Exercicis: Operacions amb funcions

Donades les funcions $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ i $g(x) = x^2 + 4x - 7$, determina l'expressió simplificada de la funció suma $(f + g)(x)$ i de la funció diferència $(f - g)(x)$.

Una empresa de missatgeria determina que els seus ingressos mensuals (en euros) vénen donats per la funció $I(x) = 15x$, on $x$ és el nombre de paquets enviats. D'altra banda, els seus costos totals mensuals (en euros) es regeixen per la funció $C(x) = 5x + 1200$.

Obtén l'expressió de la funció benefici $B(x) = (I - C)(x)$ i explica què representa el terme independent de la funció resultant en aquest context.

Donades les funcions $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ i $g(x) = x + 5$, calcula el domini de la funció producte $(f \cdot g)(x)$ i de la funció quocient $(\frac{f}{g})(x)$. Quins valors de $x$ s'han d'excloure en cada cas?

Considera les funcions $f(x) = 2x - 3$ i $g(x) = x^2 + 1$. Calcula el valor de les composicions següents en els punts indicats:

1. a) $(g \circ f)(2)$
2. b) $(f \circ g)(-1)$
3. c) $(f \circ f)(0)$

Troba l'expressió algebraica de la funció composta $(g \circ f)(x)$ sent $f(x) = 3x + 2$ i $g(x) = \sqrt{x - 1}$. Indica quin és el domini de la funció resultant.

La figura mostra l'esquema de la composició: el valor $x$ entra a $f$ i el resultat que surt de $f$ entra a $g$.

Donada la funció $f(x) = \frac{x - 4}{2}$, calcula la seva funció inversa $f^{-1}(x)$. Comprova que el teu resultat és correcte realitzant la composició $(f \circ f^{-1})(x)$ i verificant que obtens la funció identitat.

En l'estudi d'un mercat, l'oferta d'un producte depèn del preu $p$ segons la funció $O(p) = 2p - 10$. Troba la funció inversa $O^{-1}$, que permet conèixer el preu necessari per obtenir una quantitat determinada d'oferta. Quin seria el preu si volem que l'oferta sigui de 40 unitats?

Donada la gràfica de la funció $f(x) = x + 3$, dibuixa de manera esquemàtica la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ utilitzant la simetria respecte a la recta $y = x$. Escriu l'expressió analítica de les dues funcions.

A la figura tens la gràfica de $f$ (en blau) i la recta $y = x$ (discontínua, en taronja). Cada marca dels eixos correspon a una unitat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials, en Marcos ha d'operar amb les funcions $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ i $g(x) = x - 4$. Al seu full de respostes escriu el següent:

1. a) $(f - g)(x) = 3x^2 - 2x + 5 - x - 4 = 3x^2 - 3x + 1$.
2. b) $(g \circ f)(2) = g(2) \cdot f(2) = (2 - 4) \cdot (3\cdot 2^2 - 2\cdot 2 + 5) = (-2) \cdot 13 = -26$.

Identifica raonadament els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos: un en la resta de funcions i un altre en interpretar la notació de la composició. Corregeix ambdós apartats calculant l'expressió algebraica simplificada i correcta de $(f - g)(x)$ i el valor numèric exacte de $(g \circ f)(2)$.

Durant el període de rebaixes en una botiga de roba a Madrid, s'anuncien dues promocions successives aplicables a una peça que té un preu d'etiqueta de $x$ euros:

• Promoció A: un descompte directe del $20\,\%$ sobre el preu, modelitzat per la funció $f(x) = 0,80x$.

• Promoció B: un cupó de descompte addicional de $15$ € aplicable a la compra, modelitzat per la funció $g(x) = x - 15$.

• Modela algebraicament mitjançant composició la funció que representa el preu final si primer s'aplica el descompte del $20\,\%$ i després el cupó de $15$ €, és a dir, $(g \circ f)(x)$.

• Modela la funció si el comerç decidís aplicar primer el cupó de $15$ € i sobre aquesta quantitat restant el $20\,\%$ de descompte, és a dir, $(f \circ g)(x)$.

• Compara ambdues funcions calculant la seva diferència: $[(g \circ f) - (f \circ g)](x)$. A partir del resultat, determina quin dels dos ordres d'aplicació beneficia més el comprador i quants diners exactes estalvia independentment del preu inicial $x$ de la peça.

