Exercicis: Dibuixar una funció pas a pas

Un repartidor de menjar a domicili cobra un sou base de $4$ € per hora treballada. Representa gràficament la funció lineal $f(x) = 4x$, on $x$ és el nombre d'hores i $f(x)$ els diners cobrats en euros. Per dibuixar-la, segueix aquests passos:

1. Crea una taula de valors calculant les imatges per a $x = 0, 1, 2$ i $3$.

2. Representa els punts al pla cartesià.

3. Uneix els punts amb una semirecta (tenint en compte que les hores no poden ser negatives).

Te'n donem els eixos ja preparats perquè hi situïs els punts:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa gràficament la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 4$. Segueix aquests passos de manera ordenada:

1. Identifica els punts de tall amb l'eix $X$ resolent l'equació $x^2 - 4 = 0$.

2. Troba el punt de tall amb l'eix $Y$ calculant $f(0)$.

3. Determina les coordenades del vèrtex $V(x_v, y_v)$.

4. Dibuixa la paràbola unint els punts anteriors. Pots ajudar-te dels eixos de la figura, on cada divisió equival a 1 unitat en ambdós eixos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una plataforma de streaming ofereix una tarifa plana de $12$ € al mes, sense importar quantes pel·lícules vegis. Representa gràficament la funció $f(x) = 12$, on $x$ és el nombre de pel·lícules vistes en un mes i $f(x)$ és el cost mensual en euros.

1. a) Raona quin tipus de funció és (lineal, quadràtica o constant).

1. b) Determina el valor de la funció per a $x = 0$, $x = 10$ i $x = 20$.

1. c) Dibuixa la gràfica en uns eixos coordenats: col·loca a l'eix horitzontal el nombre de pel·lícules ($x$) i a l'eix vertical el cost en euros ($y$), i tria una escala adequada a cada eix.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa pas a pas la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. Calcula els valors del primer tram per a $x = -1, x = 0$ i el valor al qual s'acosta quan $x = 1$.

2. Dibuixa el segon tram sabent que és una funció constant per a valors majors o iguals a $1$.

3. Para atenció al punt d'unió a $x = 1$ per veure si hi ha un salt o si la funció és contínua.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representaràs la funció de valor absolut $f(x) = |x - 3|$ (al teu quadern, si vols, per ajudar-te). Segueix aquests passos:

1. Representa primer la recta auxiliar $y = x - 3$ de manera discontínua.

2. Identifica el punt on la recta talla l'eix $X$ (és el punt on canvia la direcció de la gràfica, el vèrtex).

3. "Reflecteix" la part de la recta que queda per sota de l'eix $X$ cap a la part positiva de les $Y$.

4. Remarca el traç final de la funció $f(x)$.

Ara respon a partir de la teva representació:

1. a) Quina és l'abscissa $x$ del punt en què la recta $y = x - 3$ talla l'eix $X$?

1. b) Quin valor pren la recta auxiliar en $x = 0$? I quin valor pren $f(0)$ després de reflectir?

1. c) Calcula $f(5)$.

1. d) Per a $x < 3$, la gràfica de $f$ coincideix amb la recta $y = -x + 3$. Quin és el seu pendent?

Es valorarà que la recta auxiliar, el punt de tall, la reflexió i el traç final siguin coherents entre si, i que els valors que donis als apartats coincideixin amb la teva gràfica.

Representa la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$.

1. a) Explica per què el valor $x = 0$ no pertany al domini.

1. b) Calcula les imatges per a $x = 1, 2, 4$ i els seus oposats $x = -1, -2, -4$.

1. c) Representa en uns eixos de coordenades els punts obtinguts i dibuixa les dues branques de la hipèrbola tenint en compte que els eixos són asímptotes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa la paràbola $f(x) = -x^2 + 1$. Segueix aquests passos per no equivocar-te:

1. Observa el signe del coeficient de $x^2$ i decideix si les branques van cap amunt o cap avall.

2. Calcula el vèrtex. Com que no hi ha terme en $x$, quina és la seva abscissa $x_v$?

3. Troba els punts de tall amb l'eix $X$.

4. Dibuixa la corba de manera simètrica respecte de l'eix $Y$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics cobra $1$ € per desbloquejar el patinet i $0,50$ € per cada minut d'ús. Representa la funció $f(x) = 0,5x + 1$, on $x$ són els minuts i $f(x)$ és el cost en euros.

