Exercicis: Funció lineal; inversa; arrel; a trossos; valor absolut

Una plataforma de streaming de videojocs ofereix una subscripció mensual que consisteix en una quota fixa de $12$ € al mes més un cost addicional de $0,50$ € per cada hora de joc al "núvol".

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la funció $f(x)$ que relaciona el cost mensual amb el nombre d'hores jugades $x$.

1. b) Indica quina és el pendent ($m$) i l'ordenada a l'origen ($n$) d'aquesta funció.

1. c) Quant pagarà un estudiant que hagi jugat $20$ hores en un mes?

Calcula la funció inversa de la funció lineal següent, que representa la conversió d'una moneda virtual d'un joc a euros:

$f(x) = \dfrac{x - 100}{50}$

Segueix els passos apresos a classe:

1. Substitueix $f(x)$ per $y$.

2. Aïlla la variable $x$ en funció de $y$.

3. Intercanvia les variables per obtenir $f^{-1}(x)$.

El disseny d'una nova rampa per a un parc de skate segueix la forma d'una funció arrel quadrada. Perquè l'estructura sigui estable, l'enginyer ha de calcular-ne el domini de definició.

Troba el domini de la funció:

$f(x) = \sqrt{2x - 8}$

Recorda que per a les funcions amb arrels d'índex parell, el radicand ha de ser major o igual a zero.

Donada la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$, fes les tasques següents:

1. a) Completa la taula de valors per a $x = \{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.
2. b) Indica quines són les asímptotes de la funció.
3. c) Explica raonadament per què el valor $x = 0$ no pertany al domini d'aquesta funció.

Un jove emprenedor ven samarretes personalitzades per internet. Ha decidit aplicar un descompte per volum de compra, definint el preu total mitjançant la funció a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} 15x & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 12x + 15 & \text{si } x > 5 \end{cases}$

On $x$ és el nombre de samarretes comprades.

1. a) Quant costarà comprar $4$ samarretes?
2. b) Quin és el preu d'una comanda de $10$ samarretes?
3. c) És la funció contínua en el punt de ruptura $x = 5$? Justifica la teva resposta calculant el valor de la funció en aquest punt per tots dos trams.

Representa gràficament la funció de valor absolut $f(x) = |x + 2|$.

Per a això:

1. Identifica el vèrtex de la funció (el valor de $x$ que fa que l'interior del valor absolut sigui zero).

2. Crea una taula de valors amb dos punts a l'esquerra i dos a la dreta del vèrtex.

3. Dibuixa la gràfica resultant en uns eixos cartesians, marcant el vèrtex i els punts de la taula.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donades les funcions $f(x) = 2x - 3$ i $g(x) = x^2 + 1$, calcula les composicions de funcions següents:

1. a) $(g \circ f)(x)$ [Recorda que això és $g(f(x))$]
2. b) $(f \circ g)(x)$ [Recorda que això és $f(g(x))$]
3. c) Avalua el resultat de $(g \circ f)(2)$.

Observa la gràfica següent, que mostra la relació entre la temperatura d'un hivernacle i l'hora del dia.

1. a) Determina el domini i el recorregut de la funció basant-te en la imatge.
2. b) Indica els intervals de creixement i decreixement.
3. c) A quina hora s'assoleix la temperatura màxima i quin és aquest valor?

Mateo ha de calcular la funció inversa de $f(x) = \dfrac{4x - 6}{5}$. En el seu examen escriu:

«Com que la funció inversa és l'operació contrària, n'hi ha prou amb invertir la fracció: $f^{-1}(x) = \dfrac{5}{4x - 6}$. A més, com que el denominador no es pot anul·lar, el seu domini són tots els reals tret de $x = 1,5$».

1. a) Explica raonadament quina confusió conceptual té Mateo entre el concepte de recíproc o invers multiplicatiu d'una expressió, $\dfrac{1}{f(x)}$, i el de funció inversa respecte a la composició, $f^{-1}(x)$.
2. b) Demostra numèricament que la fórmula de Mateo és errònia calculant la imatge $f(4)$ i comprovant que en aplicar la seva suposada inversa al resultat obtingut no es recupera el $4$ inicial.
3. c) Obtén pas a pas l'expressió correcta de $f^{-1}(x)$ aïllant la variable adequadament i indica el seu domini.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) utilitza a la troposfera un model lineal per estimar la temperatura exterior $T$ (en $^\circ\text{C}$) en funció de l'altitud $h$ (en metres sobre el nivell del mar). En un dia d'hivern a la Sierra de Guadarrama, la temperatura registrada a nivell de la plana ($0\text{ m}$) és d'$11\ ^\circ\text{C}$ i descendeix a raó de $0,65\ ^\circ\text{C}$ per cada $100\text{ m}$ d'ascens vertical.

