Continuidad

Analiza la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto de ruptura $x = 2$. Para ello, comprueba si se cumplen las tres condiciones de continuidad:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 7 - x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Asocia cada una de las siguientes situaciones gráficas con su tipo de discontinuidad correspondiente: evitable, de salto finito o de salto infinito.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la función $g(x)$ sea continua en todo el conjunto de los números reales:

$g(x) = \begin{cases} kx^2 - 1 & \text{si } x \leq 3 \\ 4x + 5 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una empresa de mensajería cobra $5$ € por envíos de hasta $2$ kg de peso. A partir de $2$ kg, la tarifa cambia y se rige por la función $P(w) = 2w + 1$, donde $w$ es el peso en kg.

1. a) Expresa la función de coste $C(w)$ de forma definida a trozos.
2. b) ¿Es la función de coste continua en el punto $w = 2$? Justifica tu respuesta calculando los límites laterales.

Se está diseñando el perfil de una rampa para una pista de skate. El diseño combina una sección curva (parabólica) con una sección recta para asegurar una transición suave. La altura $h$ en metros respecto a la distancia horizontal $x$ viene dada por:

$$h(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{4} + 1 & \text{si } x \le 2 \\ ax + b & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Sabiendo que para que la rampa no sea peligrosa la función debe ser continua en $x = 2$ y que la pendiente de la recta debe ser $1$, determina los valores de $a$ y $b$.

Una entidad financiera ofrece una cuenta de ahorro cuya rentabilidad viene dada por la expresión $M(n) = \left(1 + \frac{0,04}{n}\right)^{2n}$, donde $n$ representa el número de veces que se liquidan los intereses al año. Un estudiante de economía quiere investigar qué ocurre con el capital final si la capitalización fuera instantánea, es decir, si el número de liquidaciones tendiera a infinito.

Calcula el valor de $\lim_{n \to \infty} M(n)$ utilizando la relación con el número $e$.

El coste de mantenimiento anual de un servidor que aloja una red social depende del número de terabytes ($x$) de datos procesados, según la función:

$$C(x) = \frac{12x^2 + 500x + 1000}{0,5x^2 + 10x}$$

Donde $C(x)$ se expresa en euros. Los ingenieros quieren saber cuál será el coste medio de mantenimiento por terabyte cuando el volumen de datos procesados sea extremadamente grande. Calcula el límite de la función cuando $x \to +\infty$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.

Un analista financiero utiliza un modelo matemático para predecir el valor de una cartera de inversión agresiva. La rentabilidad $R(x)$ depende de un índice de mercado $x$, pero el modelo presenta una discontinuidad en un valor crítico:

$$R(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{|x-3|}{x-3} + kx & \text{si } x < 3 \\ \displaystyle \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

1. Calcula el valor de $k$ para que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $3$.

2. Una vez hallado $k$, ¿es la función continua en $x = 3$? Justifica tu respuesta analizando los tipos de discontinuidad.

Considera la función racional $g(x) = \displaystyle \frac{x^2 + mx + 1}{x^2 - 4}$.

1. ¿Para qué valores de $m$ la función tiene una discontinuidad evitable en $x = 2$ o $x = -2$?

2. Para $m = -2$, clasifica todas las discontinuidades de la función y halla sus asíntotas.

3. Dibuja un esquema de las ramas infinitas para el caso $m = -2$.