Exercicis: Concepte

Imagina que estàs analitzant el creixement d'un nou compte d'una xarxa social. El nombre de seguidors en milers, després de $x$ setmanes, ve donat per la funció $f(x)$. Per entendre què passa prop de la tercera setmana, hem obtingut els valors següents:

$x$	2,9	2,99	2,999	...	3,001	3,01	3,1
$f(x)$	5,81	5,98	5,998	...	6,002	6,02	6,19

Observant la taula, estima de manera intuïtiva el valor del límit següent:

$$\lim_{x \to 3} f(x)$$

Donada la gràfica següent d'una funció $f(x)$, determina el valor dels límits laterals en el punt de ruptura $x = 2$:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) Existeix el límit global $\lim_{x \to 2} f(x)$? Justifica la resposta.

Observa la gràfica de la funció $g(x)$ i analitza què passa quan la variable independent $x$ pren valors cada vegada més grans. A quin valor sembla aproximar-se la funció «a llarg termini»?

Expressa la teva conclusió utilitzant la notació de límits: $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.

Considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 5 - x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

Calcula els límits laterals a $x = 1$ substituint directament en l'expressió corresponent:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$
3. c) A la vista dels resultats, és la funció contínua a $x = 1$?

De vegades, el valor d'una funció en un punt no coincideix amb el valor al qual s'aproxima la funció prop d'aquest punt. Observa la gràfica següent i determina:

1. a) El valor de la funció en el punt: $f(3)$
2. b) El valor del límit: $\lim_{x \to 3} f(x)$

Calcula els límits següents de funcions polinòmiques i constants utilitzant les propietats bàsiques (substitució directa):

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} (3x + 4)$
3. c) $\lim_{x \to 5} (7)$

S'està estudiant la temperatura d'un component electrònic que s'escalfa quan s'encén. La temperatura $T$ (en $^\circ C$) respecte al temps $t$ (en segons) segueix la funció $T(t) = \frac{80t}{t+2}$.

Calcula el valor de la temperatura quan el temps es fa «infinit» (és a dir, la temperatura d'estabilització):

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{80t}{t+2}$$

Observa la gràfica de la funció $h(x)$. Els punts marcats corresponen a valors de $x$ cada cop més propers a $0$ per la dreta.

1. a) Descriu amb les teves paraules què els passa als valors de $h(x)$ quan $x$ s'acosta a $0$ per la dreta.

1. b) Expressa aquest resultat usant la notació de límits.

La Carla està estudiant el comportament de la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 8 & \text{si } x = 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

En un exercici en què li demanen calcular $\lim_{x \to 2} f(x)$, la Carla escriu la justificació següent a la seva llibreta:

«Calculo els límits laterals: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 + 1 = 5$. Com que tots dos límits laterals donen $5$, però el valor de la funció en el punt és $f(2) = 8$, concloc que el límit $\lim_{x \to 2} f(x)$ no existeix, ja que perquè existeixi ha de coincidir obligatòriament amb el valor de la funció en aquest punt».

1. a) Identifica amb precisió l'error conceptual comès per la Carla i explica la diferència entre l'existència del límit d'una funció en un punt i el valor que pren aquesta funció en aquest mateix punt.
2. b) Corregeix la conclusió de la Carla: determina raonadament si el límit $\lim_{x \to 2} f(x)$ existeix i, en cas afirmatiu, quin és el seu valor segons la definició de límit.

Es considera la funció racional $g(x) = \frac{3x - 6}{x^2 - 4}$, el domini de la qual no inclou el valor $x = 2$.

1. a) Abans d'operar algebraicament, estima intuïtivament a quin valor s'aproxima $g(x)$ quan $x$ s'acosta a $2$. Per a fer-ho, calcula amb l'ajuda de la calculadora els valors numèrics de $g(1,99)$ i $g(2,01)$ arrodonint a quatre xifres decimals i formula una conjectura sobre el valor del límit $\lim_{x \to 2} g(x)$.
2. b) Factoritza el numerador i el denominador per a simplificar l'expressió de $g(x)$ quan $x \neq 2$, i calcula amb rigor el límit $\lim_{x \to 2} g(x)$.
3. c) Compara la teva estimació de l'apartat a amb el resultat obtingut a l'apartat b. Raona per què és possible que el límit sigui un nombre finit real si en intentar substituir directament $x = 2$ a la funció original es produeix una divisió per zero.

