Exercicis: Funció de densitat i funció de distribució contínues

Es defineix la funció de densitat d'una variable aleatòria contínua $X$ que representa el temps d'espera (en minuts) perquè comenci una partida en un servidor de videojocs:

$f(x) = \begin{cases} k & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 0 & \text{en la resta} \end{cases}$

1. a) Determina el valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat vàlida.

1. b) Representa gràficament la funció $f(x)$ amb el valor de $k$ que has obtingut.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La durada de la bateria d'un nou model d'auriculars sense fil segueix una distribució uniforme entre les 4 i les 10 hores. La seva funció de densitat és constant en aquest interval: $f(x) = \frac{1}{6}$. Calcula la probabilitat que la bateria duri entre 5 i 8 hores, interpretant-la com l'àrea d'un rectangle.

Dada una distribució normal estàndard $Z \sim N(0, 1)$, utilitza la taula de probabilitats per trobar els valors següents de manera directa:

• a) $P(Z \le 0,45)$

• b) $P(Z \le 1,2)$

• c) $P(Z \le 2,38)$

En una variable $Z \sim N(0, 1)$, aplica les propietats de la corba normal (simetria i àrea total) per calcular les probabilitats següents:

• a) $P(Z > 1,52)$

• b) $P(Z < -0,84)$

• c) $P(Z \ge -1,15)$

Calcula la probabilitat que la variable normal estàndard $Z$ prengui un valor comprès en l'interval $(0,62 \le Z \le 1,96)$. Recorda que per calcular l'àrea d'un interval has de restar les àrees acumulades: $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$.

Les puntuacions d'un examen de nivell d'anglès per a estudiants de Batxillerat segueixen una distribució normal de mitjana $\mu = 75$ i desviació típica $\sigma = 8$. Tipifica els valors següents de la variable $X$ per trobar el seu valor corresponent en $Z$:

• a) Una puntuació de $83$.

• b) Una puntuació de $67$.

• c) Una puntuació de $75$.

El pes de les bosses de patates fregides produïdes per una màquina segueix una distribució $N(150, 5)$ grams. Calcula la probabilitat que una bossa triada a l'atzar pesi menys de $160$ grams. Per fer-ho, tipifica primer la variable i cerca el resultat a la taula.

Utilitza la taula de la distribució $N(0, 1)$ en sentit invers per trobar el valor de la constant $k$ en els casos següents:

• a) $P(Z \le k) = 0,8413$

• b) $P(Z \le k) = 0,9750$

• c) $P(Z \le k) = 0,5000$

Dada la funció de densitat següent d'una variable aleatòria contínua $X$, que representa el temps d'espera en minuts a la cua d'una atracció d'una fira fins a poder-hi pujar:

Calcula el valor de la constant $k$ perquè l'àrea sota la funció sigui igual a $1$ i troba gràficament la probabilitat que un visitant esperi menys de $2$ minuts.

Una variable aleatòria contínua $X$ modelitza el temps d'espera (en minuts) a una parada d'autobús urbà i té la funció de densitat següent:

$f(x) = \begin{cases} 0,1 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

En Marcos ha de resoldre dues qüestions sobre aquest servei i escriu al seu examen:

«1) Com que la funció val $0,1$ a tot l'interval, la probabilitat d'esperar entre 3 i 7 minuts és $P(3 \le X \le 7) = f(7) - f(3) = 0,1 - 0,1 = 0$.

2) A més, com que $f(5) = 0,1$, la probabilitat d'esperar exactament 5 minuts és del $10\,\%$.»

Identifica de manera raonada els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos explicant quina propietat teòrica de les variables contínues vulnera en cada cas. Tot seguit, calcula el valor correcte de $P(3 \le X \le 7)$ emprant la funció de distribució $F(x)$.

La durada d'una consulta tècnica breu en un servei web (en minuts) segueix una variable aleatòria contínua $X$ amb funció de densitat:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{8} & \text{si } 0 \le x \le 4 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, analitza la forma geomètrica de la gràfica de $f(x)$ (un triangle que creix de 0 a 4). Fes una estimació qualitativa raonada: la mediana $M$ d'aquesta distribució serà menor que 2, exactament igual a 2 o major que 2? Justifica la teva conjectura indicant cap a on es concentra la proporció d'àrea més gran.
2. b) Troba l'expressió analítica de la funció de distribució $F(x)$ per a $x \in [0, 4]$ calculant l'àrea del triangle acumulat des de 0 fins a una abscissa genèrica $x$.
3. c) Resol l'equació $F(M) = 0,5$ per trobar el valor exacte de la mediana (arrodoneix a dos decimals) i comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) era correcta.

