Exercicis: Distribucions de probabilitat contínua

Se sap que el temps que triga l'autobús escolar a completar la seva ruta matinal segueix una distribució de probabilitat contínua la funció de densitat de la qual és constant en l'interval $[80, 120]$ minuts, i val $0$ en qualsevol altre punt.

1. a) Determina el valor de la funció de densitat en aquest interval perquè sigui vàlida.

1. b) Calcula la probabilitat que l'autobús trigui menys de 90 minuts a completar la ruta.

1. c) Representa gràficament la funció de densitat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa les dues corbes següents corresponents a distribucions normals. Ambdues representen el pes de dues races diferents de gats domèstics.

1. a) Tenen totes dues distribucions la mateixa mitjana $\mu$? Justifica la teva resposta observant la posició del màxim.
2. b) Quina de les dues distribucions té una desviació típica $\sigma$ més gran? Explica com influeix aquest paràmetre en la forma de la "campana".

Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard $Z \sim N(0, 1)$, obtén les probabilitats directes següents:

1. a) $P(Z < 1,25)$
2. b) $P(Z \leq 0,47)$
3. c) $P(Z < 2,03)$

Explica breument què representa el valor obtingut en l'apartat (a) respecte a l'àrea total sota la corba de Gauss.

En una distribució normal estàndard $Z \sim N(0, 1)$, calcula les probabilitats següents utilitzant la taula de la normal estàndard, les propietats de simetria i el succés contrari:

1. a) $P(Z > 1,12)$

1. b) $P(Z < -0,54)$

1. c) $P(Z \geq -1,96)$

A més, fes un esbós de la campana de Gauss per a l'apartat b), ombrejant l'àrea que estàs calculant i marcant a l'eix els valors $-0,54$ i $0$.

La puntuació en un popular test d'agilitat mental per a adolescents segueix una distribució normal $X \sim N(100, 15)$.

1. a) Tipifica el valor $X = 115$ i explica què significa el resultat obtingut (a quantes desviacions típiques de la mitjana es troba).
2. b) Tipifica el valor $X = 80$. Què indica el signe negatiu en aquest cas?

La durada de la bateria d'uns auriculars sense fil de gamma mitjana segueix una distribució normal amb una mitjana de 6 hores i una desviació típica de 0,5 hores ($X \sim N(6; 0,5)$).

Calcula la probabilitat que, en triar uns auriculars a l'atzar, la bateria duri menys de 7 hores. (Recorda tipificar primer la variable per poder usar la taula).

Calcula l'àrea tancada en els intervals següents per a una distribució normal estàndard $Z \sim N(0, 1)$:

1. a) $P(0,5 < Z < 1,5)$

1. b) $P(-1,2 < Z < 1,2)$

Representa gràficament l'interval de l'apartat b) (dibuixa la campana de Gauss i ombreja l'àrea demanada) i explica per què aquesta àrea és simètrica respecte a l'eix vertical.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Cerca a la taula de la distribució normal estàndard $N(0, 1)$ el valor de l'abscissa $k$ en els casos següents (problema invers):

1. a) $P(Z < k) = 0,8413$
2. b) $P(Z < k) = 0,9750$
3. c) $P(Z < k) = 0,5000$

Què passa amb el valor de $k$ a mesura que la probabilitat s'acosta a 1? Justifica la teva resposta observant la forma de la campana en els seus extrems.

La Laura està analitzant el temps de durada $X$ (en hores) de les trucades a un servei d'atenció ciutadana, modelitzat mitjançant una distribució uniforme en l'interval $[0, 2]$, amb funció de densitat $f(x) = 0,5$ si $0 \le x \le 2$ (i $0$ a la resta).

La Laura escriu al seu quadern:

«1) Com que $f(1) = 0,5$, la probabilitat que una trucada duri exactament una hora és del $50\,\%$.

2) Com que $P(X \le 1) = 0,5$ i $P(X = 1) = 0,5$, la probabilitat que duri estrictament menys d'una hora és $P(X < 1) = P(X \le 1) - P(X = 1) = 0,5 - 0,5 = 0$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per la Laura, explicant per què confon l'alçària de la funció de densitat amb una probabilitat i per què falla en calcular la probabilitat puntual d'una variable contínua.
2. b) Explica raonadament, a partir de la idea geomètrica d'àrea (base per alçària), per què per a qualsevol variable contínua es compleix que $P(X < 1) = P(X \le 1)$.
3. c) Corregeix els càlculs de la Laura i troba els valors correctes de $P(X = 1)$ i de $P(X < 1)$.

El temps d'espera $X$ (en minuts) a la cua d'una taquilla de teatre es modelitza mitjançant la funció de densitat triangular:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{18}x & \text{si } 0 \le x \le 6 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

Volem calcular la probabilitat d'esperar almenys 4 minuts, és a dir, $P(X \ge 4)$.