1. a) Calcula el cost per a $0$, $5$, $10$ i $20$ minuts.

1. b) Identifica l'ordenada a l'origen i explica què significa en aquest context real.

1. c) Dibuixa la gràfica resultant. Pots usar com a guia aquests eixos amb la seva quadrícula (cada quadre són $5$ minuts en horitzontal i $5$ € en vertical).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per representar gràficament la funció amb valor absolut $f(x) = |2x - 6|$, en Marcos fa el procediment següent:\n1. Calcula els punts de tall de la funció interior $g(x) = 2x - 6$ amb els eixos de coordenades: $(0, -6)$ i $(3, 0)$.\n2. Com que sap que el valor absolut no pot donar resultats negatius, canvia el signe de l'ordenada del punt de tall amb l'eix $Y$, i obté el punt $(0, 6)$.\n3. Uneix amb un regle els punts $(0, 6)$ i $(3, 0)$ i perllonga aquesta mateixa línia recta indefinidament cap a la dreta.\n\nRespon raonadament a les qüestions següents:\na) Identifica els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos en traçar la gràfica definitiva.\nb) Explica per què la gràfica d'una funció de la forma $f(x) = |mx + n|$ amb $m \ne 0$ no pot ser mai una única línia recta indefinida.\nc) Descriu el procediment correcte que s'ha de seguir per dibuixar $f(x)$ pas a pas a partir de la recta auxiliar $g(x)$, indicant quina part es manté inalterada i quina part es transforma.

Una companyia de telecomunicacions a Espanya comercialitza un bo de dades la tarifa mensual del qual en euros respon a la funció lineal $C(x) = 1{,}50x + 12$, on $x$ és el nombre de gigabytes (GB) addicionals consumits durant el mes. Dos estudiants debaten sobre quina és la millor estratègia per representar-la en el pla cartesià:\n- L'Alba proposa confeccionar una taula de valors exhaustiva calculant les imatges de $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ i $6$, representar tots els punts i unir-los amb un regle.\n- L'Hugo afirma que n'hi ha prou amb calcular l'ordenada a l'origen $(0, C(0))$ i un únic punt addicional ben seleccionat, com $(4, C(4))$, traçar la recta que passa per ells i fer servir un tercer punt, per exemple $(8, C(8))$, únicament per verificar que el regle està ben alineat.\n\na) Basant-te en els principis de la geometria plana sobre la determinació d'una recta, justifica per què la proposta de l'Hugo és matemàticament suficient.\nb) Per què la tria de $x = 4$ i $x = 8$ que fa l'Hugo és més prudent i precisa per dibuixar a mà en una quadrícula que triar $x = 1$ o $x = 3$?\nc) Tenint en compte el context real del consum de dades, indica en quin interval de l'eix d'abscisses s'ha de dibuixar efectivament la gràfica i si és procedent perllongar-la cap a valors negatius de $x$.

Un jugador de bàsquet llança un tir lliure la trajectòria del qual segueix la funció $h(t) = -t^2 + 4t + 2$, on $h$ és l'altura en metres i $t$ és el temps en segons des del llançament. Representa gràficament la trajectòria de la pilota seguint aquests passos:

1. Identifica el tipus de funció i determina l'orientació de les seves branques.

2. Calcula les coordenades del vèrtex de la paràbola.

3. Troba els punts de tall amb l'eix d'abscisses ($OX$) i amb l'eix d'ordenades ($OY$).

4. Estableix el domini real de la funció tenint en compte el context físic (el temps no és negatiu i la pilota s'atura quan toca terra).

5. Dibuixa la gràfica utilitzant les dades anteriors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En el mercat de les sabatilles d'esport, la demanda d'un model específic es regeix per la funció racional $q(p) = \frac{200}{p-10}$, on $q$ és la quantitat de parells demanats i $p$ és el preu en euros ($p > 10$). Estudia la corba de demanda fent l'anàlisi següent (pots fer un dibuix al teu quadern per guiar-te):

1. Determina el domini de definició de la funció en el context econòmic.

2. Troba les equacions de les asímptotes vertical i horitzontal.

3. Obtén els punts de tall amb els eixos, si n'hi ha.

4. Confecciona una petita taula de valors per a preus significatius (per exemple, $p=20$, $p=50$ i $p=110$).

5. Descriu com és la gràfica de la funció (posició respecte a les asímptotes i forma de la corba) i indica clarament la tendència de la demanda a mesura que puja el preu.

