Exercicis: Continuïtat

Observa la gràfica següent de la funció $f(x)$ i determina el valor dels límits indicats. Si el límit no existeix o és infinit, especifica-ho.

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)$
4. d) $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)$

Calcula els límits següents de funcions polinòmiques i racionals mitjançant substitució directa:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 - 5x + 6)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{3x + 1}{x - 2}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 2}{x + 4}$

Un estudi sobre la temperatura d'un hivernacle automatitzat indica que aquesta segueix la funció $T(t) = \frac{20t + 100}{t + 2}$, on $t$ és el temps en hores des de l'obertura i $T$ la temperatura en °C.

1. a) A quina temperatura tendeix l'hivernacle quan passa molt de temps ($t \to +\infty$)? Calcula el límit.

1. b) Il·lustra el concepte amb un esquema de la gràfica de $T(t)$ per a $t \geq 0$, on es vegi l'asímptota horitzontal. Calcula $T(0)$ i algun valor més per situar bé la corba.

Donada la funció $f(x) = \frac{x + 3}{x - 4}$, calcula els límits laterals quan $x$ s'aproxima a $4$ per determinar si existeix el límit en aquest punt:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{x + 3}{x - 4}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \frac{x + 3}{x - 4}$

Analitza la continuïtat de la funció definida a trossos següent en el punt de ruptura $x = 2$. Per fer-ho, comprova si es compleixen les tres condicions de continuïtat:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 7 - x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Associa cadascuna de les situacions gràfiques següents amb el seu tipus de discontinuïtat corresponent: evitable, de salt finit o de salt infinit.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la funció $g(x)$ sigui contínua en tot el conjunt dels nombres reals:

$g(x) = \begin{cases} kx^2 - 1 & \text{si } x \leq 3 \\ 4x + 5 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una empresa de missatgeria cobra $5$ € per enviaments de fins a $2$ kg de pes (inclosos els $2$ kg). Per a pesos més grans de $2$ kg, la tarifa es regeix per la funció $P(w) = 2w + 1$, on $w$ és el pes en kg i $P(w)$ el cost en euros.

1. a) Expressa la funció de cost $C(w)$, per a $w > 0$, de forma definida a trossos.

1. b) És la funció de cost contínua en el punt $w = 2$? Justifica la teva resposta calculant els límits laterals.

En Lucas està estudiant la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ en el punt $x = 3$. Al seu examen escriu el següent:

«Factoritzo i simplifico la fracció: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$. Com que en substituir $x=3$ obtinc $3+3=6$, la funció és contínua en $x=3$ i el seu valor és $f(3)=6$.»

1. a) Explica amb rigor matemàtic quin és l'error conceptual que ha comès en Lucas respecte a la definició formal de continuïtat.
2. b) Classifica el tipus de discontinuïtat que presenta realment $f(x)$ en $x = 3$.
3. c) Explica com es podria «reparar» aquesta discontinuïtat definint una funció a trossos perquè sigui contínua a tot $\mathbb{R}$.

En un estudi econòmic sobre l'elasticitat de la demanda d'un producte tecnològic, un analista modelitza la variació del benefici marginal mitjançant la funció $I(x) = \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$, on $x$ representa la desviació de la despesa publicitària en milers d'euros respecte al pressupost base ($x=0$).

1. a) Estima: Abans d'operar algebraicament, aproxima el valor de $\lim_{x \to 0} I(x)$ calculant el valor numèric de $I(x)$ per a $x = -0,1$; $x = -0,01$; $x = 0,01$ i $x = 0,1$. A quin valor sembla aproximar-se la funció?
2. b) Comprova: Calcula analíticament el valor exacte de $\lim_{x \to 0} I(x)$ multiplicant per l'expressió conjugada i comprova si la teva estimació inicial era correcta.
3. c) Sabent que $I(0)$ no està definit originalment a la fórmula, classifica la discontinuïtat que presenta $I(x)$ en $x = 0$ i indica quin valor exacte s'hauria d'assignar a $I(0)$ perquè el model sigui continu.

El cost de manteniment anual d'un servidor que allotja una xarxa social depèn del nombre de terabytes ($x$) de dades processades, segons la funció:

$$C(x) = \frac{12x^2 + 500x + 1000}{0,5x^2 + 10x}$$

On $C(x)$ és el cost mitjà anual de manteniment per terabyte, expressat en euros. Els enginyers volen saber quin serà el cost mitjà de manteniment per terabyte quan el volum de dades processades sigui extremadament gran. Calcula el límit de la funció quan $x \to +\infty$ i interpreta el resultat en el context del problema.

