Exercicis: Branques infinites en funcions exponencials i logarítmiques

Una colònia de floridura creix en una placa de Petri d'un laboratori escolar. L'àrea que cobreix, en $cm^2$, segueix el model d'una funció exponencial dependent del temps $t$ en dies: $M(t) = 2 \cdot 1,5^t$. El gràfic mostra la funció per a $t$ entre 0 i 6 dies.

a) Cap a quin valor tendeix l'àrea coberta per la floridura si la colònia continua creixent de manera indefinida? Expressa aquest fet utilitzant la notació de límits.

b) Observa la gràfica de la funció i descriu el tipus de branca infinita que presenta quan $t \to +\infty$.

La intensitat del senyal de Wi-Fi d'una cafeteria, mesurada en microwatts ($\mu$W), disminueix a mesura que ens allunyem de l'antena segons la funció $I(d) = 60 \cdot e^{-0,1d}$, on $d$ és la distància en metres.

a) Calcula el límit de la intensitat quan la distància $d$ tendeix a $+\infty$.

b) Què significa el resultat obtingut en el context del problema? Existeix alguna asímptota horitzontal?

Donada la funció logarítmica $f(x) = \ln(x - 4)$, es demana:

a) Troba el domini de definició de la funció.

b) Estudia el comportament de la funció quan $x$ s'aproxima a $4$ per la dreta ($x \to 4^+$) i determina si existeix una asímptota vertical.

Una empresa de logística estima que el cost de manteniment de la seva flota de camions, en euros, segueix el model $C(x) = 1500 + \log(x + 10)$, on $x$ és el nombre de quilòmetres recorreguts.

Analitza la branca infinita de la funció quan el quilometratge augmenta indefinidament ($x \to +\infty$). El cost de manteniment té un límit màxim o creix sense fita?

Una aplicació mòbil d'aprenentatge d'idiomes està guanyant usuaris de manera accelerada. El nombre d'usuaris actius, en milers, es modela amb la funció exponencial $U(t) = 5 \cdot 1,2^t$, on $t$ és el temps en mesos des del llançament.

a) Calcula el límit de $U(t)$ quan $t \to +\infty$ i explica quin tipus de branca infinita presenta la funció (té asímptota horitzontal en aquest extrem?).

b) Estudia què passa quan $t \to -\infty$. Té la funció alguna asímptota horitzontal en aquest sentit? Indica la seva equació.

c) Fes un esborrany a la teva llibreta de la gràfica de la funció assenyalant les branques infinites en tots dos extrems.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba les asímptotes horitzontals, si existeixen, de les funcions següents estudiant els seus límits a l'infinit:

a) $f(x) = 5^{x} + 2$

b) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 3$

Nota: Recorda estudiar tant el límit quan $x \to +\infty$ com quan $x \to -\infty$.

Associa cadascuna de les expressions de límits següents amb la característica gràfica corresponent d'una funció logarítmica $f(x) = \log_a(x)$ amb $a > 1$:

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$

2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

A) La funció presenta una branca parabòlica de creixement lent.

B) La funció té una asímptota vertical en l'eix d'ordenades.

Calcula els límits següents de funcions elementals:

a) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_{10}(x^2 + 1)$

b) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{x+2}$

c) $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\ln(x)}$

Observa la gràfica de la funció $f(x)$, que combina un comportament racional amb un d'exponencial. Les rectes discontínues són línies de referència i cada marca dels eixos equival a 1 unitat. A partir de la gràfica, identifica els valors dels límits indicats i escriu les equacions de les seves asímptotes horitzontals i verticals.

Calcula raonadament a partir de l'observació:

1. $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

2. $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

3. $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

4. Les equacions de les asímptotes horitzontals i verticals de $f(x)$, justificant-les amb els límits anteriors.

Un estudi de mercat estima que el nombre de subscriptors d'una nova plataforma de streaming, en milers de persones, segueix la funció $S(t) = \frac{120}{1 + 4 \cdot e^{-0,1t}}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament.

Determina el límit de subscriptors que tindrà la plataforma "a llarg termini", és a dir, quan $t \to +\infty$. Com s'anomena aquest comportament des del punt de vista de les branques infinites de la funció?

Estudia les asímptotes i el comportament a les branques infinites de la funció logarítmica:

$$f(x) = \ln(x^2 - 16)$$

Per a fer-ho:

1. Troba el domini de definició de la funció.

2. Calcula els límits laterals en els extrems dels intervals del domini.

3. Determina si existeix alguna asímptota horitzontal quan $x \to +\infty$.

Analitza el comportament de la funció $g(x) = 2 + \frac{\ln(x)}{x}$ quan la variable independent creix indefinidament ($x \to +\infty$).

Explica si la funció té alguna asímptota horitzontal i representa-la esquemàticament en un eix de coordenades.