Una empresa de missatgeria cobra als seus clients segons el pes dels paquets. La tarifa es defineix per la funció a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{si } 0 \le x < 5 \\ 15 & \text{si } 5 \le x \le 10 \\ x + 5 & \text{si } x > 10 \end{cases}$

on $x$ és el pes en kg i $f(x)$ el preu en euros. Representa la funció pas a pas (pots usar com a guia els eixos de la figura, amb 1 kg = 30 unitats en horitzontal i 1 € = 12 unitats en vertical, o dibuixar els teus en paper):

1. Identifica el tipus de funció en cadascun dels tres intervals.

2. Calcula els valors de la funció en els punts de ruptura ($x=5$ i $x=10$).

3. Determina si la funció és contínua en aquests punts de ruptura calculant els límits laterals.

4. Dibuixa cada tram de la funció en el seu interval corresponent, indicant amb un punt ple o buit si l'extrem de cada tram pertany o no a la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Volem analitzar l'evolució del saldo d'un compte jove que ha tingut moviments bruscs. La funció que descriu el saldo estimat és $f(x) = |x^2 - 4x|$, on $x$ representa els mesos transcorreguts. Dibuixa la gràfica seguint aquest procediment:

1. Representa primer la funció parabòlica auxiliar $g(x) = x^2 - 4x$, trobant-ne el vèrtex i els talls amb l'eix $OX$.

2. Identifica els intervals on el valor de $g(x)$ és negatiu.

3. Aplica la definició de valor absolut per a «reflectir» la part negativa de la gràfica sobre l'eix $OX$.

4. Dibuixa la gràfica definitiva de $f(x)$, assegurant-te que no hi hagi valors per sota de l'eix d'abscisses.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El nombre d'usuaris d'una nova xarxa social creix de forma exponencial segons la funció $U(t) = 2 \cdot 1,5^t$, on $U$ és el nombre d'usuaris (en milers) i $t$ és el temps en mesos. Per representar aquest creixement, segueix aquests passos:

1. a) Identifica el valor inicial d'usuaris (per a $t=0$).

1. b) Determina el tipus de creixement (és creixent o decreixent?) observant la base de la potència.

1. c) Indica l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció.

1. d) Calcula els valors per a $t=1$, $t=2$ i $t=3$.

1. e) Dibuixa en uns eixos cartesians (temps $t$ en mesos a l'eix horitzontal i usuaris $U$ en milers a l'eix vertical) els punts obtinguts i l'asímptota, i uneix-los amb una corba suau que representi l'evolució de la comunitat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un estudi arqueològic utilitza la funció $f(x) = \sqrt{x+4} - 2$ per modelitzar la profunditat d'una excavació en metres, essent $x$ la distància horitzontal des del centre del jaciment. Representa la funció seguint aquests passos:

1. a) Calcula el domini de definició de la funció.

1. b) Troba el punt d'inici de la corba (on comença el domini).

1. c) Troba els punts de tall amb els eixos coordenats.

1. d) Determina si la funció és creixent o decreixent en el seu domini.

1. e) Esbossa al teu quadern la gràfica, ajudant-te d'una taula de valors, i descriu la curvatura característica de les funcions arrel.

La intensitat del so (en una escala logarítmica simplificada) percebuda per un micròfon ve donada per $S(x) = \log_2(x) + 3$, on $x$ és la potència de la font sonora. Representa la funció $S(x)$ fent el següent:

1. a) Estableix el domini de la funció.

1. b) Identifica l'asímptota vertical.

1. c) Calcula el punt on la intensitat és nul·la (punt de tall amb l'eix $OX$).

1. d) Obtén el valor de la funció per a potències clau com $x=1$, $x=2$ i $x=4$.

1. e) Dibuixa la gràfica mostrant el comportament logarítmic, indicant-hi l'asímptota, el punt de tall amb $OX$ i els punts de l'apartat d).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El cost mitjà de fabricar una sèrie de samarretes personalitzades ve donat per la funció $C(x) = \frac{4x + 100}{x}$, on $x$ és el nombre de samarretes produïdes ($x > 0$) i $C(x)$ és el cost per unitat en euros. Representa aquesta funció racional seguint aquests passos:

1. a) Simplifica l'expressió de la funció dividint cada terme del numerador pel denominador.