Un nou videojoc d'estratègia estima que el nombre d'usuaris actius, mesurat en milers, segueix la funció $U(t) = \frac{20t + 50}{t + 1}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament.

1. a) Completa la taula de valors següent per observar la tendència del nombre d'usuaris a mesura que passen els mesos:

$t$	10	100	1.000	10.000
$U(t)$

1. b) Utilitza els resultats de la taula per estimar el valor del $\lim_{t \to +\infty} U(t)$.

1. c) Què significa el resultat obtingut en el context del problema? Arribarà el joc a quedar-se sense usuaris?

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ representada a continuació i determina, si existeixen, els valors dels límits indicats. Si algun límit no existeix, justifica breument per què basant-te en els límits laterals.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 2} f(x)$
4. d) $f(2)$

Donada la funció definida a trossos següent, determina el valor del paràmetre $k$ perquè existeixi el límit de la funció en el punt de ruptura $x = 3$.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx + 2 & \text{si } x < 3 \\ \frac{x+9}{x-1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Una atracció de fira molt popular obre les portes al públic. El nombre de persones per minut que s'acumulen a l'entrada durant els primers instants es modela mitjançant la funció $P(t) = \frac{100}{t^2 - 8t + 16}$, on $t$ és el temps en minuts.

1. a) Analitza què passa amb l'afluència de visitants quan el temps s'aproxima a $t = 4$ minuts calculant els límits laterals $\lim_{t \to 4^-} P(t)$ i $\lim_{t \to 4^+} P(t)$.

1. b) És possible que l'atracció continuï admetent visitants a aquest ritme després del minut 4? Justifica la teva resposta basant-te en el concepte de límit infinit.

Considera la funció $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

1. a) Intenta calcular $g(3)$. Què passa?

1. b) Elabora una taula de valors per a $x$ molt propers a 3 per l'esquerra ($2,9; 2,99; 2,999$) i per la dreta ($3,1; 3,01; 3,001$).

1. c) A la vista dels resultats, quin és el valor del $\lim_{x \to 3} g(x)$?

1. d) Representa gràficament la situació ressaltant què passa exactament en el punt $x = 3$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un laboratori de biologia, s'estudia la població d'una colònia de bacteris després d'aplicar un antibiòtic. La població (en milions) ve donada per $P(t) = 5 + e^{-0,2t}$, on $t$ és el temps.

1. a) Quina és la població inicial de la colònia ($t = 0$)?

1. b) Calcula el límit de la població quan el temps tendeix a infinit: $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

1. c) Dibuixa un esquema de la gràfica de la funció basant-te en els punts calculats i les seves asímptotes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es diu que el límit d'una funció en un punt és el valor al qual s'apropen les imatges, independentment de si la funció està definida o no en aquest punt. Explica raonadament si les afirmacions següents són certes o falses:

1. a) Si existeix $f(a)$, aleshores sempre existeix $\lim_{x \to a} f(x)$.
2. b) Si existeix $\lim_{x \to a} f(x) = L$ i existeix $f(a)$, aleshores necessàriament $f(a) = L$.
3. c) Perquè existeixi el límit en un punt, els límits laterals han de ser iguals i finits.

El cost total (en euros) de produir $x$ unitats d'un producte ve donat per la funció $C(x) = 15x + 2000$. La funció de cost mitjà és $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$.

1. a) Escriu l'expressió de la funció $\bar{C}(x)$.

1. b) Calcula $\lim_{x \to 0^+} \bar{C}(x)$ i interpreta el resultat. Què passa si fabriquem molt poques unitats?

1. c) Calcula $\lim_{x \to +\infty} \bar{C}(x)$. A quin valor tendeix el cost de fabricació per unitat quan la producció és massiva?

