Función de densidad y función de distribución continuas
Ya sabes que con una variable continua la probabilidad de un intervalo es un área bajo $f(x)$. Pero calcular un área distinta cada vez es lento. La función de distribución resuelve esto de una vez: acumula, para cada $x$, toda la probabilidad desde el extremo izquierdo hasta ese punto. Con ella, cualquier probabilidad se obtiene restando dos valores, sin rehacer el área cada vez.
La función de distribución en variable continua
Se define la función de densidad de una variable aleatoria continua $X$ que representa el tiempo de espera (en minutos) para que empiece una partida en un servidor de…
Se define la función de densidad de una variable aleatoria continua $X$ que representa el tiempo de espera (en minutos) para que empiece una partida en un servidor de videojuegos:
$f(x) = \begin{cases} k & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$
Determina el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad válida y representa gráficamente la función.
De la densidad a la distribución: el área acumulada
$f(x)$ y $F(x)$ son dos formas de mirar lo mismo: $f$ es la curva cuya área da la probabilidad; $F$ ya es esa área, acumulada hasta cada punto. Por eso, para calcular la probabilidad de un intervalo cualquiera basta con restar dos valores de $F$:
La duración de la batería de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos sigue una distribución uniforme entre las 4 y las 10 horas. Su función de densidad es constante…
La duración de la batería de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos sigue una distribución uniforme entre las 4 y las 10 horas. Su función de densidad es constante en ese intervalo: $f(x) = \frac{1}{6}$. Calcula la probabilidad de que la batería dure entre 5 y 8 horas, interpretándola como el área de un rectángulo.
Se está estudiando el tiempo de reacción, en segundos, de un grupo de adolescentes ante un estímulo visual en un videojuego. La función de densidad de esta variable…
Se está estudiando el tiempo de reacción, en segundos, de un grupo de adolescentes ante un estímulo visual en un videojuego. La función de densidad de esta variable continua viene dada por la siguiente expresión:
$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$
Determina:
- a) El valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad válida.
- b) La probabilidad de que un jugador elegido al azar tenga un tiempo de reacción superior a $1,5$ segundos.
- c) La probabilidad de que el tiempo de reacción esté comprendido exactamente entre $0,5$ y $1$ segundo.
Construir F(x) paso a paso
Cuando $f(x)$ está definida a trozos, $F(x)$ también se construye a trozos: en cada tramo, $F(x)$ es el área acumulada desde el principio hasta ese $x$, usando la figura geométrica que corresponda (rectángulo, triángulo, trapecio).
El tiempo de espera, en minutos, hasta que se descarga una actualización en una consola sigue una distribución continua cuya función de densidad tiene forma de trapecio.…
El tiempo de espera, en minutos, hasta que se descarga una actualización en una consola sigue una distribución continua cuya función de densidad tiene forma de trapecio. La función está definida entre $0$ y $10$ minutos. Entre los minutos $0$ y $4$, la función es constante con un valor $h$, y entre los minutos $4$ y $10$ decrece linealmente hasta llegar a $0$.
- a) Calcula el valor de $h$ para que sea una función de densidad.
- b) Calcula la probabilidad de que la actualización tarde en descargarse menos de $6$ minutos.
- c) Si un usuario lleva esperando más de $4$ minutos, ¿qué probabilidad hay de que la descarga finalice antes del minuto $8$?
Sea $f(x)$ una función definida a trozos de la siguiente forma:…
Sea $f(x)$ una función definida a trozos de la siguiente forma:
$f(x) = \begin{cases} k \cdot x & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k \cdot (4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$
Determina, de forma razonada, el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad de una variable aleatoria continua $X$. Una vez hallado $k$, calcula la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido en el intervalo $[1, 3]$ y represéntalo gráficamente.
La mediana: el punto que deja la mitad a cada lado
Dada la función de densidad $f(x) = \frac{1}{8}(x-1)$ definida para el intervalo $x \in [1, 5]$ y $f(x)=0$ en el resto: a) Comprueba que el área total bajo la curva es…
Dada la función de densidad $f(x) = \frac{1}{8}(x-1)$ definida para el intervalo $x \in [1, 5]$ y $f(x)=0$ en el resto:
- a) Comprueba que el área total bajo la curva es efectivamente $1$.
- b) Halla un valor $M$ (mediana) tal que $P(X \le M) = 0,5$.
- c) Calcula la probabilidad condicionada $P(X > 4 | X > 2)$.