Una entitat financera ofereix un compte d'estalvi la rendibilitat del qual ve donada per l'expressió $M(n) = \left(1 + \frac{0,04}{n}\right)^{2n}$, on $n$ representa el nombre de vegades que es liquiden els interessos a l'any. Un estudiant d'economia vol investigar què passa amb el capital final si la capitalització fos instantània, és a dir, si el nombre de liquidacions tendís a infinit.

Calcula el valor de $\lim_{n \to \infty} M(n)$ utilitzant la relació amb el nombre $e$.

S'està dissenyant el perfil d'una rampa per a una pista d'skate. El disseny combina una secció corba (parabòlica) amb una secció recta per assegurar una transició suau. L'altura $h$ en metres respecte de la distància horitzontal $x$ ve donada per:

$$h(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{4} + 1 & \text{si } x \le 2 \\ ax + b & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Sabent que perquè la rampa no sigui perillosa la funció ha de ser contínua a $x = 2$ i que el pendent de la recta ha de ser $1$, determina els valors de $a$ i $b$.

Donada la gràfica següent d'una funció $f(x)$, analitza el seu comportament en els punts indicats calculant els seus límits laterals i determinant si existeix el límit global. Classifica també el tipus de discontinuïtat que presenta en cada cas:

1. A $x = -2$

2. A $x = 1$

3. A $x = 3$

Un coet de focs artificials puja durant les festes del poble. La seva altura en metres $H$ després de $t$ segons de vol ve definida per la funció:

$$H(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$$

1. Calcula el valor de l'altura quan $t$ s'aproxima a $4$ segons.

2. Està definida l'altura en l'instant exacte $t = 4$? Justifica si la funció és contínua en aquest punt.

3. Si no és contínua, redefineix la funció perquè el vol sigui «suau» (continu) en aquest instant.

Calcula el valor dels límits següents resolent les indeterminacions que apareguin:

1. a) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$

1. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$

En un estudi sobre el creixement d'una població de linxs a Doñana, els biòlegs han modelitzat el nombre d'exemplars mitjançant la funció:

$$P(t) = \frac{250t + 120}{0,5t + 2}$$

on $t$ és el temps en anys des de l'inici de l'estudi.

1. Quants linxs hi havia al començament de l'estudi ($t=0$)?

2. A quin valor tendeix la població de linxs a llarg termini? Calcula el límit quan $t \to +\infty$.

3. Troba les equacions de les asímptotes d'aquesta funció.

Determina el valor dels paràmetres $k$ i $m$ perquè la funció següent sigui contínua en tot el seu domini ($\mathbb{R}$):

$$f(x) = \begin{cases} kx - 2 & \text{si } x < -1 \\ x^2 + x & \text{si } -1 \le x < 2 \\ m & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

Un cop trobats els valors, explica quines condicions s'han hagut de complir en els punts de ruptura $x = -1$ i $x = 2$ per garantir la continuïtat.

Per fomentar l'estalvi d'aigua en un municipi, l'empresa municipal estableix una tarifa bimestral en funció del volum consumit $x$ (en $\text{m}^3$). L'import de la factura $C(x)$ (en euros) ve donat per la següent funció a trossos:

$$C(x) = \begin{cases} 15 + 0,80x & \text{si } 0 \le x \le 20 \\ a + 1,40(x - 20) & \text{si } 20 < x \le 50 \\ b + 2,10(x - 50) & \text{si } x > 50 \end{cases}$$

1. a) La normativa municipal exigeix que la factura sigui una funció contínua del consum per no perjudicar arbitràriament els usuaris en els punts de canvi de tram. Determina els valors d'$a$ i $b$ perquè $C(x)$ sigui contínua en tot el seu domini ($x \ge 0$).
2. b) Interpreta el significat econòmic de les constants $a$ i $b$ obtingudes dins del context de la tarifa.
3. c) Si l'empresa hagués fixat per error $a = 35$, calcula els límits laterals en $x = 20$, classifica la discontinuïtat resultant i indica quants euros de més pagaria injustament un usuari que consumís $20,01\text{ m}^3$ enfront d'un que en consumís exactament $20\text{ m}^3$.