1. b) Identifica l'asímptota vertical i l'asímptota horitzontal. Explica el significat econòmic de l'asímptota horitzontal.

1. c) Determina si la funció és creixent o decreixent.

1. d) Calcula el cost mitjà per a $x=10$, $x=20$ i $x=50$.

1. e) Dibuixa la corba de cost mitjà, assenyalant les asímptotes i els punts calculats a l'apartat anterior.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una cooperativa agrícola valenciana comercialitza cítrics de temporada. El benefici net setmanal de l'explotació (en centenars d'euros) depèn del preu de venda per quilo $x$ (en euros) segons la funció quadràtica $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, definida per a $x \in [1, 5]$. Abans de traçar la gràfica, has de planificar el dibuix:\n\n1. Estima: Sabent que els talls amb l'eix horitzontal representen els preus que no generen ni pèrdues ni guanys ($B(x) = 0$), i comprovant mentalment que $B(1) = 0$ i $B(5) = 0$:\n - Dedueix, basant-te exclusivament en la propietat de simetria de les paràboles i sense aplicar encara cap fórmula algebraica, en quin preu $x$ exacte s'assolirà el benefici màxim setmanal.\n - Raona si les branques de la paràbola s'orienten cap amunt o cap avall a partir del signe del coeficient principal, i estima si el vèrtex quedarà per sobre o per sota de l'eix horitzontal.\n2. Comprova: Aplica la fórmula analítica de l'abscissa del vèrtex $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ i troba la seva ordenada $B(x_v)$. Comprova si el resultat coincideix amb la teva estimació prèvia.\n3. Pla de traçat: Explica pas a pas com esbossaries la paràbola en l'interval $[1, 5]$ utilitzant únicament el vèrtex, els talls amb l'eix $X$ i l'eix de simetria vertical, justificant per què no cal calcular una taula de valors amb nombres decimals intermedis.

Un aparcament de rotació al centre de Màlaga aplica les condicions de cobrament següents per a estades de fins a 12 hores:\n- Durant els primers 60 minuts ($0 \le t \le 1$ hora), hi ha una tarifa promocional de $2$ € per hora (o fracció proporcional).\n- Entre la primera i la cinquena hora ($1 < t \le 5$), el cost correspon als $2$ € de la primera hora més $3$ € per cada hora addicional: $C(t) = 2 + 3(t - 1)$.\n- A partir de la cinquena hora i fins a un màxim de 12 hores ($5 < t \le 12$), s'aplica una tarifa plana de llarga estada fixada en $14$ €.\n\n1. Escriu l'expressió analítica simplificada de la funció a trossos $C(t)$ per a tot el seu domini $[0, 12]$.\n2. Analitza els punts de canvi de tram ($t = 1$ i $t = 5$): calcula el valor que dona la funció just a l'esquerra i a la dreta de cadascun d'ells per determinar si la gràfica és contínua o si presenta algun salt.\n3. Detalla les instruccions pas a pas per dibuixar la gràfica amb total exactitud: indica quins punts clau delimiten cada tram, quin tipus de traçat geomètric correspon a cada interval i com s'han de representar els extrems per reflectir si un punt frontera està inclòs o exclòs.

Un analista financer estudia l'evolució de la rendibilitat d'una inversió tecnològica al llarg de 10 anys. La funció que descriu la rendibilitat $R(t)$ en funció del temps $t$ (en anys) ve donada per la següent expressió a trossos:

$R(t) = \begin{cases} \dfrac{2t - 4}{t + 1} & \text{si } 0 \le t < 4 \\[2mm] |t^2 - 10t + 21| & \text{si } 4 \le t \le 10 \end{cases}$

Dibuixa la gràfica de la funció seguint aquests passos:

1. a) Determina el domini de definició en el context del problema i estudia si la funció és contínua en $t = 4$ (calcula el límit lateral per l'esquerra i el valor $R(4)$).

1. b) Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades.

1. c) Calcula les asímptotes de la branca racional i decideix quines afecten la gràfica en l'interval $0 \le t < 4$.