S'està estudiant el temps de reacció, en segons, d'un grup d'adolescents davant d'un estímul visual en un videojoc. La funció de densitat d'aquesta variable contínua ve donada per l'expressió següent:

$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

Determina:

1. a) El valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat vàlida.
2. b) La probabilitat que un jugador triat a l'atzar tingui un temps de reacció superior a $1,5$ segons.
3. c) La probabilitat que el temps de reacció estigui comprès exactament entre $0,5$ i $1$ segons.

El temps d'espera, en minuts, fins que es descarrega una actualització en una consola segueix una distribució contínua la funció de densitat de la qual té forma de trapezi. La funció està definida entre $0$ i $10$ minuts. Entre els minuts $0$ i $4$, la funció és constant amb un valor $h$, i entre els minuts $4$ i $10$ decreix linealment fins a arribar a $0$.

1. a) Calcula el valor de $h$ perquè sigui una funció de densitat.
2. b) Calcula la probabilitat que l'actualització trigui a descarregar-se menys de $6$ minuts.
3. c) Si un usuari fa més de $4$ minuts que espera, quina probabilitat hi ha que la descàrrega finalitzi abans del minut $8$?

Dada una variable aleatòria $Z$ que segueix una distribució normal estàndard $N(0, 1)$, utilitza les propietats de simetria i l'àrea total per calcular les probabilitats següents:

1. a) $P(Z < 1,42)$
2. b) $P(Z > -0,75)$
3. c) $P(1,12 < Z < 2,05)$
4. d) $P(-1,5 < Z < 1,5)$
5. e) Troba el valor de $k$ tal que $P(Z < k) = 0,8830$

L'estatura dels alumnes d'1r de Batxillerat d'una ciutat segueix una distribució normal amb una mitjana de $170$ cm i una desviació típica de $8$ cm.

1. a) Quin percentatge d'alumnes fa entre $162$ i $178$ cm d'alçària?
2. b) Si una selecció esportiva exigeix una estatura mínima de $154$ cm, quina probabilitat hi ha que un alumne triat a l'atzar no compleixi aquest requisit?
3. c) Quina és la probabilitat que un alumne faci més de $180$ cm d'alçària?

Les puntuacions obtingudes pels alumnes d'un centre en l'examen d'accés a la universitat (EBAU) segueixen una distribució normal $N(6,8 ; 1,2)$.

1. a) Si per accedir a una carrera molt demandada s'exigeix una puntuació superior a $8,5$, quin percentatge d'alumnes del centre tindria opció a entrar-hi?
2. b) El centre decideix atorgar una menció d'honor al $5 \%$ dels alumnes amb millors notes. A partir de quina puntuació es rep aquesta menció?
3. c) Quina probabilitat hi ha que un alumne tingui una nota inferior a $5$?

Una empresa de missatgeria ha analitzat el pes dels paquets que envia diàriament. S'ha comprovat que el pes segueix una distribució normal. Sabem que el $15,87 \%$ dels paquets pesen menys de $2$ kg i que el $2,28 \%$ dels paquets pesen més de $8$ kg.

1. a) Determina la mitjana i la desviació típica del pes dels paquets.
2. b) Quina és la probabilitat que un paquet triat a l'atzar pesi entre $3$ i $6$ kg?

En un estudi sobre la despesa mensual en oci dels joves d'una ciutat, s'ha determinat que segueix una distribució normal amb mitjana $80$ € i desviació típica $15$ €.

1. a) Calcula l'interval centrat en la mitjana que comprèn el $95 \%$ dels joves.
2. b) Si seleccionem un jove a l'atzar, quina és la probabilitat que la seva despesa mensual no s'allunyi de la mitjana més de $10$ €?
3. c) Si a la ciutat hi ha $5.000$ joves, quants d'ells s'estima que gasten més de $110$ € al mes?

