Exercicis: Aproximació a la BIN mitjançant N

Un tirador de tirs lliures de bàsquet té una probabilitat d'encert de $p = 0,8$. Si realitza $n = 100$ llançaments, volem saber si podem aproximar la variable binomial $X$ (nombre d'encerts) per una distribució normal.

1. a) Comprova si es compleixen les condicions $n \cdot p \ge 5$ i $n \cdot q \ge 5$.
2. b) En cas afirmatiu, indica quins serien els paràmetres $\mu$ i $\sigma$ de la nova distribució normal $X'$.

Es llença una moneda equilibrada ($p = 0,5$) a l'aire $400$ vegades. Calcula la probabilitat d'obtenir menys de $190$ cares utilitzant l'aproximació de la binomial a la normal (sense aplicar encara la correcció de continuïtat).

Pas 1: Calcula la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$.

Pas 2: Tipifica el valor $X = 190$ i busca a la taula.

En una estació d'Inspecció Tècnica de Vehicles (ITV) d'Andalusia, se sap que el $30\,\%$ dels turismes inspeccionats són híbrids o elèctrics. Durant un matí hi acudeixen $n = 100$ vehicles. Es vol determinar la probabilitat que més de 35 siguin híbrids o elèctrics.

Hugo, un alumne d'1r de Batxillerat, escriu al seu examen la resolució següent:

«Identifico una binomial $X \equiv B(100;\ 0{,}30)$. Calculo la seva mitjana $\mu = 100 \cdot 0{,}30 = 30$ i la seva desviació típica $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}30 \cdot 0{,}70} = \sqrt{21} \approx 4{,}58$.

Com que demanen més de 35, tipifico directament:

$$P(X > 35) = P\left(Z > \frac{35 - 30}{4{,}58}\right) = P(Z > 1{,}09) = 1 - \Phi(1{,}09) = 1 - 0{,}8621 = 0{,}1379$$»

1. a) Hugo ha comès dos errors: un de metodològic previ (no verificar si és lícita l'aproximació) i un altre de conceptual greu en traslladar una desigualtat estricta d'una variable discreta a una normal contínua. Explica detalladament per què cada valor enter $k$ de la binomial s'ha de representar com l'interval $[k - 0{,}5,\ k + 0{,}5]$ i quina correcció havia d'aplicar en demanar «més de 35».
2. b) Corregeix l'exercici d'Hugo: comprova les condicions $n\cdot p \geq 5$ i $n\cdot q \geq 5$, planteja la tipificació amb la correcció de continuïtat de Yates adequada i calcula la probabilitat correcta.

Per a cadascuna de les tres situacions plantejades a continuació, analitza les dades i tria raonadament el mètode de càlcul més adequat entre les dues opcions: la fórmula exacta de la binomial $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ o l'aproximació mitjançant una normal amb correcció de Yates. Si en algun cas consideres que no és admissible aplicar la normal, justifica-ho amb els criteris tècnics del tema.

1. Situació A: En una petita oficina de Correus amb 15 empleats, la probabilitat que un treballador falti per baixa laboral un dia concret és $p = 0{,}04$. Es vol calcular la probabilitat que falti com a màxim 1 empleat durant la jornada.

2. Situació B: En un control d'alcoholèmia de la DGT en una autovia, el $5\,\%$ dels conductors dona positiu. S'aturen 60 vehicles i es vol calcular la probabilitat que donin positiu 5 conductors o més.

3. Situació C: Una enquesta del CIS assenyala que el $40\,\%$ de les llars espanyoles té com a mínim una mascota. S'extreu una mostra de 200 llars i es vol calcular la probabilitat que entre 75 i 90 llars (ambdues incloses) tinguin mascota.

En cada situació, avalua $n\cdot p$ i $n\cdot q$ i argumenta per què convé o no realitzar l'aproximació normal enfront del càlcul binomial exacte.

Un estudi sobre hàbits de reciclatge afirma que el $35\%$ de les llars d'una ciutat separa correctament el plàstic. Si es selecciona una mostra aleatòria de $120$ llars:

1. a) Justifica per què es pot aproximar aquest experiment per una distribució normal.
2. b) Calcula la probabilitat que, en aquesta mostra, separein el plàstic entre $40$ i $50$ llars (tots dos inclosos).

En una plataforma de streaming, el $15\%$ dels usuaris cancel·la la seva subscripció abans d'acabar el mes de prova. Si aquest mes s'hi han apuntat $400$ nous usuaris, calcula, utilitzant l'aproximació normal amb correcció de continuïtat, la probabilitat que es donin de baixa exactament $65$ usuaris.

S'ha realitzat una enquesta sobre hàbits esportius i se sap que el $30\%$ dels adolescents espanyols practica algun esport d'equip federat. Si seleccionem una mostra aleatòria de $200$ adolescents:

1. a) Justifica si és possible aproximar la distribució de la variable "nombre d'adolescents que practiquen un esport d'equip federat" mitjançant una distribució normal. En cas afirmatiu, indica els paràmetres de la distribució normal aproximada.

