Exercicis: Augments i disminucions percentuals

El preu d'una entrada per al festival de música "Tecno-Vibes" és de $55\text{ €}$. Si l'organització decideix augmentar-ne el preu un $12\text{ \%}$ a causa de l'alta demanda, quin serà el nou preu de l'entrada? Indica també quin és l'índex de variació aplicat.

Una botiga de roba esportiva anuncia una liquidació de temporada amb un descompte del $25\text{ \%}$ en totes les seves sabatilles. Si unes sabatilles de running marcaven originalment $110\text{ €}$, quant pagarem per elles després de la rebaixa? Calcula l'índex de variació corresponent.

L'any 2022, una subscripció mensual a una plataforma d'streaming costava $12,50\text{ €}$. El 2023, el preu ha pujat a $14,75\text{ €}$. Calcula l'índex de variació i l'augment percentual que ha patit la subscripció.

Després d'aplicar-li un descompte del $15\text{ \%}$, un ordinador portàtil costa $680\text{ €}$. Quin era el preu original de l'ordinador abans de la promoció? Utilitza el concepte d'índex de variació per resoldre'ho.

El sou d'un jove programador augmenta un $5\text{ \%}$ en finalitzar el seu primer any de contracte. Tanmateix, al segon any, a causa d'una meitat a l'empresa, li redueixen el salari un $5\text{ \%}$. Creus que el seu sou final és el mateix que l'inicial? Justifica la teva resposta calculant l'índex de variació global.

Un component electrònic té un preu de venda al públic de $242\text{ €}$ amb el $IVA$ del $21\text{ \%}$ ja inclòs. Determina el preu del producte abans d'impostos (base imposable).

Un centre comercial celebra el "Dia sense IVA". Això significa que al preu final de venda (que ja inclou el $21\text{ \%}$ de $IVA$) se li descompta el valor equivalent a l'impost.

Si un televisor marca un preu de $484\text{ €}$ ($IVA$ inclòs), quin serà el seu preu durant la promoció? Comprova si aquesta promoció equival a un descompte del $21\text{ \%}$ sobre el preu final.

Una entrada de cinema costa $9\text{ €}$. Si pagues amb el carnet jove, t'apliquen un descompte del $20\text{ \%}$. Però si a més és "dimecres de l'espectador", el preu ja rebaixat torna a baixar un $10\text{ \%}$ addicional.

1. a) Calcula el preu final de l'entrada un dimecres per a un usuari amb carnet jove.
2. b) Calcula l'índex de variació total i el percentatge de descompte real sobre el preu inicial.

Una botiga de tecnologia anuncia les seves rebaixes de temporada. Uns auriculars sense fils que costaven $120$ € tenen un descompte del $15 \%$. Després d'aplicar el descompte, en comprar-los pel web, se'ls aplica un recàrrec del $5 \%$ per despeses de gestió d'enviament sobre el preu rebaixat. L'esquema resumeix el procés.

1. a) Calcula el preu final dels auriculars.

1. b) Quin és l'índex de variació global d'aquesta operació?

Lucía compra un ordinador portàtil per als seus estudis la factura final del qual amb el $21\,\%$ d'IVA inclòs puja a $847\text{ €}$. Per esbrinar el preu de l'equip abans d'impostos, calcula el $21\,\%$ de $847\text{ €}$ obtenint $177,87\text{ €}$, i a continuació resta aquesta quantitat: $847 - 177,87 = 669,13\text{ €}$. Identifica i explica de manera raonada l'error conceptual comès per Lucía, defineix l'índex de variació adequat per desfer aquest percentatge i calcula el preu real del portàtil abans d'aplicar l'impost.