Un obrador artesanal de rebosteria té dos tipus de costos mensuals. El cost de forns i energia ve donat per la funció $F(x) = 0,5x^2 + 200$, on $x$ és el nombre de pastissos elaborats. D'altra banda, els costos d'ingredients i personal segueixen la funció $V(x) = 30x + 500$.

Calcula l'expressió de la funció de Cost Total $C(x)$ com a suma de totes dues i determina el cost que suposa per a l'obrador elaborar 100 pastissos en un mes.

Un jove emprenedor ven samarretes de disseny. Els seus ingressos per la venda de $x$ unitats venen donats per la funció $I(x) = 25x$, mentre que els costos de producció són $C(x) = x^2 + 5x + 40$.

Troba l'expressió analítica de la funció Benefici, definida com a $B(x) = (I - C)(x)$. Indica quantes samarretes ha de vendre perquè el benefici sigui nul (punt d'equilibri).

Donades les funcions $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ i $g(x) = x^2 + 1$.

Obtingues l'expressió de la funció composta $(f \circ g)(x)$ i calcula el seu valor per a $x = 2$. Pertany el valor $x = -2$ al domini d'aquesta nova funció? Justifica la teva resposta.

Una botiga en línia aplica un descompte del $15\%$ sobre el preu dels seus productes, cosa que es pot expressar com $d(x) = 0,85x$. A més, per cada compra es cobra una comissió fixa de gestió de $2$ €, representada per $c(x) = x + 2$. En tots dos casos, $x$ és el preu base del producte, en euros.

L'esquema mostra l'ordre en què s'apliquen les funcions en cada opció: a l'Opció A primer s'aplica el descompte i després la comissió; a l'Opció B, al contrari.

1. a) Troba l'expressió de $(c \circ d)(x)$ i explica què representa en el context del problema.
2. b) Troba l'expressió de $(d \circ c)(x)$ i explica si el preu final és el mateix que a l'apartat anterior.

Considera la funció $f(x) = \sqrt{2x - 6}$.

1. a) Calcula la seva funció inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Determina el domini i el recorregut tant de $f(x)$ com de $f^{-1}(x)$ i comprova la relació existent entre ells.

En un laboratori de biologia, el nombre d'individus d'una població d'insectes en funció del temps $t$ (en dies) segueix la funció $N(t) = 3t + 100$. S'ha observat que l'àrea que ocupa aquesta població (en $m^2$) depèn del nombre d'individus segons la funció $A(n) = \sqrt{n}$.

Troba la funció $(A \circ N)(t)$ que expressi l'àrea ocupada en funció del temps i calcula quants metres quadrats ocuparan després de 25 dies.

Troba la funció inversa de $f(x) = \frac{2x + 5}{x - 3}$. Un cop obtinguda, realitza les comprovacions següents per verificar que el teu càlcul és correcte:

1. a) Calcula $(f \circ f^{-1})(x)$.
2. b) Comprova que el punt $(4, 13)$ pertany a la gràfica de $f$ i que el punt $(13, 4)$ pertany a la de $f^{-1}$.

Donades les funcions $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ i $g(x) = \frac{x - 1}{x}$.

Calcula l'expressió simplificada de la funció Quocient $Q(x) = (f / g)(x)$ i determina el seu domini de definició, tenint en compte les restriccions de les funcions originals i de la mateixa operació.

Donades les funcions $f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 2}$ i $g(x) = \sqrt{x - 1}$, es defineix la funció quocient $H(x) = \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$.

1. Abans de fer cap càlcul algebraic, estima raonadament el signe d'$H(5)$ analitzant per separat el signe d'$f(5)$ i el de $g(5)$. Estima a més si $H(5)$ serà més gran o més petit que $2$ considerant els ordres de magnitud del numerador i del denominador. Té sentit intentar calcular $H(0)$ o $H(2)$? Justifica la teva estimació prèvia sobre la viabilitat d'aquests càlculs a partir de les restriccions d'$f$ i $g$.

2. Obtén l'expressió algebraica simplificada d'$H(x)$ i determina de manera rigorosa el seu domini de definició $\text{Dom}(H)$.

3. Calcula el valor numèric exacte d'$H(5)$ expressant-lo amb radicals, obtén la seva aproximació amb dos decimals i comprova si la teva estimació inicial sobre el seu signe i la seva mida era encertada.

Considera la funció afí $f(x) = 2x - 5$. Es busca una funció $g(x)$ tal que, en compondre-la amb $f$, el resultat sigui la funció quadràtica $(g \circ f)(x) = 4x^2 - 20x + 21$.