Dos companys de classe proposen camins diferents:

• El Sergio suggereix calcular directament l'àrea sota la recta entre $x = 4$ i $x = 6$, identificant la regió com un trapezi de bases $f(4)$ i $f(6)$ i alçària $2$.

• L'Elena proposa calcular la probabilitat de l'esdeveniment contrari $P(X < 4)$ com l'àrea d'un triangle de base $4$ i alçària $f(4)$, per després restar: $1 - P(X < 4)$.

1. a) Compara ambdós procediments analitzant les fórmules geomètriques que requereix cadascun. Quin consideres més directe o amb menys risc de cometre un error aritmètic? Justifica la teva resposta.
2. b) Tria un dels dos mètodes i calcula el valor numèric exacte de $P(X \ge 4)$ en forma de fracció irreductible.

S'està estudiant el temps que triga un grup de joves a desconnectar per complet després d'apagar el mòbil abans de dormir. La funció de densitat d'aquesta variable aleatòria contínua, $x$, expressada en minuts, ve donada per la gràfica següent:

Calcula raonadament:

1. a) El valor de l'ordenada màxima $k$ perquè sigui una funció de densitat vàlida.
2. b) La probabilitat que un jove trigui entre 15 i 20 minuts a desconnectar.
3. c) Quina és la probabilitat que trigui exactament 22 minuts?

Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard $N(0, 1)$, calcula les probabilitats següents:

1. a) $P(Z < 1,48)$
2. b) $P(Z > 0,72)$
3. c) $P(Z < -1,15)$
4. d) $P(-0,5 < Z < 1,2)$

A més, troba el valor de la constant positiva $a$ tal que $P(-a < Z < a) = 0,90$.

Dos amics, Lucía i Marco, juguen en diferents equips d'e-Sports. La puntuació de Lucía al joc "Galaxy Quest" segueix una distribució $N(1200, 15)$, mentre que la de Marco a "Pixel Arena" segueix una distribució $N(850, 10)$.

En l'última partida, Lucía va obtenir 1235 punts i Marco va obtenir 875 punts. Utilitza la tipificació de variables per determinar quin dels dos va obtenir un resultat més meritori en comparació amb el seu grup.

L'alçada dels alumnes de 1r de Batxillerat d'un institut segueix una distribució normal de mitjana $172$ cm i desviació típica $8$ cm. Si triem un alumne a l'atzar, troba la probabilitat que:

1. a) Mesuri més de $185$ cm.
2. b) Mesuri menys de $160$ cm.
3. c) La seva alçada estigui compresa entre $165$ i $180$ cm.

Una empresa que fabrica motxilles escolars ha comprovat que el pes que suporten abans que fallin les cosidures segueix una distribució normal amb una mitjana de $24$ kg i una desviació típica de $3,5$ kg.

1. a) Quin percentatge de motxilles suporten un pes entre $20$ i $28$ kg?
2. b) Si l'empresa fabrica un lot de $5000$ motxilles, quantes es preveu que fallin abans dels $18$ kg?

En una plataforma de reproducció en continu (streaming) de música, el temps que els usuaris escolten una llista de reproducció "Top 50" segueix una distribució $N(45, 12)$ minuts. La plataforma decideix enviar una enquesta de satisfacció al $15\%$ dels usuaris que més temps passen escoltant aquesta llista. A partir de quants minuts d'escolta rebrà un usuari l'enquesta?

El pes de les rajoles de xocolata produïdes per una fàbrica segueix una distribució normal de mitjana $200$ grams. El control de qualitat rebutja aquelles rajoles que pesen menys de $195$ grams. Sabent que el $3\%$ de les rajoles són rebutjades, calcula el valor de la desviació típica d'aquesta producció.

L'AEMET registra la precipitació diària $X$ (en litres per metre quadrat) en una estació meteorològica durant els dies de pluja mitjançant la següent funció de densitat en l'interval $[0, 10]$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{50}(10 - x) & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

1. a) Abans de fer càlculs numèrics d'àrees, fes un esbós mental de la gràfica (una recta decreixent que va des de $(0; 0,2)$ fins a $(10, 0)$) i estima de manera qualitativa i justificada:

• Quina probabilitat esperes que sigui més gran: que plogui entre 0 i 2 litres ($P(0 \le X \le 2)$) o entre 8 i 10 litres ($P(8 \le X \le 10)$)?

• Sabent que l'interval total té amplitud 10, creus que la probabilitat que plogui com a màxim 5 litres, $P(X \le 5)$, serà més gran, igual o més petita que $0,5$? Explica la teva deducció fixant-te en com es reparteix l'àrea sota la gràfica.

