Concepto de límite

Imagina que estás analizando el crecimiento de una nueva cuenta de una red social. El número de seguidores en miles, tras $x$ semanas, viene dado por la función $f(x)$. Para entender qué ocurre cerca de la tercera semana, hemos obtenido los siguientes valores:

$x$	2,9	2,99	2,999	...	3,001	3,01	3,1
$f(x)$	5,81	5,98	5,998	...	6,002	6,02	6,19

Observando la tabla, estima de forma intuitiva el valor del siguiente límite:

$$\lim_{x \to 3} f(x)$$

Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas y constantes utilizando las propiedades básicas (sustitución directa):

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} (3x + 4)$
3. c) $\lim_{x \to 5} (7)$

Dada la siguiente gráfica de una función $f(x)$, determina el valor de los límites laterales en el punto de ruptura $x = 2$:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) ¿Existe el límite global $\lim_{x \to 2} f(x)$? Justifica tu respuesta.

Considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 5 - x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

Calcula los límites laterales en $x = 1$ sustituyendo directamente en la expresión correspondiente:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$
3. c) A la vista de los resultados, ¿es la función continua en $x = 1$?

Dada la siguiente función definida a trozos, determina el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la función en el punto de ruptura $x = 3$.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx + 2 & \text{si } x < 3 \\ \frac{x+9}{x-1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

En ocasiones, el valor de una función en un punto no coincide con el valor al que se aproxima la función cerca de ese punto. Observa la siguiente gráfica y determina:

1. a) El valor de la función en el punto: $f(3)$
2. b) El valor del límite: $\lim_{x \to 3} f(x)$

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación y determina, si existen, los valores de los límites indicados. Si algún límite no existe, justifica brevemente por qué basándote en los límites laterales.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 2} f(x)$
4. d) $f(2)$

Observa la gráfica de la función $h(x)$ y describe el comportamiento de la función cuando $x$ se acerca a $x = 0$ por la derecha. ¿Cómo expresarías este resultado usando la notación de límites?

Una atracción de feria muy popular abre sus puertas al público. El número de personas por minuto que se acumulan en la entrada durante los primeros instantes se modela mediante la función $P(t) = \frac{100}{t^2 - 8t + 16}$, donde $t$ es el tiempo en minutos.

1. a) Analiza qué sucede con la afluencia de visitantes cuando el tiempo se aproxima a $t = 4$ minutos calculando los límites laterales $\lim_{t \to 4^-} P(t)$ y $\lim_{t \to 4^+} P(t)$.

1. b) ¿Es posible que la atracción siga admitiendo visitantes a ese ritmo después del minuto 4? Justifica tu respuesta basándote en el concepto de límite infinito.

Observa la gráfica de la función $g(x)$ y analiza qué ocurre cuando la variable independiente $x$ toma valores cada vez más grandes. ¿A qué valor parece aproximarse la función "a largo plazo"?

Expresa tu conclusión utilizando la notación de límites: $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.

Se está estudiando la temperatura de un componente electrónico que se calienta al encenderse. La temperatura $T$ (en $^\circ C$) respecto al tiempo $t$ (en segundos) sigue la función $T(t) = \frac{80t}{t+2}$.

Calcula el valor de la temperatura cuando el tiempo se hace "infinito" (es decir, la temperatura de estabilización):

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{80t}{t+2}$$

Un nuevo videojuego de estrategia estima que el número de usuarios activos, medido en miles, sigue la función $U(t) = \frac{20t + 50}{t + 1}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento.

1. a) Completa la siguiente tabla de valores para observar la tendencia del número de usuarios a medida que pasan los meses:

$t$	10	100	1.000	10.000
$U(t)$

1. b) Utiliza los resultados de la tabla para estimar el valor del $\lim_{t \to +\infty} U(t)$.

1. c) ¿Qué significa el resultado obtenido en el contexto del problema? ¿Llegará el juego a quedarse sin usuarios?