L'abonament jove de transport públic d'una comunitat autònoma tenia una tarifa mensual de $40\text{ €}$. A començaments d'any va experimentar una pujada del $15\,\%$ sobre el seu import i, sis mesos més tard, per compensar la despesa de les famílies, se li va aplicar una rebaixa del $15\,\%$ sobre el preu ja incrementat.\na) Abans de fer càlculs numèrics sobre el paper, estima de manera justificada si el preu resultant final serà exactament $40\text{ €}$, més gran que $40\text{ €}$ o més petit que $40\text{ €}$.\nb) Fes el càlcul matemàtic formal utilitzant els índexs de variació per comprovar la teva estimació, indica l'índex de variació global i determina la variació percentual efectiva respecte al preu original de $40\text{ €}$.

Una botiga de tecnologia llança un nou model d'auriculars sense fils a un preu de $120$ €. A causa de l'alta demanda, al mes següent decideixen incrementar el seu preu un $15$ %. Tanmateix, arribada la setmana del "Black Friday", apliquen un descompte del $20$ % sobre el preu incrementat. Calcula el preu final dels auriculars i determina l'índex de variació global del preu.

Una jove influencer dedicada al disseny sostenible tenia $15.400$ seguidors al seu compte en començar l'any. Després d'una campanya de conscienciació sobre el reciclatge, el seu nombre de seguidors va augmentar fins a assolir els $19.096$. Quin ha estat el percentatge d'augment en la seva comunitat? Si espera que el pròxim trimestre el creixement sigui del $8$ % sobre la xifra actual, quants seguidors tindrà aleshores?

En les rebaixes de gener, unes sabatilles esportives tenen un descompte del $35$ %. Si el preu rebaixat que marca l'etiqueta és de $57,20$ €, quin era el preu de les sabatilles abans de començar les rebaixes? Indica també l'estalvi total aconseguit en euros.

El preu d'una subscripció prèmium a una plataforma d'streaming és de $15,99$ € al mes, IVA inclòs. Sabent que el tipus d'IVA aplicat a aquests serveis digitals a Espanya és del $21$ %, calcula:

1. a) La base imposable de la factura (el preu abans d'impostos).
2. b) L'import exacte que es paga d'IVA.
3. c) Si la plataforma anuncia una pujada de la base imposable del $5$ % per al pròxim any, quin serà el nou preu mensual amb l'IVA inclòs?

Un petit comerç de barri decideix actualitzar els preus dels seus productes segons el cost de la vida. A principis d'any puja tots els preus un $4$ %. A l'estiu, a causa d'una promoció especial, aplica un descompte del $10$ % sobre els preus ja actualitzats.

1. a) Calcula l'índex de variació global.
2. b) Quina ha estat la variació percentual total respecte del preu original de finals de l'any passat?
3. c) Si un producte costava originalment $25$ €, quin és el seu preu després dels dos canvis?

A causa de la millora en les infraestructures de transport, el temps de desplaçament entre dues ciutats s'ha reduït un $18$ % aquest any. Si actualment el trajecte es fa en $82$ minuts, quant de temps es trigava l'any passat? Expressa el resultat en hores i minuts.

El salari brut anual d'un treballador va patir els canvis següents en un període de tres anys: el primer any va pujar un $2$ %, el segon any es va mantenir congelat ($0$ % de variació) i el tercer any va baixar un $3$ % a causa d'una reestructuració de l'empresa.

1. a) Calcula l'índex de variació global al final dels tres anys.
2. b) Si el salari inicial era de $24.500$ €, quin és el seu salari després del tercer any?
3. c) Quin percentatge hauria de pujar el salari al quart any per recuperar exactament el poder adquisitiu inicial de $24.500$ €?

Un inversor compra accions d'una empresa tecnològica. Durant el primer mes, el valor de les accions puja un $20$ %. Durant el segon mes, el valor cau un $20$ %. L'inversor afirma: "M'he quedat igual que al principi, ni he guanyat ni he perdut".

1. a) Demostra matemàticament si l'inversor té raó o no, utilitzant índexs de variació.

1. b) Si va invertir inicialment $5.000$ €, quin és el valor de la seva inversió després dels dos mesos?