Un agricultor classifica les taronges de la seva collita pel seu diàmetre. El diàmetre segueix una distribució normal $N(8 ; 0,6)$ en centímetres.

1. a) Les taronges amb un diàmetre inferior a $7$ cm es destinen a la fabricació de suc. Quina probabilitat té una taronja d'acabar a la fàbrica de suc?
2. b) Les taronges "Extra" són aquelles que tenen un diàmetre d'entre $8,5$ i $9,5$ cm. Quin percentatge de la collita s'etiqueta com a "Extra"?
3. c) Si l'agricultor vol separar el $10 \%$ de les taronges més grans per a una exportació de luxe, quin ha de ser el diàmetre mínim d'aquestes taronges?

Segons els registres de puntualitat en una línia de rodalia de Renfe, el retard $X$ (en minuts) d'un comboi s'ajusta a una funció de densitat decreixent:

$f(x) = \begin{cases} k \cdot (6 - x) & \text{si } 0 \le x \le 6 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

1. a) Determina el valor exacte de la constant $k$ utilitzant l'àrea del recinte triangular que tanca $f(x)$ amb l'eix d'abscisses per garantir que sigui una funció de densitat vàlida.
2. b) Dedueix la funció de distribució $F(x)$ per a l'interval $[0, 6]$ acumulant l'àrea sota la corba des de l'origen fins a un retard $x$ (pots calcular l'àrea del trapezi format o restar a l'àrea total d'1 el triangle que queda a la dreta de $x$).
3. c) La companyia aplica un compromís voluntari d'indemnització que retorna l'import del bitllet si el retard supera els 4 minuts. Utilitzant $F(x)$, calcula la probabilitat que un viatger triat a l'atzar tingui dret a indemnització i expressa el resultat com a percentatge.

Sigui $f(x)$ una funció definida a trossos de la manera següent:

$f(x) = \begin{cases} k \cdot x & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k \cdot (4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en la resta} \end{cases}$

1. a) Determina, de manera raonada, el valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat d'una variable aleatòria contínua $X$.

1. b) Un cop trobada $k$, calcula la probabilitat que la variable prengui un valor comprès en l'interval $[1, 3]$, és a dir, $P(1 \le X \le 3)$.

1. c) Representa gràficament la funció $f(x)$ i ombreja en el dibuix l'àrea que correspon a la probabilitat calculada a l'apartat b).

El temps d'ús diari d'una aplicació de mapes al mòbil dels repartidors d'una ciutat segueix una distribució normal $N(\mu, \sigma)$. Es sap que el $15,87 \%$ dels repartidors la utilitza menys de $40$ minuts al dia, mentre que el $2,28 \%$ la utilitza més de $80$ minuts. Calcula els paràmetres $\mu$ i $\sigma$ d'aquesta distribució. Quina és la probabilitat que un repartidor triat a l'atzar utilitzi l'aplicació entre $50$ i $70$ minuts?

Una empresa de fabricació de components electrònics afirma que el $4 \%$ de les seves pantalles tàctils presenten algun microdefecte de fàbrica. Si un centre educatiu adquireix un lot de $250$ pantalles per a les seves aules, calcula la probabilitat que:

1. a) Hi hagi exactament $12$ pantalles defectuoses.
2. b) Hi hagi entre $8$ i $15$ pantalles defectuoses (ambdós inclosos).

Nota: Justifica si és possible realitzar una aproximació de la distribució binomial a la normal i aplica la correcció de continuïtat de Yates.

En un certamen de joves talents musicals, les puntuacions segueixen una distribució normal de mitjana $72$ punts. Es sap que per obtenir una "Menció d'Honor" es requereix una puntuació tal que només el $10 \%$ dels participants l'assoleixi. Si la puntuació mínima per rebre aquesta menció és de $84,8$ punts, quina és la desviació típica de les puntuacions? Si es presenten $500$ participants, quants es preveu que tinguin una puntuació inferior a $60$ punts?

La durada de les bombetes LED d'un model segueix una distribució normal amb una mitjana de $30$ mil hores. Si es coneix que la probabilitat que una bombeta duri més de $34$ mil hores és la mateixa que la probabilitat que duri menys de $26$ mil hores, i totes dues valen $0,1587$, calcula la variància de la distribució. Si un ajuntament necessita que els fanals d'un parc funcionin durant $33$ mil hores sense substitució, quina probabilitat té que una bombeta es fongui abans d'assolir aquest temps?