Dissenya l'expressió algebraica d'una funció racional de la forma $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (on $P(x)$ i $Q(x)$ siguin polinomis de grau 2 amb coeficients reals) que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. Presenta una discontinuïtat evitable en el punt $x = 1$, i es compleix que $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$.

2. Presenta una discontinuïtat de salt infinit (asimptota vertical) a la recta $x = -2$.

3. Té una asímptota horitzontal a la recta $y = 1$ quan $x \to +\infty$.

Justifica detalladament com determines les arrels i els coeficients de $P(x)$ i de $Q(x)$ a partir de cadascuna de les condicions donades, escriu la funció simplificada i comprova analíticament que es verifiquen els tres requisits mitjançant el càlcul dels límits corresponents.

S'està estudiant l'evolució dels beneficis d'una fintech durant els seus primers anys d'existència. La funció que modela el benefici acumulat $B(t)$ (en milions d'euros) en funció del temps $t$ (en anys) ve donada per l'expressió següent:

$$B(t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{at^2 + bt}{t^2 + 1} & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ \displaystyle \frac{t-2}{\sqrt{t+7}-3} & \text{si } t > 2 \end{cases}$$

Calcula els valors de $a$ i $b$ perquè el benefici sigui una funció contínua a $t = 2$, sabent que en el primer any ($t = 1$) el benefici de l'empresa va ser d'exactament $2$ milions d'euros.

Donada la funció $f(x) = \displaystyle \frac{2x^3 - 5x^2 - 4x + 3}{x^2 - x - 6}$, realitza un estudi exhaustiu de les seves asímptotes. Per fer-ho has de:

1. Trobar les asímptotes verticals i estudiar el comportament de la funció a banda i banda d'aquestes mitjançant límits laterals.

2. Comprovar si existeix asímptota horitzontal o obliqua.

3. Determinar la posició relativa de la corba respecte a l'asímptota no vertical trobada.

Un analista financer utilitza un model matemàtic per predir el valor d'una cartera d'inversió agressiva. La rendibilitat $R(x)$ depèn d'un índex de mercat $x$, però el model presenta una discontinuïtat en un valor crític:

$$R(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{|x-3|}{x-3} + kx & \text{si } x < 3 \\ \displaystyle \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

1. Calcula el valor de $k$ perquè existeixi el límit de la funció quan $x$ tendeix a $3$.

2. Un cop trobat $k$, és la funció contínua a $x = 3$? Justifica la teva resposta analitzant els tipus de discontinuïtat.

En un laboratori de sociologia digital, s'ha observat que el nombre d'usuaris (en milers) que comparteixen una notícia falsa segueix el model $U(t) = \left( \displaystyle \frac{3t^2 + 5}{3t^2 + 2} \right)^{2t^2+1}$, on $t$ és el temps en hores des de la publicació.

Determina el nombre d'usuaris al qual tendirà la notícia «a llarg termini» (quan el temps tendeix a infinit). Explica raonadament el tipus d'indeterminació que apareix i el procés per resoldre-la.

Troba el valor dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua en tot el seu domini:

$$f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & \text{si } x < 1 \\ a \cdot \ln(x) + b & \text{si } 1 \le x \le e \\ \displaystyle \frac{x-e}{x^2 - e^2} & \text{si } x > e \end{cases}$$

Nota: Recorda que $\ln(e) = 1$ i para atenció a les indeterminacions en els punts de ruptura.

Considera la funció racional $g(x) = \displaystyle \frac{x^2 + mx + 1}{x^2 - 4}$.

1. Per a quins valors de $m$ la funció té una discontinuïtat evitable a $x = 2$ o $x = -2$?

2. Per a $m = -2$, classifica totes les discontinuïtats de la funció i troba les seves asímptotes.

3. Dibuixa un esquema de les branques infinites per al cas $m = -2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un fons d'inversió garanteix unes despeses de gestió mensuals calculades per la funció $G(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, on $x$ representa el capital invertit en milers d'euros. La gràfica de la funció és la següent:

1. a) Calcula el límit de les despeses quan la inversió $x$ creix indefinidament, és a dir, $\lim_{x\to+\infty} G(x)$. Tingues en compte que apareix una indeterminació $\infty-\infty$.