1. Mitjançant un canvi de variable del tipus $t = 2x - 5$ (o expressant el polinomi quadràtic en termes del binomi $2x - 5$), dedueix raonadament l'expressió algebraica de la funció desconeguda $g(t)$.

2. Comprova que la teva deducció és correcta avaluant pas a pas la composició $(g \circ f)(x)$ a partir de la fórmula trobada.

3. Troba la composició en ordre invers, $(f \circ g)(x)$, i compara-la amb $(g \circ f)(x)$. Es compleix la propietat commutativa en aquest cas? Justifica la teva resposta indicant si existeix algun valor particular de $x$ per al qual ambdues composicions coincideixin.

Donades les funcions $f(x) = \sqrt{x + 3}$ i $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$, es demana fer un estudi exhaustiu de la seva composició. La figura mostra la gràfica de $f$.

1. Determina l'expressió algebraica de la funció composta $(g \circ f)(x)$.

2. Calcula de manera raonada el domini de definició de $(g \circ f)(x)$. Tingues en compte que perquè la composició existeixi, $x$ ha de pertànyer al domini de $f$ i $f(x)$ ha de pertànyer al domini de $g$.

3. És possible calcular $(f \circ g)(0)$? Justifica la teva resposta analitzant els dominis de totes dues funcions.

Un dron de vigilància forestal segueix una trajectòria d'altura definida per la funció $h(t) = -t^2 + 10t - 16$, on $h$ és l'altura en desenes de metres i $t$ és el temps en minuts des que s'activa el sensor, amb $t \in [2, 8]$. A la figura es mostra la gràfica de la trajectòria.

1. a) Explica per què la funció $h(t)$ no té inversa en tot el seu domini $[2, 8]$.

1. b) Restringeix el domini de $h(t)$ a l'interval on el dron està descendint perquè la funció sigui injectiva.

1. c) Calcula l'expressió de la funció inversa $h^{-1}(x)$ per a aquest interval de descens. Quina informació ens proporciona aquesta funció inversa en el context del problema?

Un pàrquing del centre utilitza dues funcions per calcular el preu de l'estacionament. La funció $f(x) = |x - 5|$ representa un ajust per franja horària i $g(x) = 2x + 3$ representa el preu base, on $x$ és el nombre d'hores estacionat.

1. Defineix la funció suma $S(x) = (f + g)(x)$ com una funció definida a trossos.

2. Representa gràficament $S(x)$ i identifica els seus punts d'inflexió o canvis de pendent.

3. Si un conductor deixa el seu cotxe $x = 2$ hores, quin és el preu total? I si el deixa $x = 10$ hores? Comenta la diferència de comportament de la funció abans i després de $x = 5$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En el mercat de valors, el preu d'una acció $P$ (en euros) depèn de l'índex de confiança $I$ segons la funció $P(I) = \frac{40I}{I + 10}$. A la vegada, l'índex de confiança depèn de la inversió en tecnologia $x$ (en milions d'euros) mitjançant $I(x) = \sqrt{x} + 2$.

1. Obtingues la funció $(P \circ I)(x)$ que relaciona directament el preu de l'acció amb la inversió en tecnologia.

2. Calcula la inversió necessària perquè el preu de l'acció sigui de $20$ euros.

3. Determina la funció inversa $(P \circ I)^{-1}(y)$. Quines restriccions ha de tenir $y$ perquè aquesta inversa tingui sentit físic en aquest mercat?

Considera la funció exponencial $f(x) = 3 \cdot 2^{x-1} + 4$.

1. Calcula la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ aïllant la variable $x$ pas a pas.

2. Determina el domini i el recorregut tant de $f(x)$ com de $f^{-1}(x)$. Explica la relació que existeix entre el recorregut d'una i el domini de l'altra.

3. Comprova analíticament que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Un estudi de mercat per a una nova aplicació mòbil determina que la funció d'ingressos mensuals és $R(x) = 500x - 2x^2$ i la funció de costos és $C(x) = 100x + 3000$, on $x$ és el nombre de subscripcions prèmium venudes.

1. Troba la funció de benefici net $B(x) = (R - C)(x)$.

2. Determina el nombre de subscripcions necessàries perquè el benefici sigui màxim utilitzant les propietats de les funcions quadràtiques.

3. Per a quins valors de $x$ l'empresa entra en pèrdues? Resol la inequació $(R - C)(x) < 0$.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

i la funció lineal $g(x) = x - 2$.