S'ha comprovat que el pes dels paquets de cafè de $500$ grams que surten d'una envasadora segueix una distribució normal $N(505, 10)$. El control de qualitat rebutja aquells paquets que pesin menys de $490$ grams o més de $525$ grams.

1. a) Quin percentatge de paquets rebutja la fàbrica?
2. b) Si l'encarregat decideix ajustar la màquina perquè el pes mitjà sigui $\mu$, però mantenint la desviació típica $\sigma = 10$, quin valor hauria de tenir $\mu$ perquè el risc que un paquet pesi menys de $500$ grams sigui només del $2,5 \%$?

Dada la funció de densitat $f(x) = \frac{1}{8}(x-1)$ definida per a l'interval $x \in [1, 5]$ i $f(x)=0$ a la resta:

1. a) Comprova que l'àrea total sota la corba és efectivament $1$.
2. b) Troba un valor $M$ (mediana) tal que $P(X \le M) = 0,5$.
3. c) Calcula la probabilitat condicionada $P(X > 4 | X > 2)$.

En una plataforma de reproducció en línia, el temps que els usuaris miren una sèrie abans d'abandonar-la segueix una distribució normal. Es sap que el temps mitjà és de $45$ minuts. Si el $25 \%$ dels usuaris miren més de $60$ minuts, calcula la desviació típica. Determina l'interval simètric respecte de la mitjana $(45 - d, 45 + d)$ que contingui el $95 \%$ dels temps de visualització dels usuaris.

Considera una variable aleatòria contínua $X$ la funció de densitat simètrica de la qual ve donada per:

$f(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 2 - x & \text{si } 1 \le x \le 2 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

Es plantegen dues situacions de càlcul diferents:

1. a) Situació 1 (càlcul manual únic): Has d'obtenir $P(X \ge 0,3)$. Compara dos mètodes: calcular l'àrea directa dividint la regió en un trapezi a $[0,3; 1]$ més el triangle a $[1, 2]$, enfront de calcular-la mitjançant l'esdeveniment contrari $1 - P(X < 0,3)$ fent servir l'àrea de la cua esquerra. Justifica quina de les dues vies és més eficient i utilitza-la per donar el resultat exacte.
2. b) Situació 2 (disseny algorítmic): Una aplicació mòbil ha de respondre de manera instantània a més de 10\\,000 peticions diàries del tipus $P(X \le x)$ per a valors de $x$ dispersos en tot l'interval $[0, 2]$. Justifica per què en aquest cas és preferible deduir prèviament la funció de distribució $F(x)$ tram a tram en lloc de calcular les àrees geomètriques sobre $f(x)$ a cada consulta.
3. c) Determina analíticament l'expressió completa de $F(x)$ per a tot $\mathbb{R}$ i demostra la seva continuïtat en el punt de canvi de tram $x = 1$.

Al servei d'admissió i triatge d'un hospital comarcal, el temps de classificació de pacients $X$ (mesurat en desenes de minuts, amb recorregut de 0 a 20 minuts, és a dir, $x \in [0, 2]$) es modelitza a través de la seva funció de distribució acumulada:

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ k \cdot x^2 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ a \cdot x - 0,25 & \text{si } 1 < x \le 2 \\ 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

1. a) Raona quines propietats teòriques obligatòries de tota funció de distribució contínua (condicions de frontera als extrems del recorregut i absència de salts) permeten plantejar un sistema per calcular unívocament els valors dels paràmetres $k$ i $a$. Dedueix aquests valors.
2. b) El cap de guàrdia afirma: «Com que el temps màxim fixat al protocol és de 20 minuts ($x = 2$), la mediana del temps de triatge ha de ser necessàriament la meitat: 10 minuts ($x = 1$)». Demostra matemàticament si la seva afirmació és vertadera o falsa calculant el valor exacte de la mediana $M$ en minuts.
3. c) Analitza com varia el ritme de creixement de $F(x)$ en el primer tram $[0, 1]$ respecte al segon tram $(1, 2]$ i interpreta en el context hospitalari si la major part de les atencions es concentren en temps curts o en temps llargs.