Operaciones con funciones

Dadas las funciones $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $g(x) = x^2 + 4x - 7$, determina la expresión simplificada de la función suma $(f + g)(x)$ y de la función diferencia $(f - g)(x)$.

Un obrador artesanal de repostería tiene dos tipos de costes mensuales. El coste de hornos y energía viene dado por la función $F(x) = 0,5x^2 + 200$, donde $x$ es el número de tartas elaboradas. Por otro lado, los costes de ingredientes y personal siguen la función $V(x) = 30x + 500$.

Calcula la expresión de la función de Coste Total $C(x)$ como suma de ambas y determina el coste que supone para el obrador elaborar 100 tartas en un mes.

Un joven emprendedor vende camisetas de diseño. Sus ingresos por la venta de $x$ unidades vienen dados por la función $I(x) = 25x$, mientras que los costes de producción son $C(x) = x^2 + 5x + 40$.

Halla la expresión analítica de la función Beneficio, definida como $B(x) = (I - C)(x)$. Indica cuántas camisetas debe vender para que el beneficio sea nulo (punto de equilibrio).

Dadas las funciones $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ y $g(x) = x + 5$, calcula el dominio de la función producto $(f \cdot g)(x)$ y de la función cociente $(\frac{f}{g})(x)$. ¿Qué valores de $x$ deben excluirse en cada caso?

Considera las funciones $f(x) = 2x - 3$ y $g(x) = x^2 + 1$. Calcula el valor de las siguientes composiciones en los puntos indicados:

1. a) $(g \circ f)(2)$
2. b) $(f \circ g)(-1)$
3. c) $(f \circ f)(0)$

Dadas las funciones $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ y $g(x) = x^2 + 1$.

Obtén la expresión de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ y calcula su valor para $x = 2$. ¿Pertenece el valor $x = -2$ al dominio de esta nueva función? Justifica tu respuesta.

Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{x + 3}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$, se pide realizar un estudio exhaustivo de su composición:

1. Determina la expresión algebraica de la función compuesta $(g \circ f)(x)$.

2. Calcula de forma razonada el dominio de definición de $(g \circ f)(x)$. Ten en cuenta que para que la composición exista, $x$ debe pertenecer al dominio de $f$ y $f(x)$ debe pertenecer al dominio de $g$.

3. ¿Es posible calcular $(f \circ g)(0)$? Justifica tu respuesta analizando los dominios de ambas funciones.

Dada la función $f(x) = \frac{x - 4}{2}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba que tu resultado es correcto realizando la composición $(f \circ f^{-1})(x)$ y verificando que obtienes la función identidad.

En el estudio de un mercado, la oferta de un producto depende del precio $p$ según la función $O(p) = 2p - 10$. Halla la función inversa $O^{-1}$, que permite conocer el precio necesario para obtener una cantidad determinada de oferta. ¿Cuál sería el precio si queremos que la oferta sea de 40 unidades?

Dada la gráfica de la función $f(x) = x + 3$, dibuja de forma esquemática su función inversa $f^{-1}(x)$ utilizando la simetría respecto a la recta $y = x$. Escribe la expresión analítica de ambas funciones.