1. b) Utilitzant aquesta aproximació (amb la correcció de continuïtat de Yates), calcula la probabilitat que més de $70$ adolescents de la mostra practiquin un esport d'equip federat.

Segons l'Enquesta sobre Equipament i Ús de Tecnologies de la Informació de l'INE, el $40\,\%$ dels treballadors de cert sector professional a Espanya treballa habitualment en modalitat de teletreball. Per analitzar la demanda d'espais de coworking, se selecciona una mostra aleatòria de 150 professionals d'aquest sector. Sigui $X$ el nombre de professionals que teletreballen.

1. a) Modela la variable $X$ mitjançant la seva distribució binomial i calcula la seva mitjana $\mu$ i la seva desviació típica $\sigma$. Sense mirar cap taula de la normal ni tipificar encara, utilitza la propietat que l'interval central $(\mu - 2\sigma,\ \mu + 2\sigma)$ concentra aproximadament el $95\,\%$ de la probabilitat per estimar entre quins dos nombres de teletreballadors es concentraran els resultats amb aquesta fiabilitat.
2. b) A partir de la teva estimació prèvia, quin valor qualitatiu o aproximat esperaries obtenir per a $P(48 \leq X \leq 72)$? Raona la teva predicció abans de fer comptes numèrics.
3. c) Comprova formalment si es compleixen les condicions per aproximar per la normal, aplica la correcció de continuïtat de Yates a l'interval $[48,\ 72]$ i calcula el valor probabilístic exacte tipificant amb la taula $N(0,1)$. Compara el resultat amb la teva estimació inicial i valora si era encertada.

Una auditoria del servei de Rodalies Renfe en un nucli urbà determina que la probabilitat que un comboi arribi a la seva destinació amb puntualitat és del $85\,\%$. Al llarg d'una jornada laboral circulen 400 trens de manera independent.

1. a) Defineix amb precisió la variable aleatòria $X$ (nombre de trens puntuals) i el seu model binomial. Comprova les condicions que permeten aproximar $X$ per una variable normal $X' \equiv N(\mu,\sigma)$ i indica el valor de la seva mitjana i la seva desviació típica.
2. b) El protocol de qualitat de l'operadora exigeix activar un pla de compensació a usuaris si el nombre de trens amb retard durant el dia és superior a 70. Tradueix aquesta condició a un esdeveniment equivalent sobre el nombre de trens que sí que van ser puntuals, aplica la corresponent correcció de continuïtat de Yates i calcula la probabilitat que l'empresa hagi d'activar les compensacions aquell dia.
3. c) Suposa que en acabar una jornada especialment complicada es comptabilitzen únicament 320 trens puntuals. Utilitzant l'interval de normalitat estadística $(\mu - 2\sigma,\ \mu + 2\sigma)$, raona si aquest balanç es pot atribuir a la variabilitat aleatòria habitual del servei o si constitueix una anomalia estadística significativa.

Un estudi sobre hàbits de lectura en adolescents revela que el 70 % dels joves d'entre 15 i 16 anys prefereix el format digital per sobre del paper. Si seleccionem una mostra aleatòria de 400 adolescents:

1. a) Justifica si és possible aproximar la distribució de la variable "nombre d'adolescents que prefereixen el format digital" mitjançant una distribució normal.
2. b) Calcula, utilitzant l'aproximació anterior i realitzant la correcció de continuïtat, la probabilitat que prefereixin el format digital entre 270 i 290 adolescents (tots dos inclosos).

Es llença una moneda trucada 500 vegades, en la qual la probabilitat d'obtenir cara és de 0,4. Calcula la probabilitat d'obtenir:

1. a) Exactament 200 cares.
2. b) Més de 215 cares.
3. c) Menys de 185 cares.

Nota: Utilitza l'aproximació a la normal amb la correcció de continuïtat de Yates.

El 5 % de les peces fabricades per una màquina d'alta precisió resulten defectuoses. Si s'empaqueten en caixes de 200 unitats, calcula la probabilitat que en una caixa:

1. a) Hi hagi exactament 10 peces defectuoses.
2. b) Hi hagi més de 15 peces defectuoses.
3. c) El nombre de peces defectuoses sigui menor o igual a 5.

Argumenta si els resultats serien significativament diferents si no s'apliqués la correcció de continuïtat.

En un examen de tipus test amb 100 preguntes, cadascuna amb 4 opcions de resposta (només una de correcta), un alumne contesta totes les preguntes a l'atzar. Sigui $X$ el nombre de preguntes que encerta. Pots aproximar la distribució de $X$ per una normal amb la mateixa mitjana i la mateixa desviació típica.