1. b) Comprova les teves estimacions calculant de manera exacta mitjançant àrees geomètriques (triangles o trapezis) els valors de $P(0 \le X \le 2)$, $P(8 \le X \le 10)$ i $P(X \le 5)$.
2. c) Compara els resultats numèrics obtinguts amb les teves previsions de l'apartat a) i conclou si la teva intuïció era correcta.

Segons dades de mobilitat urbana sobre recàrrega de vehicles elèctrics, el temps $X$ (en hores) que un cotxe roman en un punt de recàrrega pública semiràpida es modelitza com una variable aleatòria contínua en l'interval $[0, 4]$. La funció de densitat proposada té dues fases lineals:

$f(x) = \begin{cases} c \cdot x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ k \cdot (4 - x) & \text{si } 1 \le x \le 4 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

1. a) Perquè la funció sigui contínua en el punt de canvi $x = 1$, les dues branques han de prendre el mateix valor, és a dir, $c \cdot 1 = k \cdot (4 - 1)$. Utilitza aquesta relació i la propietat que l'àrea total sota la corba ha de ser igual a $1$ per calcular raonadament els valors exactes de les constants $c$ i $k$.
2. b) L'ajuntament vol aplicar una bonificació als usuaris que alliberin la plaça abans de 2 hores. Modela la situació calculant la probabilitat que un usuari obtingui aquesta bonificació, és a dir, troba $P(X \le 2)$ sumant les àrees geomètriques corresponents.
3. c) Si un conductor afirma que la probabilitat d'estar carregant exactament durant 1 hora és nul·la ($P(X = 1) = 0$), significa això que és impossible que un cotxe es desconnecti just a l'hora? Raona la diferència entre la definició matemàtica de probabilitat en variables contínues i la possibilitat física de l'esdeveniment.

Es considera la funció de probabilitat contínua definida per trams d'una variable aleatòria $X$, que representa el temps (en hores) que un grup d'adolescents dedica a l'estudi de matemàtiques en un cap de setmana:

$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k(4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

1. a) Determina raonadament el valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat.
2. b) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar estudiï entre 1,5 i 3 hores.
3. c) Quina és la probabilitat que estudiï exactament 2 hores? Justifica la teva resposta basant-te en la naturalesa de la variable.

La latència (ping) en un popular videojoc en línia segueix una distribució normal $N(\mu, \sigma)$. Després de realitzar milers de mesuraments, els desenvolupadors han observat que el $15,87\%$ de les partides tenen una latència superior a $110$ ms, mentre que el $6,68\%$ de les partides presenten una latència inferior a $75$ ms.

1. a) Calcula els paràmetres $\mu$ (mitjana) i $\sigma$ (desviació típica) d'aquesta distribució.
2. b) Si un jugador considera que una partida és "injugable" quan la latència supera els $125$ ms, quin percentatge de partides entraran en aquesta categoria?

Una empresa tecnològica fabrica sensors de precisió per a drons. El marge d'error en el mesurament de l'altura d'aquests sensors segueix una distribució normal amb una mitjana de $0$ cm i una desviació típica de $1,5$ cm. Per motius de seguretat, l'empresa descarta tots els sensors l'error absolut dels quals sigui superior a un valor crític $k$.

1. a) Si es sap que el $10\%$ de la producció total és descartada, calcula el valor d'aquest marge d'error $k$.
2. b) Quina és la probabilitat que, en triar un sensor acceptat (no descartat), el seu error sigui positiu?

Una aplicació de reproducció en continu (streaming) de música ha llançat un nou algorisme de recomanació. S'estima que la probabilitat que a un usuari li agradi una cançó recomanada és del $65\%$. Si en un dia l'algorisme recomana cançons a un grup de $400$ usuaris:

1. a) Justifica si és possible aproximar la distribució del nombre d'usuaris a qui els agrada la recomanació mitjançant una distribució normal.
2. b) Utilitzant l'aproximació adequada (amb correcció de continuïtat), calcula la probabilitat que la recomanació sigui reeixida per a un nombre d'usuaris comprès entre $250$ i $275$ (ambdós inclosos).

En una prestigiosa escola de disseny, la nota final dels aspirants segueix una distribució normal. Es sap que la nota mitjana és de $6,8$ i que el $33\%$ dels alumnes obté una nota superior a $7,5$.

1. a) Troba la desviació típica de les notes.
2. b) Si per obtenir una beca d'excel·lència es requereix estar en el $5\%$ superior de les notes, quina és la nota mínima necessària per aconseguir aquesta beca?

El pes de les ampolles de plàstic reciclat recollides en un centre de sostenibilitat segueix una distribució $N(120, 15)$ grams. El centre classifica les ampolles en tres categories: "Lleugeres" (el $20\%$ que menys pesa), "Estàndard" (el $60\%$ central) i "Pesades" (el $20\%$ que més pesa).

