Ramas infinitas en funciones exponenciales y logarítmicas

Una colonia de moho crece en una placa de Petri de un laboratorio escolar. El área que cubre, en $cm^2$, sigue el modelo de una función exponencial dependiente del tiempo $t$ en días: $M(t) = 2 \cdot 1,5^t$.

a) ¿Hacia qué valor tiende el área cubierta por el moho si la colonia sigue creciendo de forma indefinida? Expresa este hecho utilizando la notación de límites.

b) Observa la gráfica de la función y describe el tipo de rama infinita que presenta cuando $t \to +\infty$.

La intensidad de la señal de Wi-Fi de una cafetería, medida en decibelios (dB), disminuye a medida que nos alejamos de la antena según la función $I(d) = 60 \cdot e^{-0,1d}$, donde $d$ es la distancia en metros.

a) Calcula el límite de la intensidad cuando la distancia $d$ tiende a $+\infty$.

b) ¿Qué significa el resultado obtenido en el contexto del problema? ¿Existe alguna asíntota horizontal?

Halla las asíntotas horizontales, si existen, de las siguientes funciones estudiando sus límites en el infinito:

a) $f(x) = 5^{x} + 2$

b) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 3$

Nota: Recuerda estudiar tanto el límite cuando $x \to +\infty$ como cuando $x \to -\infty$.

Dada la función logarítmica $f(x) = \ln(x - 4)$, se pide:

a) Hallar el dominio de definición de la función.

b) Estudiar el comportamiento de la función cuando $x$ se aproxima a $4$ por la derecha ($x \to 4^+$) y determinar si existe una asíntota vertical.

Dada la función $f(x) = e^{1/(x-3)}$, calcula los siguientes límites laterales:

1. $\lim_{x \to 3^-} f(x)$

2. $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

A la vista de los resultados, indica si existe una asíntota vertical en $x = 3$ y describe el comportamiento de la función a cada lado del punto.

Una empresa de logística estima que el coste de mantenimiento de su flota de camiones, en euros, sigue el modelo $C(x) = 1500 + \log(x + 10)$, donde $x$ es el número de kilómetros recorridos.

Analiza la rama infinita de la función cuando el kilometraje aumenta indefinidamente ($x \to +\infty$). ¿El coste de mantenimiento tiene un límite máximo o crece sin cota?

Asocia cada una de las siguientes expresiones de límites con la característica gráfica correspondiente de una función logarítmica $f(x) = \log_a(x)$ con $a > 1$:

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$

2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

A) La función presenta una rama parabólica de crecimiento lento.

B) La función tiene una asíntota vertical en el eje de ordenadas.

Analiza el comportamiento de la función $g(x) = 2 + \frac{\ln(x)}{x}$ cuando la variable independiente crece indefinidamente ($x \to +\infty$).

Pista: Recuerda que la función logarítmica crece mucho más lentamente que cualquier función polinómica, por lo que $\frac{\ln(x)}{x} \to 0$ cuando $x \to +\infty$.

Explica si la función tiene alguna asíntota horizontal y represéntala esquemáticamente en un eje de coordenadas.

Un estudio de mercado estima que el número de suscriptores de una nueva plataforma de streaming, en miles de personas, sigue la función $S(t) = \frac{120}{1 + 4 \cdot e^{-0,1t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento.

Determina el límite de suscriptores que tendrá la plataforma "a largo plazo", es decir, cuando $t \to +\infty$. ¿Cómo se denomina este comportamiento desde el punto de vista de las ramas infinitas de la función?

En un laboratorio de química, la temperatura de una reacción (en $^\circ C$) viene dada por la función $T(t) = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$, donde $t$ es el tiempo en minutos.

1. ¿Cuál es la temperatura inicial de la reacción?

2. ¿A qué temperatura se estabilizará la mezcla si dejamos pasar mucho tiempo? Calcula $\lim_{t \to +\infty} T(t)$.

El impacto de una campaña de marketing digital para una nueva aplicación móvil se mide por el número de usuarios activos diarios, $U(t)$, en miles, donde $t$ es el tiempo en días desde el lanzamiento. El modelo viene dado por la siguiente función:

Analiza el comportamiento de la comunidad de usuarios a largo plazo calculando $\lim_{t \to +\infty} U(t)$ e interpreta el significado de la asíntota horizontal encontrada. ¿Qué ocurriría con el límite si el coeficiente del exponente fuera positivo ($0,15t$)? Justifica tu respuesta.

En un debate de clase sobre órdenes de crecimiento, un estudiante afirma que, como el numerador de la función $g(x) = \frac{x}{e^x}$ tiende a infinito cuando $x \to +\infty$, la función $g(x)$ tampoco puede tener límite finito en el infinito.

Demuestra mediante el cálculo de $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}$ si el estudiante tiene razón o no, comparando el orden de crecimiento de la función exponencial frente al de la función lineal. ¿Presenta $g(x)$ alguna asíntota horizontal? Indica su ecuación.

Un canal de contenidos educativos obtiene unos ingresos mensuales por publicidad (en cientos de euros) que siguen la función $R(x) = 50 \cdot \ln(x+1) - 0,5x$, donde $x$ representa los meses transcurridos desde su lanzamiento.

1. a) Calcula $\lim_{x \to +\infty} R(x)$ comparando los órdenes de magnitud del crecimiento logarítmico frente al crecimiento lineal.
2. b) ¿Es este un buen modelo para representar los ingresos del canal a largo plazo? Justifica tu respuesta basándote en la rama infinita obtenida.