Una empresa de missatgeria ecològica de repartiment urbà amb furgonetes elèctriques a Saragossa ofereix un servei per a pimes amb una tarifa mensual. El cost total mensual en euros ve donat per una quota fixa de $150$ € per assegurança i manteniment, més $0,20$ € per cada quilòmetre recorregut. Per tant, el cost mitjà per quilòmetre (en euros per quilòmetre) quan es recorren $x$ quilòmetres en un mes es modelitza mitjançant la funció:

$$C(x) = \frac{150 + 0,20x}{x}, \quad x > 0$$

1. a) Calcula $\lim_{x \to 0^+} C(x)$ i interpreta el seu significat pràctic per a un comerciant que contracti el servei però gairebé no recorri quilòmetres en un mes. Quin element geomètric representa aquest resultat a la gràfica de $C(x)$?
2. b) Calcula $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ i interpreta el resultat econòmic: què passa amb l'impacte de la quota fixa a mesura que el quilometratge mensual és molt elevat?
3. c) Determina l'equació de l'asimptota horitzontal de la funció $C(x)$ i raona si el cost mitjà per quilòmetre podria arribar a ser en algun mes de $0,18$ € si es recorreguessin moltíssims quilòmetres.

Has de construir l'expressió analítica d'una funció definida a trossos, $f(x)$, que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. El límit per l'esquerra quan $x$ s'aproxima a $1$ ha d'existir i ser finit: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 4$.

2. La recta vertical $x = 1$ ha de ser una asimptota vertical per la dreta amb tendència a l'infinit positiu: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.

3. La recta horitzontal $y = -2$ ha de ser una asimptota horitzontal cap a l'infinit negatiu: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$.

Per aconseguir-ho:

1. a) Proposa una fórmula concreta per a cada tram de la funció $f(x)$ definint amb claredat els intervals del seu domini.
2. b) Demostra analíticament, mitjançant el càlcul dels límits corresponents, que la funció que has dissenyat satisfà amb exactitud cadascuna de les tres condicions exigides.

Utilitza la definició formal de límit d'una funció en un punt per demostrar de manera rigorosa que:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$$

Per fer-ho, donat un valor de $\epsilon > 0$, troba una expressió per a $\delta$ en funció de $\epsilon$ tal que es compleixi la implicació de la definició. Explica pas a pas el raonament algebraic realitzat.

Observa la gràfica següent que representa l'evolució dels beneficis d'una empresa emergent (startup) tecnològica (en milers d'euros) en funció del temps $t$ (en mesos). Determina raonadament, a partir de l'observació de les tendències, els valors dels límits següents i explica el seu significat en el context del problema:

1. a) $\lim_{t \to 2^{-}} f(t)$ i $\lim_{t \to 2^{+}} f(t)$
2. b) $\lim_{t \to 4} f(t)$
3. c) $\lim_{t \to +\infty} f(t)$

Calcula els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció $f(x)$ tingui límit en els punts de ruptura $x = -1$ i $x = 3$. Un cop trobats, indica si la funció és contínua en aquests punts.

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax & \text{si } x < -1 \\ b & \text{si } x = -1 \\ \frac{a - x}{2} & \text{si } -1 < x < 3 \\ \sqrt{x+1} - b & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$

En un estudi de mercat, s'ha determinat que el preu d'un article de col·leccionista (en euros) segueix la funció $P(t) = \frac{150t + 200}{t + 1}$, on $t$ és el temps en anys des del seu llançament.

1. a) Analitza la tendència del preu a molt llarg termini calculant el límit quan $t \to +\infty$.
2. b) Si el model canviés després d'una crisi el $t=10$ a $P(t) = \frac{k \cdot t^2}{2t^2 - 50}$, quin valor hauria de tenir $k$ perquè el preu no experimentés un salt brusc (és a dir, perquè existís el límit a $t=10$)?

Considera les funcions $f(x) = \frac{1}{x-3}$ i $g(x) = x^2 - 9$. Estudia el comportament del límit de la funció composta $(f \circ g)(x)$ quan $x$ tendeix a $2$ i quan $x$ tendeix a $\sqrt{12}$.

Justifica si els límits són finits o infinits analitzant les tendències laterals en cada cas.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - kx + 6}{x^2 - 9}$:

1. a) Troba el valor de $k$ perquè la funció presenti una discontinuïtat evitable a $x = 3$.
2. b) Per a aquest valor de $k$, calcula el valor del límit $\lim_{x \to 3} f(x)$.
3. c) Què passa amb el límit de la funció a $x = -3$ per a aquest mateix valor de $k$? Justifica l'existència d'una asímptota vertical calculant els límits laterals.