1. a) Escriu la funció lineal $T(h)$ identificant clarament el pendent $m$ (en $^\circ\text{C}/\text{m}$) i l'ordenada a l'origen $n$.
2. b) Abans de realitzar el càlcul numèric exacte, estima raonadament si al cim de Peñalara ($2428\text{ m}$) la temperatura estarà per sobre o per sota de $0\ ^\circ\text{C}$ (arrodoneix mentalment l'altitud a un valor proper senzill).
3. c) Calcula el valor exacte de $T(2428)$ mitjançant la funció i contrasta el resultat amb la teva estimació prèvia.

Un servei municipal de lloguer de patinets elèctrics vol modelar els seus costos. El cost total diari d'operació $C(x)$ (en euros) depèn dels quilòmetres recorreguts en conjunt per la flota $x$ i segueix una funció lineal. Se sap que un dia que els patinets van recórrer $20$ km el cost va ser de $15$ €, i un altre dia amb $50$ km recorreguts el cost va ascendir a $30$ €. La figura recull aquestes dues dades.

1. a) Determina l'expressió analítica de la funció $C(x)$.
2. b) Identifica i explica el significat del pendent i de l'ordenada a l'origen en el context del problema.
3. c) Si el pressupost màxim diari és de $50$ €, quants quilòmetres poden recórrer com a màxim?

L'ajuntament d'una localitat ha establert una nova tarifa per al consum d'aigua orientada a l'estalvi. El cost mensual $f(x)$ en euros per $x$ metres cúbics consumits es defineix mitjançant la funció a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} 0,8x + 12 & \text{si } 0 \leq x \le 15 \\ 1,2x + k & \text{si } x > 15 \end{cases}$$

1. a) Troba el valor de $k$ perquè la tarifa sigui contínua en el punt de canvi de tram (perquè no hi hagi salts bruscos a la factura).
2. b) Representa gràficament la funció resultant.
3. c) Quant pagarà una família que consumeix $22$ $m^3$ al mes?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{2x - 5}{x - 3}$:

1. a) Calcula el seu domini de definició.
2. b) Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades.
3. c) Determina la funció inversa $f^{-1}(x)$.
4. d) Comprova que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Un dron de vigilància forestal analitza el terreny seguint una trajectòria l'altura de la qual respecte al sòl ve donada per la funció $h(x) = \sqrt{2x + 8}$, on $x$ és la distància horitzontal des de la base d'operacions, en quilòmetres, i $h(x)$ és l'altura, en hectòmetres.

1. a) Determina el domini de definició de la funció en aquest context (tingues en compte quins valors de $x$ tenen sentit com a distància).

1. b) Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de l'altura en l'interval $[0, 4]$.

1. c) A quina distància de la base el dron assoleix una altura de $4$ hectòmetres?

Representa gràficament la funció $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Per a fer-ho, segueix aquests passos:

1. a) Representa la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$ trobant el seu vèrtex i punts de tall amb l'eix $OX$.
2. b) Aplica la definició de valor absolut per expressar $f(x)$ com una funció definida a trossos.
3. c) Indica els intervals on la funció és creixent i decreixent.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un laboratori de química, la concentració d'un reactiu en una solució (en mg/L) en funció del temps $t$ (en minuts) ve donada per la funció de proporcionalitat inversa:

$$C(t) = \dfrac{40}{t + 2}$$

1. a) Quina és la concentració en l'instant inicial $t=0$?
2. b) Representa la funció per a valors de $t \ge 0$.
3. c) És possible que la concentració arribi a ser de $0$ mg/L? Justifica la teva resposta analitzant l'asímptota horitzontal de la funció.
4. d) En quin moment la concentració és d'exactament $5$ mg/L?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula el domini de les funcions següents i classifica els seus possibles punts de discontinuïtat:

1. a) $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$

1. b) $h(x) = \sqrt{x^2 - 9}$

En cada cas, justifica les teves respostes: planteja quina condició s'ha de complir perquè la funció estigui definida, factoritza quan calgui i, per a cada punt de discontinuïtat, estudia el límit corresponent per decidir si és evitable, de salt o d'asímptota (infinita).

Una plataforma de venda en línia de videojocs ofereix un descompte que depèn de la despesa total $x$ realitzada. La funció que descriu l'import final a pagar $G(x)$ després d'aplicar el descompte és:

$$G(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x < 30 \\ 0,8x + 6 & \text{si } x \ge 30 \end{cases}$$

1. a) Estudia si la funció és contínua a $x = 30$. Què significa aquest resultat per al comprador?
2. b) Representa la funció gràficament.
3. c) Si un usuari ha pagat $54$ €, quin era el preu original de la seva compra abans del descompte?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Determina l'expressió algebraica d'una funció radical de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$ sabent que compleix simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu domini de definició és l'interval $[4, \infty)$.

