el color; a continuació, extreiem una bola de l'Urna B. Si surt un nombre no primer, extreiem directament una bola de l'Urna B.

Calcula la probabilitat que la bola final extreta de l'Urna B sigui vermella.

Una plataforma de streaming utilitza tres servidors ($S_1, S_2, S_3$) per distribuir el seu contingut. El $40\%$ del tràfic es gestiona des de $S_1$, el $35\%$ des de $S_2$ i la resta des de $S_3$. A causa de la càrrega de xarxa, es produeixen microtalls en la reproducció amb les probabilitats següents:

• Al servidor $S_1$, la probabilitat de microtall és del $2\%$.

• Al servidor $S_2$, la probabilitat de microtall és del $5\%$.

• Al servidor $S_3$, la probabilitat de microtall és del $8\%$.

1. a) Si un usuari està veient una sèrie, quina és la probabilitat que experimenti un microtall?
2. b) Si un usuari truca al servei tècnic informant d'un microtall, quina és la probabilitat que la seva connexió estigui sent servida pel servidor $S_3$?

En una competició d'E-sports, un jugador de League of Legends té una probabilitat de victòria del $70\%$ si tria el seu personatge favorit (Main). Si no el tria, la seva probabilitat de victòria baixa al $45\%$. El sistema d'aparellament permet que el jugador aconsegueixi el seu personatge favorit el $60\%$ de les vegades.

1. a) Calcula la probabilitat que el jugador guanyi la seva pròxima partida.
2. b) Sabent que el jugador ha perdut la partida, quina és la probabilitat que no hagi pogut jugar amb el seu personatge favorit?
3. c) Són independents els successos "guanyar la partida" i "jugar amb el personatge favorit"? Justifica la teva resposta comparant probabilitats.

Es realitza un estudi sobre les activitats dels alumnes en un institut de Madrid. Les dades mostren que:

• El $80\%$ dels alumnes estudia un segon idioma ($I$).

• El $60\%$ dels alumnes participa en algun equip esportiu de l'institut ($D$).

• El $30\%$ dels que estudien un segon idioma no participen en cap equip esportiu.

Triem un alumne a l'atzar. Calcula:

1. a) La probabilitat que faci totes dues activitats.
2. b) Sabent que participa en un equip esportiu, la probabilitat que també estudiï un segon idioma.
3. c) La probabilitat que no faci cap de les dues activitats.

Una empresa de logística té dues rutes per lliurar comandes al centre de la ciutat. La ruta A és utilitzada el $70\%$ de les vegades i la ruta B el $30\%$ restant.

• A causa del tràfic, a la ruta A el repartidor arriba tard el $15\%$ dels dies.

• A la ruta B, el repartidor arriba tard el $25\%$ dels dies.

Un dia determinat, el gerent observa que una comanda ha arribat tard. El repartidor afirma: "Si hagués anat per la ruta A, la probabilitat d'arribar a temps hauria estat més gran que la probabilitat d'haver vingut avui per la ruta A havent arribat tard". Demostra matemàticament si l'afirmació del repartidor és veritable o falsa calculant totes dues probabilitats.

En un examen d'opció múltiple, un estudiant coneix la resposta correcta a una pregunta amb probabilitat $p$ i la endevina a l'atzar amb probabilitat $1-p$. Cada pregunta té $k$ opcions de resposta, de les quals només una és correcta.

1. a) Demostra que la probabilitat que l'estudiant respongui correctament a la pregunta és $\frac{1 + (k-1)p}{k}$.
2. b) Sabent que l'estudiant ha respost correctament, quina és la probabilitat que realment conegués la resposta i no l'hagi endevinada a l'atzar? Expressa el resultat en funció de $p$ i $k$.
3. c) Si una pregunta té 4 opcions ($k=4$) i l'estudiant té una probabilitat del $50\%$ de conèixer la resposta ($p=0,5$), calcula el valor numèric de l'apartat anterior i interpreta'l.

Una entitat de microcrèdits per a emprenedors a Espanya finança projectes de dos sectors econòmics: projectes tecnològics ($T$) i projectes del sector serveis tradicionals ($S$). En la seva cartera actual de préstecs concedits, una proporció desconeguda $p$ correspon al sector tecnològic ($0 < p < 1$) i la resta, $1 - p$, al sector serveis.

A causa de la volatilitat dels models de negoci, la probabilitat d'impagament o mora ($M$) en el sector tecnològic és del $15\,\%$ ($P(M|T) = 0,15$), mentre que en el sector serveis la probabilitat d'impagament és del $6\,\%$ ($P(M|S) = 0,06$).

1. a) Obtén una expressió algebraica simplificada en funció de $p$ per a la probabilitat global que un préstec triat a l'atzar resulti impagat, $P(M)$.
2. b) La comissió d'auditoria interna revisa un préstec a l'atzar que ha resultat fallit (impagat). Determina el valor exacte de la proporció $p$ per al qual la probabilitat que aquest préstec fallit procedeixi del sector tecnològic sigui exactament del $75\,\%$.
3. c) Planteja i resol una inequació per determinar en quin interval de valors s'ha de trobar la proporció $p$ si l'entitat exigeix que, davant d'un crèdit fallit qualsevol, sigui més probable que procedeixi del sector serveis que del sector tecnològic.

Per planificar les alertes per fenòmens meteorològics extrems (com danes o borrasques severes) al litoral mediterrani, l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) i Protecció Civil estudien l'ocurrència de jornades de pluja torrencial ($L$, més de $100\text{ mm}$ en 12 hores).

Durant els mesos de tardor, la probabilitat històrica que en una jornada qualsevol es produeixi pluja torrencial a la comarca és de només el $3\,\%$ ($P(L) = 0,03$).

El model numèric de predicció activa l'avís taronja ($A$) en el $85\,\%$ dels dies en què efectivament es produeix pluja torrencial ($P(A|L) = 0,85$), però genera falses alarmes activant l'avís taronja en el $4\,\%$ dels dies en què no plou de manera torrencial ($P(A|L^c) = 0,04$).

El Centre de Coordinació d'Emergències municipal debat entre dos criteris per decretar la suspensió del transport i les classes presencials quan AEMET emet l'avís taronja:

• Criteri 1 (Principi de precaució): suspendre l'activitat si la probabilitat a posteriori que plogui torrencialment havent-hi avís supera el $35\,\%$.

• Criteri 2 (Evitació de paràlisi socioeconòmica): suspendre l'activitat únicament si és més probable que plogui torrencialment que no pas que no ho faci, atès que l'avís està actiu.

1. a) Modela l'experiment calculant la probabilitat total que en una jornada de tardor qualsevol s'activi l'avís taronja, $P(A)$.
2. b) Si AEMET activa l'avís taronja, calcula la probabilitat que realment es registrin pluges torrencials, $P(L|A)$, i la probabilitat que es tracti d'una falsa alarma, $P(L^c|A)$.
3. c) Aplica i avalua ambdós criteris: se suspendria l'activitat amb el Criteri 1? I amb el Criteri 2? Raona per què el Criteri 2 resulta inadequat en la gestió pràctica de catàstrofes de baixa probabilitat basal i quin dilema ètic i probabilístic planteja la presència de falsos positius en la presa de decisions ciutadanes.