1. d) Estudia el valor absolut en el segon tram: determina en quins valors de $t$ s'anul·la $t^2 - 10t + 21$, escriu $R(t)$ sense valor absolut en $[4, 7]$ i en $[7, 10]$, i troba el punt on la corba toca l'eix $X$ formant un pic, així com el màxim local en $[4, 7]$.

1. e) Representa la funció amb precisió, indicant amb un punt obert o tancat el que correspongui en $t = 4$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un obrador artesanal estudia els seus costos de producció. El cost unitari $C(x)$ (en euros) depèn del nombre d'unitats diàries produïdes $x$ i segueix la funció:

$C(x) = \frac{3x^2 + 12}{x - 1}$

Dibuixa la gràfica detallada de la funció per a $x > 1$ realitzant l'anàlisi següent:

1. Identifica el domini i explica per què no té sentit analitzar valors $x \le 1$.

2. Troba l'asímptota vertical i estudia la posició de la corba respecte d'aquesta mitjançant límits laterals.

3. Determina l'existència d'una asímptota obliqua mitjançant la divisió de polinomis i representa-la com a línia auxiliar.

4. Calcula els punts de tall (si n'hi ha) i utilitza una petita taula de valors estratègics per definir la curvatura.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'està monitoritzant la temperatura d'un nou processador gràfic durant una prova d'estrès. La temperatura $T$ (en $^\circ C$) després de $x$ minuts es modela mitjançant la funció:

$T(x) = 25 + \dfrac{60x^2}{x^2 + 9}$

Per dibuixar la gràfica que representarà l'informe tècnic, realitza els passos següents:

1. a) Troba el valor de la temperatura en l'instant inicial.

1. b) Calcula l'asímptota horitzontal i explica el seu significat físic (temperatura límit de saturació).

1. c) Determina si la funció té punts de tall amb l'eix d'abscisses i justifica el resultat basant-te en el recorregut de la funció.

1. d) Estudia la simetria de la funció i explica com t'ajuda a dibuixar-la per a valors de temps hipotèticament negatius.

1. e) Dibuixa en els teus eixos la corba suavitzada (pots ajudar-te d'una taula de valors) indicant clarament l'asímptota.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}$, dibuixa la seva gràfica seguint una anàlisi exhaustiva:

1. Determina el domini de definició. Compte! Identifica el tipus de discontinuïtat que hi ha en cada punt on el denominador s'anul·la.

2. Simplifica l'expressió de la funció i explica què passa gràficament a $x = 2$ (hi ha una asímptota o un "forat"?).

3. Troba les asímptotes verticals i horitzontals de la funció simplificada.

4. Estudia el signe de la funció en els intervals definits per les arrels i les asímptotes.

5. Dibuixa la gràfica representant el punt evitable com un petit cercle buit.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa gràficament la funció $f(x) = \sqrt{|x| - 3}$. Per a fer-ho, segueix aquests passos lògics:

1. Determina el domini de definició de la funció resolent la inequació $|x| - 3 \ge 0$.

2. Analitza la simetria de la funció. És parell o senar? Com afecta això la construcció del dibuix?

3. Estudia el creixement en l'interval $(3, +\infty)$.

4. Representa primer la part dreta de la gràfica i després utilitza la simetria per completar el costat esquerre.

5. Indica els punts de tall amb l'eix $X$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El benefici net $B(x)$ d'una startup d'aplicacions mòbils (en milers d'euros) segueix el model:

$B(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x < 0 \\ 5 \cdot \ln(x + 1) & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

On $x$ representa el balanç d'inversió publicitària (negatiu és deute, positiu és inversió neta). Dibuixa la gràfica pas a pas:

1. Estudia la continuïtat en el punt crític $x = 0$.

2. Per al tram de l'esquerra ($x < 0$), troba el vèrtex de la paràbola i els seus punts de tall amb els eixos.

3. Per al tram de la dreta ($x \ge 0$), estudia el creixement i troba el punt de tall amb l'eix $Y$. Calcula també algun punt més (per exemple, per a $x = 4$) que t'ajudi a dibuixar la corba.