2. El seu recorregut o conjunt imatge és l'interval $[-1, \infty)$.

3. La seva gràfica passa pel punt $(13, 5)$.

Amb aquestes dades:

1. a) Dedueix els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ justificant com influeixen el radicand i el desplaçament vertical en el domini i en el recorregut.
2. b) Troba la funció inversa $f^{-1}(x)$, detallant el procés algebraic per aïllar la variable.
3. c) Especifica de manera raonada el domini i el recorregut de $f^{-1}(x)$, relacionant-los directament amb els de la funció original $f(x)$.

Una empresa pública d'abastament d'aigua factura el consum bimestral d'una llar mitjançant una tarifa progressiva per blocs per penalitzar el consum excessiu:

• Quota fixa de servei independent del consum: $8$ €.

• Tram 1 (fins a $15\text{ m}^3$): cada $\text{m}^3$ costa $0,60$ €.

• Tram 2 (consum superior a $15\text{ m}^3$ i fins a $40\text{ m}^3$): els primers $15\text{ m}^3$ es facturen a tarifa de Tram 1 i cada $\text{m}^3$ addicional a $1,40$ €.

• Tram 3 (consum superior a $40\text{ m}^3$): els primers $40\text{ m}^3$ es liquiden segons els trams anteriors i cada $\text{m}^3$ addicional a $2,80$ €.

1. a) Escriu l'expressió analítica de la funció contínua a trossos $C(x)$ que proporciona l'import total de la factura en euros en funció del volum $x$ d'aigua consumit (en $\text{m}^3$).
2. b) Justifica que la funció no presenta discontinuïtats amb salt comprovant els valors a les fronteres de canvi de tram ($x = 15$ i $x = 40$).
3. c) Si una família ha rebut una factura per un import total de $80$ €, determina raonadament en quin tram de tarifació es troba i calcula exactament quants $\text{m}^3$ va consumir en aquest bimestre.

Un taller d'impressió 3D ha determinat que el cost de producció mensual (en milers d'euros) ve donat per la funció $C(x)$, on $x$ representa el nombre de lots produïts. Per raons logístiques, l'estructura de costos canvia en superar els 10 lots:

$$C(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 20 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ \sqrt{bx + 100} + 40 & \text{si } x > 10 \end{cases}$$

Es demana:

1. Determina els valors de $a$ i $b$ perquè la funció de costos sigui contínua en tot el seu domini, sabent que si no es produeix res el cost és de 20.000 € i que si es produeixen 10 lots el cost és de 120.000 €.

2. Una vegada trobats $a$ i $b$, analitza si existeix algun nivell de producció en el segon tram per al qual el cost s'estabilitzi en un valor fix.

Estudia analíticament el domini de definició de la funció següent que combina radicals i fraccions algebraiques:

$$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 6}{x + 4}}$$

Per a fer-ho, hauràs de resoldre la inequació racional resultant i expressar el domini final utilitzant la notació d'intervals. Justifica si els extrems dels intervals han d'estar inclosos o exclosos basant-te en la definició de la funció.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 3}$:

1. a) Troba la seva funció inversa $f^{-1}(x)$.

1. b) Demostra analíticament que la composició $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

1. c) Representa ambdues funcions en el mateix pla cartesià i dibuixa la recta de simetria $y = x$. Indica les coordenades dels punts on la funció i la seva inversa coincideixen (punts invariants).

Una aplicació de gestió de carteres d'inversió utilitza una funció per modelar el risc en funció del temps d'exposició $t$ (en mesos). La funció de risc acumulat és:

$$R(t) = |t^2 - 6t + 5|$$

Es sol·licita:

1. Expressa la funció $R(t)$ com una funció definida a trossos sense usar valors absoluts.

2. Esboça la seva gràfica i identifica els moments en què el risc és nul.

3. Determina els intervals de temps, dins dels primers 6 mesos, en què el risc és estrictament creixent.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba l'expressió analítica de la funció $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$. Per a això:

1. a) Divideix la recta real en els intervals definits per les arrels dels arguments dels valors absoluts.

1. b) Escriu la funció resultant com una funció definida a trossos, amb l'expressió de $f(x)$ en cada interval.

1. c) Representa-la gràficament. Quin nom rep aquest tipus de funció, formada per trams de rectes? Quin és el seu valor mínim absolut?

En un estudi de mercat, s'han analitzat els preus d'un producte en tres moments diferents:

• El mes 1, el preu era de 10 €.

• El mes 3, el preu va pujar a 18 €.

• El mes 5, el preu es va situar en 22 €.