1. Determina l'expressió de la funció composta $(f \circ g)(x)$. Vés amb compte, ja que el resultat serà també una funció definida a trossos i els intervals de definició de $f$ es veuran afectats per la translació de $g$.

2. Calcula els punts de tall de $(f \circ g)(x)$ amb l'eix d'abscisses ($OX$).

3. Estudia la continuïtat de la funció resultant $(f \circ g)(x)$ en el punt on canvia la seva definició.

En un laboratori de biologia, la població d'un bacteri en un temps $t$ (hores) ve donada per la funció $P(t) = \frac{100}{1 + 9 \cdot e^{-0,5t}}$. La gràfica mostra l'evolució de $P(t)$ durant les primeres 12 hores.

1. Si anomenem $f(t) = e^{-0,5t}$, expressa $P(t)$ com una combinació d'operacions bàsiques (suma, producte, quocient) entre funcions constants i la funció $f(t)$.

2. Calcula el temps $t$ necessari perquè la població assoleixi els 50 bacteris. Per a això, hauràs d'invertir la funció $P(t)$ de manera algebraica.

3. Quin és el límit de la població quan el temps tendeix a infinit ($t \to \infty$)? Interpreta el resultat des del punt de vista de les operacions amb funcions (què passa amb el denominador quan $t$ creix).

Es consideren les funcions $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 3}$ i $g(x) = \dfrac{2}{x - 1}$. Per trobar el domini de la funció复合 $(g \circ f)(x)$, dos estudiants de 1r de Batxillerat discuteixen sobre quin dels següents mètodes és el correcte:

• Mètode 1 (Álvaro): Calcula primer la fórmula simplificada de $(g \circ f)(x)$ i després busca els valors que anul·len el denominador resultant:

$$(g \circ f)(x) = \dfrac{2}{\frac{x+1}{x-3} - 1} = \dfrac{2}{\frac{x+1 - (x-3)}{x-3}} = \dfrac{2(x-3)}{4} = \dfrac{x-3}{2}$$

Com que el resultat final és un polinomi de grau 1, l'Álvaro conclou que $\text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R}$.

• Mètode 2 (Elena): Aplica la definició formal de domini d'una composició: exigeix simultàniament que $x \in \text{Dom}(f)$ i que la sortida intermèdia $f(x) \in \text{Dom}(g)$.

• Analitza el procediment de l'Álvaro i explica amb rigor matemàtic per què el seu mètode indueix a un error greu. Quina informació estructural es perd en simplificar la fracció algebraica?

• Desenvolupa pas a pas el Mètode 2 proposat per l'Elena i determina el domini real i complet de $(g \circ f)(x)$.

• Imagina el procés com una cadena de muntatge i explica què passa exactament en avaluar la cadena d'operacions per a les entrades $x = 3$ i $x = 1$. Conclou quin dels dos mètodes s'ha de triar sempre en l'estudi de funcions compostes i enuncia una pauta general per evitar l'error de l'Álvaro.

Una cooperativa agrària de Jaén comercialitza oli d'oliva verge extra en envasos especials. El seu equip de gestió econòmica modelitza la seva activitat mitjançant les funcions següents:

• El nombre d'envasos produïts al mes, $q$, depèn del nombre de treballadors contractats a la planta, $x$, segons la funció $q(x) = 80x$.

• Els costos mensuals de producció en euros vénen donats per $C(x) = 1400x + 3600$, on es contemplen salaris i infraestructures fixes.

• El preu de venda unitari per envàs $p$ (en euros) depèn del volum total d'envasos que es llancen al mercat per evitar excedents d'estoc, segons la funció de demanda $p(q) = 28 - 0,00625q$.

• Determina la funció d'ingressos mensuals de la cooperativa en funció de la quantitat d'envasos produïts, $I(q) = q \cdot p(q)$, mitjançant el producte de funcions.

• Modela mitjançant composició de funcions la funció d'ingressos mensuals directes en funció del nombre de treballadors, $(I \circ q)(x)$. Justifica què representa aquesta composició en la gestió de l'empresa.

• Obtén la funció de benefici mensual net $B(x) = (I \circ q)(x) - C(x)$ mitjançant la resta de les funcions d'ingressos i costos. Determina quants treballadors ha de contractar la cooperativa per assolir el llindar de rendibilitat o punt mort ($B(x) = 0$), resol l'equació resultant i interpreta quin interval de contractació garanteix que la cooperativa obtingui beneficis estrictament positius.