4. Determina si la funció té alguna asímptota.

5. Dibuixa les dues branques en uns mateixos eixos i assenyala el punt d'unió.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol representar la funció $f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x}$. Realitza el dibuix seguint aquestes pautes:

1. Reescriu la funció com una funció definida a trossos eliminant el valor absolut.

2. Determina el domini i les asímptotes verticals.

3. Troba les asímptotes obliqües per als trams corresponents.

4. Estudia la simetria de la funció per simplificar el traçat.

5. Identifica els punts de "canvi de curvatura" on el valor absolut actua i dibuixa la gràfica final.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa pas a pas la gràfica de la funció $f(x) = 2 + e^{1/(x-2)}$. Aquest tipus de funcions són habituals en estudis de creixement amb barreres crítiques.

1. Troba el domini i l'asímptota vertical.

2. Calcula els límits laterals quan $x \to 2^-$ i $x \to 2^+$. Cap a quin valor tendeix la funció per l'esquerra de l'asímptota? I per la dreta?

3. Determina l'asímptota horitzontal calculant el límit quan $x \to \pm\infty$.

4. Comprova si la funció talla l'eix $X$ o l'eix $Y$.

5. Utilitza tota la informació anterior per realitzar el traçat, prestant una atenció especial a la discontinuïtat a $x = 2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una auditoria energètica sobre la climatització d'una seu corporativa es modelitza el desajust de temperatura respecte al nivell de confort mitjançant una funció de la forma $f(x) = |ax^2 + bx + c|$, on $x \in [0, 8]$ representa les hores transcorregudes de la jornada laboral. A causa d'un error informàtic, els coeficients $a$, $b$ i $c$ s'han esborrat de l'informe, però es conserven les següents característiques visuals de la gràfica:\n- La corba toca l'eix horitzontal ($y = 0$) exactament en dos instants: $x = 2$ i $x = 6$, on la gràfica 'rebota' formant dues cantonades anguloses.\n- Entre aquests dos valors, la corba s'eleva formant un arc continu simètric el punt més alt del qual se situa a $(4, 8)$.\n- Als límits del domini, la funció arriba a les cotes $f(0) = 24$ i $f(8) = 24$.\n\n1. Planteja el problema invers: Reconstrueix la paràbola interior $g(x) = ax^2 + bx + c$ abans d'aplicar el valor absolut. Per fer-ho, dedueix raonadament quines havien de ser les coordenades del vèrtex de $g(x)$ i cap a on s'havien d'obrir les seves branques originals.\n2. Calcula analíticament els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.\n3. Descriu el protocol per dibuixar la gràfica definitiva de $f(x)$ a partir de la paràbola auxiliar $g(x)$, indicant quin interval de l'eix d'abscisses experimenta una reflexió especular respecte a l'eix $X$ i expressant $f(x)$ com una funció a trossos sense valor absolut.

L'àrea de medi ambient d'una mancomunitat de municipis a Espanya analitza el cost mitjà anual per habitant del nou servei de recollida selectiva. Aquest cost unitari (en euros per veí) es regeix per la funció racional:\n$$\bar{C}(x) = \frac{180.000 + 45x}{x} = \frac{180.000}{x} + 45$$\non $x$ és el nombre d'habitants censats que es donen d'alta en el sistema ($x > 0$).\n\n1. Anàlisi asimptòtica i justificació teòrica:\n - Explica per què la recta vertical $x = 0$ actua com a asímptota vertical de la funció i quin significat socioeconòmic té el comportament de la corba quan la participació veïnal és gairebé nul·la ($x \to 0^+$).\n - Raona per què la recta horitzontal $y = 45$ és una asímptota horitzontal quan el nombre de participants creix indefinidament ($x \to +\infty$). Demostra analíticament si la corba arriba a tocar o tallar la seva asímptota horitzontal en algun punt amb $x > 0$ o si el cost mitjà sempre roman estrictament per sobre de $45$ €.\n2. Crítica de mètodes de representació: Un auxiliar tècnic suggereix representar la funció traçant una taula de valors elemental amb $x = 1, 2, 3, 4$ i $5$ participants. Argumenta detalladament per què aquest mètode habitual de taula de valors resulta pèssim per captar la forma global de la hipèrbola en uns eixos cartesians a escala real.\n3. Estratègia de dibuix amb criteri: Proposa una escala adequada per als eixos i selecciona quatre valors de $x$ estratègics (justificant la teva tria) que permetin plasmar amb fidelitat la curvatura de la funció i la seva aproximació progressiva a l'asímptota horitzontal.