Un biòleg observa que la població d'una colònia d'insectes en un laboratori (en centenars d'individus) es comporta segons la funció $N(t)$, on $t$ és el temps en setmanes:

$$N(t) = \frac{2t^2 - 8}{t^2 + t - 6}$$

1. a) El biòleg nota que passa una cosa estranya prop de la segona setmana. Calcula $\lim_{t \to 2} N(t)$ i interpreta si la població desapareix, s'estabilitza o creix indefinidament en aquest instant.
2. b) Determina la població inicial de la colònia ($t=0$) i la població a la qual tendirà la colònia si les condicions es mantenen constants indefinidament.

Dibuixa un esquema gràfic aproximat d'una funció $f(x)$ que compleixi simultàniament totes les condicions de límits següents. Posteriorment, proposa una possible expressió algebraica (a trossos o racional) per a aquesta funció.

1. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$

2. $\lim_{x \to -2^{-}} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to -2^{+}} f(x) = -\infty$

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, però $f(0) = 1$

4. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (branca parabòlica)

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol estudiar l'existència i, si escau, el valor del límit:

$$\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x^2 - 9}$$

Tres estudiants de 1r de Batxillerat proposen estratègies diferents per abordar-lo:

• Mètode d'en Marcos (numèric): Proposa substituir amb la calculadora un valor molt proper a $3$, per exemple $x = 2,999$, calcular el resultat obtingut i afirmar que aquest resultat coincideix amb el límit buscat.

• Mètode de la Laura (substitució directa): Proposa substituir directament $x = 3$, obtenint $\frac{|0|}{0} = \frac{0}{0}$, i conclou immediatament que el límit no existeix pel fet de tractar-se d'una indeterminació que no té valor numèric.

• Mètode de la Sara (límits laterals): Proposa desglossar la funció eliminant el valor absolut segons la definició de $|x - 3|$ (per a $x < 3$ i per a $x > 3$), simplificar la fracció algebraica resultant en cada tram i calcular per separat els límits laterals $\lim_{x \to 3^-}$ i $\lim_{x \to 3^+}$.

1. a) Avalua críticament el mètode d'en Marcos: per què aproximar-se a $3$ utilitzant únicament valors per l'esquerra pot induir a un error greu en aquest cas particular?
2. b) Avalua críticament el mètode de la Laura: per què l'aparició de l'expressió $\frac{0}{0}$ no permet descartar l'existència del límit?
3. c) Aplica el mètode de la Sara: calcula pas a pas tots dos límits laterals i dedueix, justificant-ho en la definició formal de límit en un punt, si $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x^2 - 9}$ existeix o no.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) fa el seguiment d'un programa pilot de digitalització en una comarca rural d'Espanya. La proporció estimada de persones grans connectades a internet (en percentatge sobre el total de persones grans d'aquesta comarca), després de $t$ mesos des de l'inici del pla, ve descrita per la funció:

$$P(t) = \begin{cases} \frac{k \cdot t^2 + 10t}{t + 2} & \text{si } 0 \le t < 4 \\[2mm] \frac{60t - 40}{t + 1} & \text{si } t > 4 \end{cases}$$

on $k$ és un paràmetre real que depèn de l'assignació inicial de monitors i recursos tecnològics.

1. a) Per evitar que el model presenti un salt abrupte i incoherent en complir-se el quart mes, s'exigeix que existeixi el límit $\lim_{t \to 4} P(t)$. Calcula el valor que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè això passi, justificant detalladament el teu procediment mitjançant els límits laterals.
2. b) Imagina que l'organisme regulador fixa que la dada censal puntual recollida exactament en el quart mes és $P(4) = 50\,\%$. Amb el valor de $k$ obtingut a l'apartat a, continua existint el límit $\lim_{t \to 4} P(t)$? Raona la teva resposta explicant per què l'existència del límit a $t = a$ és conceptualment independent del valor puntual $P(a)$ o del fet que aquest ni tan sols estigui definit.
3. c) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$, determina la recta asimptota horitzontal i interpreta el resultat en termes sociològics: arribarà a estar connectada la totalitat de la població gran de la comarca segons les previsions a llarg termini d'aquest model?