1. a) Determina els pesos que delimiten cadascuna de les tres categories.
2. b) Si triem $5$ ampolles a l'atzar, quina és la probabilitat que exactament $3$ d'elles siguin classificades com a "Estàndard"?

S'estan comparant dos models de patinets elèctrics. El model A té una autonomia mitjana de $40$ km amb una desviació típica de $4$ km. El model B té una autonomia mitjana de $42$ km amb una desviació típica de $8$ km. Ambdues autonomies segueixen distribucions normals.

1. a) Si un usuari necessita realitzar un trajecte de $48$ km sense recarregar, quin model li ofereix més seguretat (més probabilitat d'èxit)? Justifica els càlculs.
2. b) Per a quina distància la probabilitat que tots dos models fallin és la mateixa?

Una empresa de logística analitza el temps de lliurament dels seus paquets locals. El temps de lliurament segueix una distribució normal amb una desviació típica de $12$ minuts. Es sap que el $75\%$ dels paquets es lliuren en menys de $50$ minuts.

1. a) Calcula el temps mitjà de lliurament.
2. b) L'empresa garanteix un reemborsament de l'enviament si el paquet triga més d'una hora ($60$ minuts) a arribar. Si en un mes s'envien $5000$ paquets, quants reemborsaments s'estima que haurà de realitzar l'empresa?
3. c) Si l'empresa vol reduir el nombre de reemborsaments a la meitat millorant la logística però mantenint la mateixa mitjana, quina hauria de ser la nova desviació típica?

Una empresa logística amb seu a Saragossa analitza el temps $X$ (en dies) que triga a lliurar una comanda nacional urgent. Els analistes saben que $X$ es distribueix de manera contínua i uniforme en un interval desconegut $[a, b]$, amb $0 < a < b$, de manera que la seva funció de densitat és constant: $f(x) = \frac{1}{b - a}$ per a $x \in [a, b]$.

No es coneixen els extrems $a$ ni $b$, però es disposa de dues dades contrastades:

1. El temps mitjà de lliurament (el punt mitjà de l'interval) és de $3$ dies.

2. La probabilitat que un paquet trigui més de 4 dies a arribar al destinatari és exactament del $25\,\%$ ($0,25$).

1. a) Planteja un sistema d'equacions a partir de les condicions geomètriques del problema i dedueix raonadament els valors exactes d'$a$ i de $b$.
2. b) Escriu l'expressió analítica definitiva de la funció de densitat $f(x)$ i calcula la probabilitat que un enviament trigui menys de 2 dies.
3. c) La direcció de l'empresa desitja fixar un compromís publicitari: garantir un termini màxim de lliurament $T$ tal que només el $5\,\%$ dels paquets incompleixi la garantia (és a dir, $P(X > T) = 0,05$). Calcula el valor exacte de $T$.
4. d) Si en comptes d'un model uniforme s'utilitzés una distribució normal $N(3, \sigma)$ amb la mateixa mitjana, raona si teòricament existiria un temps màxim absolut garantit al $100\,\%$ i explica com canviaria la forma de la funció de densitat en els extrems.

A les proves d'accés a la universitat (EvAU/EBAU) de certa comunitat autònoma, les qualificacions obtingudes per l'alumnat es modelitzen mitjançant una distribució normal $N(\mu, \sigma)$. La comissió tècnica compara els resultats de dues convocatòries diferents en les quals la nota mitjana va ser idèntica, però la dispersió va ser diferent:

• Convocatòria A: $X_A \sim N(6,2;\, 1,4)$

• Convocatòria B: $X_B \sim N(6,2;\, 0,8)$

1. a) Dibuixa mentalment i compara les funcions de densitat d'ambdues distribucions:

• En quin valor de $x$ assoleix el màxim cada campana i quina corba té una cúspide més alta? Justifica la teva resposta tenint en compte que l'àrea sota ambdues funcions ha de ser igual a $1$.

• Quina de les dues corbes és més ampla i quin paràmetre matemàtic determina aquesta amplada?

1. b) Per accedir al grau de Medicina es requereix una nota de tall molt exigent: almenys $8,6$ punts. Observa que la diferència entre $8,6$ i la mitjana comuna $6,2$ és de $2,4$ punts. Sense necessitat de consultar taules numèriques, calcula a quantes desviacions típiques ($\sigma$) de la mitjana es troba aquesta nota de tall a la Convocatòria A i a la Convocatòria B, i raona en quina de les dues convocatòries hi va haver un percentatge més gran d'estudiants que van superar aquesta nota.
2. c) Un orientador escolar afirma: «A la Convocatòria B va ser més fàcil obtenir una qualificació intermèdia, situada en l'interval $[5;\, 7,4]$, que a la Convocatòria A». Analitza críticament aquesta afirmació: expressa aquest interval en termes de distàncies a la mitjana per a cada distribució i justifica matemàticament si l'orientador té raó.