1. b) Si un client inverteix una quantitat molt petita (tendint a zero per la dreta), a quin valor tendeixen les seves despeses de gestió? Calcula $\lim_{x\to 0^+} G(x)$.

1. c) Comprova que els teus resultats són coherents amb la gràfica i interpreta el resultat de l'apartat a) des del punt de vista de l'eficiència de la inversió per a grans capitals.

Donada la funció $h(x) = \displaystyle \frac{x^2 - kx + 4}{x^3 - 4x}$, determina els possibles valors de $k$ sabent que la funció presenta una discontinuïtat evitable. Per a cada valor de $k$ obtingut:

1. Identifica el punt on la discontinuïtat és evitable.

2. Calcula els límits laterals en els altres punts on la funció no és contínua.

3. Determina totes les asímptotes de la funció resultant.

Es vol estudiar el valor del paràmetre $b$ que garanteix la continuïtat en $x = 0$ de la funció:

$$f(x) = \begin{cases} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}} & \text{si } x > 0 \\ a \cdot x + b & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Per calcular el límit lateral per la dreta $\lim_{x \to 0^+} (1+3x)^{\frac{2}{x}}$, tres estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode 1 (Sofía): Manipula algebraicament la base i l'exponent per aplicar directament la definició clàssica del nombre $e$, transformant l'expressió en $\left[(1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right]^6$.

• Mètode 2 (Marcos): Aplica la fórmula general de les indeterminacions de tipus $1^\infty$: $\lim g(x)^{h(x)} = e^L$, on $L = \lim_{x \to 0^+} h(x) \cdot (g(x) - 1)$.

• Mètode 3 (Elena): Substitueix $x$ per valors molt petits decreixents com $x = 0,001$ i $x = 0,0001$ amb la calculadora i arrodoneix el resultat numèric.

1. a) Avalua la validesa formal dels tres mètodes. Explica per què el mètode de l'Elena no constitueix una demostració matemàtica vàlida de continuïtat tot i donar una aproximació intuïtiva.
2. b) Compara els mètodes de la Sofía i d'en Marcos: quin resulta més directe en aquest exercici concret i quin presenta menys risc d'error si la base fos una fracció complexa com $\frac{2x+3}{x+3}$? Justifica la teva resposta.
3. c) Tria un dels dos mètodes rigorosos, calcula amb detall el límit lateral per la dreta i dedueix el valor exacte de $b$ perquè $f(x)$ sigui contínua en $x = 0$. Influeix el valor del paràmetre $a$ en la continuïtat puntual en $x = 0$? Raona per què.

En el disseny de l'impost sobre la renda d'una comunitat autònoma es discuteixen dues propostes per calcular la quota tributària $C(x)$ (en milers d'euros) a partir de la base liquidable $x$ (en milers d'euros), amb un canvi de tipus impositiu en superar els $20$ mil euros ($15\,\%$ en el primer tram i $30\,\%$ a partir d'aquí):

• Proposta A (tipus únic aplicat al total segons el tram assolit):

$$C_A(x) = \begin{cases} 0,15x & \text{si } 0 \le x \le 20 \\ 0,30x & \text{si } x > 20 \end{cases}$$

• Proposta B (trams marginals progressius):

$$C_B(x) = \begin{cases} 0,15x & \text{si } 0 \le x \le 20 \\ 0,15 \cdot 20 + 0,30(x - 20) & \text{si } x > 20 \end{cases}$$

1. a) Estudia analíticament la continuïtat de $C_A(x)$ i de $C_B(x)$ en el punt crític $x = 20$. Si alguna presenta discontinuïtat, classifica-la i calcula la magnitud del salt.
2. b) Es defineix el sou net disponible del contribuent després de pagar l'impost com $S(x) = x - C(x)$. Escriu l'expressió analítica a trossos d'$S_A(x)$ i d'$S_B(x)$, i analitza la continuïtat de totes dues en $x = 20$.
3. c) Calcula el sou net que li queda a un contribuent amb una base de $20$ mil euros i a un altre amb una base de $20,01$ mil euros (tot just deu euros més d'ingressos bruts) sota ambdós sistemes. Utilitza els conceptes de límit i continuïtat per explicar quina anomalia econòmica genera la Proposta A (coneguda en economia com a «error de salt») i per què la continuïtat matemàtica de la Proposta B és imprescindible per garantir la justícia fiscal.