1. a) Quina és la probabilitat que encerti més de 30 preguntes?
2. b) Si per aprovar l'examen cal obtenir almenys 40 encerts, quina és la probabilitat que l'alumne aprovi per pur atzar?
3. c) Calcula l'interval $(np - 2\sigma,\ np + 2\sigma)$, on $n$ és el nombre de preguntes, $p$ la probabilitat d'encertar una pregunta a l'atzar i $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ la desviació típica de $X$. Interpreta'n el significat en aquest context.

Una cadena de gimnasos sap que el 20 % dels seus clients inscrits no acudeix mai a les instal·lacions. Si en un gimnàs concret hi ha 600 inscrits:

1. a) Calcula la probabilitat que el nombre de clients que mai no hi acudeixen estigui entre 110 i 135 inclosos.
2. b) Si el gimnàs decideix llançar una campanya de motivació per a aquests clients si el nombre d'"inactius" supera els 140, quina probabilitat hi ha que hagin de llançar aquesta campanya?
3. c) Quin és el nombre màxim de clients inactius que s'espera trobar amb una probabilitat del 90 %?

En una xarxa social de microblogging, la probabilitat que un missatge publicat es converteixi en "viral" (més de $10.000$ compartits) és de $0,004$. Un analista de dades estudia una mostra aleatòria de $2.500$ missatges publicats en un dia.

Utilitzant l'aproximació de la distribució binomial a la normal (amb la correcció de continuïtat corresponent), calcula la probabilitat que en aquesta mostra:

1. a) Hi hagi exactament $12$ missatges virals.
2. b) Hi hagi entre $8$ i $15$ missatges virals (tots dos inclosos).

Un centre d'estudis sociològics vol estimar el grau de suport a una nova llei de transició energètica a Espanya. Enquestes preliminars mostren que el $20\,\%$ dels ciutadans està plenament a favor de la mesura ($p = 0{,}20$). La direcció del centre exigeix dissenyar un mostratge amb una mida $n$ de persones suficient per garantir, amb una probabilitat d'almenys el $95\,\%$ ($0{,}95$), que es registraran com a mínim 50 respostes favorables.

1. a) Expressa la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$ en funció de la incògnita $n$. Aplica la correcció de continuïtat de Yates per transformar l'esdeveniment discret $P(X \geq 50)$ en una condició sobre la variable normal contínua aproximada $X' \equiv N(\mu,\sigma)$.
2. b) En una distribució normal estàndard $N(0,1)$, el valor crític que deixa a la seva dreta una àrea de $0{,}95$ és $z = -1{,}645$. Planteja l'equació associada a la condició de probabilitat que relaciona $n$, $49{,}5$ i el valor crític $-1{,}645$.
3. c) Aplica el canvi de variable $u = \sqrt{n}$ per convertir l'expressió obtinguda en una equació de segon grau en $u$. Resol-la, determina la mida mostral mínima sencera $n$ que compleix el requeriment de l'estudi i comprova si aquest $n$ verifica a posteriori els criteris empírics $n\cdot p \geq 5$ i $n\cdot q \geq 5$.

En el departament de prevenció del frau d'una entitat financera a Espanya s'analitzen les operacions realitzades amb targeta bancària. S'estima que únicament el $0{,}5\,\%$ de les transaccions diàries ($p = 0{,}005$) resulta ser fraudulent. Durant una auditoria especial es pren una mostra de $n = 1000$ operacions independents.

Dos analistes discuteixen sobre la conveniència d'usar l'aproximació normal per calcular la probabilitat de no trobar cap operació fraudulenta, $P(X = 0)$:

• La Carmen afirma: «Com que $n\cdot p = 1000 \cdot 0{,}005 = 5$ i $n\cdot q = 1000 \cdot 0{,}995 = 995 \geq 5$, es compleixen formalment els requisits mínims. Per tant, aproximar amb la normal i correcció de Yates proporcionarà un valor fiable».

• En David discrepa: «El criteri $np \geq 5$ és merament orientatiu. Com que $p$ és tan proper a 0, la distribució binomial és molt asimètrica i calcular la probabilitat a l'extrem $k = 0$ mitjançant la normal acumularà un error relatiu inacceptable enfront de la fórmula binomial exacta».

1. a) Calcula el valor exacte de la probabilitat de no registrar cap frau, $P(X = 0)$, utilitzant la fórmula de la distribució binomial $B(1000;\ 0{,}005)$.
2. b) Modela l'aproximació normal $X' \equiv N(\mu,\sigma)$ amb correcció de Yates per calcular $P(X = 0) = P(-0{,}5 \leq X' \leq 0{,}5)$ tipificant a la $N(0,1)$. A continuació, calcula l'error relatiu percentual comès per la normal respecte al valor binomial exacte: $E_r = \dfrac{|P_{\text{normal}} - P_{\text{binomial}}|}{P_{\text{binomial}}} \cdot 100\,\%$.
3. c) A la vista de l'error obtingut, dictamina raonadament quin dels dos analistes té raó en aquest cas concret i explica per què en distribucions molt asimètriques es recomana exigir un llindar més estricte ($n\cdot p \geq 10$) o evitar l'aproximació normal a les cues.