Es demana:

1. Utilitza la interpolació quadràtica (mètode de Newton o sistema d'equacions) per trobar la funció $P(t)$ que s'ajusta millor a aquestes dades.

2. Estima mitjançant extrapolació el preu esperat per al mes 7.

3. Discuteix si aquest model és raonable a llarg termini analitzant el vèrtex de la paràbola obtinguda.

Les funcions d'oferta ($O$) i demanda ($D$) d'un model d'auriculars sense fil vénen donades per les expressions següents, on $p$ és el preu en euros i $O(p)$, $D(p)$ són les quantitats (en unitats):

$$O(p) = \frac{1}{2}p - 10$$ $$D(p) = \frac{800}{p}$$

1. a) Determina el punt d'equilibri del mercat (preu i quantitat d'unitats). Arrodoneix a una xifra decimal.

1. b) Si el govern imposa un preu màxim de 30 €, es produirà un excés d'oferta o un excés de demanda? Calcula aquesta diferència.

1. c) Representa gràficament les dues funcions al primer quadrant, assenyalant el punt d'equilibri i identificant les asímptotes de la funció de demanda.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x + 1}$, es demana:

1. Trobar la seva funció inversa $f^{-1}(x)$, especificant clarament el domini i el recorregut de totes dues.

2. Considera ara una nova funció $g(x) = f(x - 3) + 2$. Explica detalladament quines transformacions geomètriques (traslacions horitzontals i verticals) s'han aplicat a la funció arrel original per obtenir $g(x)$.

3. Escriu l'expressió analítica de $g(x)$ i calcula el seu punt de tall amb l'eix d'ordenades, si existeix.

Considera la funció $f(x) = |x + 1| + |x - 5|$. Per analitzar-la i trobar el seu valor mínim global, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode A (analític a trossos, proposat per Irene): Divideix la recta real en tres intervals a partir dels punts on s'anul·len els valors absoluts ($x = -1$ i $x = 5$). Desenvolupa l'expressió algebraica a cada tram eliminant les barres segons el signe i estudia els pendents resultants.

• Mètode B (geomètric per distàncies, proposat per Tomás): Aplica la definició del valor absolut com a distància entre dos punts de la recta real ($|x - a| = d(x, a)$), interpretant la funció com la suma de distàncies des d'un punt variable $x$ fins als punts fixos $-1$ i $5$: $f(x) = d(x, -1) + d(x, 5)$.

1. a) Aplica el Mètode A: escriu $f(x)$ com a funció definida a trossos i determina el seu valor mínim i en quin conjunt de valors de $x$ s'assoleix.
2. b) Aplica el Mètode B: utilitzant exclusivament la visualització de distàncies sobre la recta real, explica per què la suma de distàncies no pot ser inferior a la distància entre $-1$ i $5$, i dedueix directament el valor mínim i els punts on s'assoleix sense desenvolupar trams algebraics.
3. c) Compara ambdós mètodes i justifica quin resulta més adequat si necessites calcular l'expressió formal per derivar o representar la gràfica completa, i quin és més eficient si únicament has de resoldre de manera ràpida la inequació $|x + 1| + |x - 5| \le 10$.

Paula intenta calcular la funció inversa de $f(x) = 3 - \sqrt{2x - 4}$. El seu procediment a la pissarra és el següent:

1. Escriu $y = 3 - \sqrt{2x - 4}$.

2. Aïlla l'arrel: $3 - y = \sqrt{2x - 4}$.

3. Eleva al quadrat ambdós membres: $(3 - y)^2 = 2x - 4$.

4. Aïlla la variable $x$: $x = \dfrac{(3 - y)^2 + 4}{2} = \dfrac{y^2 - 6y + 13}{2}$.

5. Intercanvia les variables i conclou: «La funció inversa és $f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 13}{2}$, el domini de la qual és tot $\mathbb{R}$ perquè es tracta d'un polinomi quadràtic».

1. a) Assenyala l'error de concepte comès per Paula respecte a la relació entre el recorregut de $f$ i el domini de $f^{-1}$, i explica geomètricament per què una paràbola completa no pot ser la inversa d'una branca d'arrel quadrada.
2. b) Demostra que la fórmula obtinguda per Paula falla per a $x = 5$: calcula quin valor produeix $f^{-1}(5)$ amb la seva fórmula i comprova si en aplicar $f$ a aquest resultat es recupera el valor original $5$. Explica per què el pas algebraic d'elevar al quadrat va generar aquest problema.
3. c) Realitza la resolució correcta: determina el domini i el recorregut exactes de $f(x)$, i escriu l'expressió analítica de $f^{-1}(x)$ indicant de manera obligatòria el seu domini de definició restringit.