Considera la funció definida a trossos:

$$h(x) = \begin{cases} 2^x & \text{si } x \le 1 \\ \log_{10}(x) + k & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. Calcula el valor de $k$ perquè la funció sigui contínua a $x = 1$.

2. Un cop trobat $k$, estudia els límits de la funció a l'infinit: $\lim_{x \to -\infty} h(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} h(x)$.

Donada la funció $f(x) = e^{1/(x-3)}$, calcula els límits laterals següents:

1. $\lim_{x \to 3^-} f(x)$

2. $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

A la vista dels resultats, indica si existeix una asímptota vertical a $x = 3$ i descriu el comportament de la funció a cada costat del punt.

En un laboratori de química, la temperatura d'una reacció (en $^\circ C$) ve donada per la funció $T(t) = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$, on $t$ és el temps en minuts. La figura mostra la gràfica de la funció durant els primers 10 minuts.

1. a) Quina és la temperatura inicial de la reacció?

1. b) A quina temperatura s'estabilitzarà la mescla si deixem passar molt de temps? Calcula $\lim_{t \to +\infty} T(t)$.

Determina totes les asímptotes de la funció:

$$f(x) = \frac{x \cdot \ln(x)}{x-1}$$

Calcula per a fer-ho els límits necessaris quan $x \to 1^+$ (extrem del domini per anul·lació del denominador) i quan $x \to +\infty$. Presenta aquesta funció alguna branca parabòlica o asímptota horitzontal?

L'impacte d'una campanya de màrqueting digital per a una nova aplicació mòbil es mesura pel nombre d'usuaris actius diaris, $U(t)$, en milers, on $t$ és el temps en dies des del llançament. El model ve donat per la funció següent:

$$U(t) = \frac{120}{2 + 8e^{-0,15t}}$$

La figura mostra la gràfica de $U(t)$ en els primers 40 dies.

Analitza el comportament de la comunitat d'usuaris a llarg termini calculant $\lim_{t \to +\infty} U(t)$ i interpreta el significat de l'asímptota horitzontal trobada. Què passaria amb el límit si l'exponent fos positiu, és a dir, si en lloc de $e^{-0,15t}$ aparegués $e^{0,15t}$? Justifica la teva resposta.

Estudia totes les branques infinites (asímptotes verticals, horitzontals i obliqües) de la funció logarítmica composta definida per:

$$f(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 9}{x + 1}\right)$$

Tingues en compte que primer has de determinar el domini de la funció, ja que l'argument del logaritme ha de ser estrictament positiu. Descriu el comportament de la funció en els extrems del seu domini mitjançant límits laterals.

En un debat de classe sobre ordres de creixement, un estudiant afirma que, com que el numerador de la funció $g(x) = \frac{x}{e^x}$ tendeix a infinit quan $x \to +\infty$, la funció $g(x)$ tampoc no pot tenir límit finit a l'infinit.

Demostra mitjançant el càlcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}$ si l'estudiant té raó o no, comparant l'ordre de creixement de la funció exponencial respecte al de la funció lineal. Presenta $g(x)$ alguna asímptota horitzontal? Indica la seva equació.

Calcula el valor del límit següent, el qual dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$ relacionada amb el nombre $e$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2\ln(x) + 5}{2\ln(x) - 1}\right)^{\ln(x)}$$

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua en tot el seu domini i presenti una asímptota horitzontal a $y = 4$ quan $x \to -\infty$:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{ax + 10}{x - 2} & \text{si } x < 0 \\ b \cdot e^x + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Explica detalladament els passos seguits, analitzant primer el límit a l'infinit i després la continuïtat en el punt de ruptura.

Donada la funció racional amb potències exponencials:

$$h(x) = \frac{3^x - 3^{-x}}{3^x + 3^{-x}}$$

Calcula les seves asímptotes horitzontals trobant els límits $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ i $\lim_{x \to -\infty} h(x)$. Vigila molt amb el comportament de $3^x$ i $3^{-x}$ depenent de si $x$ tendeix a més o menys infinit.

Un canal de continguts educatius obté uns ingressos mensuals per publicitat (en centenars d'euros) que segueixen la funció $R(x) = 50 \cdot \ln(x+1) - 0,5x$, on $x$ representa els mesos transcorreguts des del seu llançament.

1. a) Calcula $\lim_{x \to +\infty} R(x)$ comparant els ordres de magnitud del creixement logarítmic enfront del creixement lineal.
2. b) És aquest un bon model per representar els ingressos del canal a llarg termini? Justifica la teva resposta basant-te en la branca infinita obtinguda.

Analitza l'existència de límits i asímptotes verticals en la funció $f(x) = \frac{1}{\ln(x^2 - 3)}$.

Especialment, estudia què passa en els valors de $x$ que fan que el denominador sigui zero. Determina els límits laterals en aquests punts i descriu si la funció s'aproxima a $+\infty$ o $-\infty$. Hi ha intervals on la funció no estigui definida? Justifica-ho.