1. c) Calcula el percentatge de variació global de la inversió.

Una botiga d'esports ofereix durant les rebaixes tres alternatives per liquidar articles de temporada el preu inicial dels quals és $P$ euros:\n- Mètode 1: Aplicar un descompte directe i únic del $25\,\%$.\n- Mètode 2: Aplicar primer un descompte del $15\,\%$ i, a continuació, un descompte addicional del $10\,\%$ sobre el preu rebaixat.\n- Mètode 3: Aplicar primer el descompte del $10\,\%$ i, sobre aquest import, el del $15\,\%$.\na) Expressa el preu final obtingut amb cada mètode en funció del preu inicial $P$ emprant índexs de variació.\nb) Analitza raonadament si el Mètode 2 i el Mètode 3 donen lloc al mateix preu final i explica a quina propietat matemàtica es deu.\nc) Justifica quin dels tres mètodes és més avantatjós per al client i calcula el percentatge de descompte efectiu equivalent que s'aplica en el Mètode 2.

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre el mercat del lloguer en una capital de província, el preu mitjà del metre quadrat va variar de la següent manera al llarg de tres anys consecutius: el 2021 va pujar un $6\,\%$; el 2022 va patir un nou increment del $8\,\%$; i el 2023 va experimentar una baixada del $5\,\%$.\na) Modelitza l'evolució del preu calculant l'índex de variació de cada any i l'índex de variació global corresponent al trienni complet.\nb) Determina la variació percentual acumulada que ha experimentat el preu del lloguer entre l'inici de 2021 i el final de 2023.\nc) Si el lloguer mensual d'un pis costava $750\text{ €}$ a començaments de 2021, calcula la seva mensualitat a finals de 2023. Així mateix, si un llogater pagava $870\text{ €}$ al mes a finals de 2023, dedueix quant pagava a començaments de 2021.

Una empresa de components tecnològics per a smartphones ha patit una sèrie de canvis en els seus costos de producció al llarg de tres trimestres. En el primer trimestre, el cost va augmentar un $12\%$. En el segon trimestre, a causa d'una optimització de processos, el cost va disminuir un $8\%$. Per al tercer trimestre, la direcció s'ha marcat com a objectiu que el cost final sigui exactament un $5\%$ menor que el cost inicial abans de començar el primer trimestre. Calcula el percentatge exacte de disminució que s'ha d'aplicar en el tercer trimestre per assolir aquest objectiu.

Un jove programador freelance va cobrar per un projecte un total de $2.450$ € després d'haver-se-li aplicat un augment del $21\%$ d'IVA i, posteriorment, una retenció del $15\%$ d'IRPF sobre la quantitat ja incrementada com l'IVA. Tanmateix, el client va cometre un error i hauria d'haver aplicat la retenció de l'IRPF només sobre la base imposable (abans d'impostos). Calcula:

1. La base imposable original del projecte.

2. La diferència de diners que el programador hauria de reclamar o retornar per corregir l'error.

En una botiga de moda urbana s'apliquen rebaixes successives. Primer s'anuncia un descompte general del $20\%$ sobre tots els articles. Durant la "setmana de liquidació", s'aplica un descompte addicional del $30\%$ sobre el preu ja rebaixat. Un client té un cupó VIP que permet un descompte extra del $10\%$ sobre l'últim preu obtingut.

Aquest procés de tres descomptes és equivalent a un únic descompte del $60\%$? Justifica la resposta calculant l'índex de variació global i determina quin seria el preu inicial d'una dessuadora que acaba costant $39,20$ € després dels tres descomptes.

L'índex de preus dels lloguers en una gran ciutat va augmentar un $15\%$ l'any passat i s'espera que augmenti un altre $8\%$ enguany. Al mateix temps, el salari mitjà dels joves de la ciutat va augmentar un $2\%$ l'any passat i es preveu una pujada del $5\%$ per a enguany.

L'esquema resumeix les dades: parteix d'un índex $100$ a l'any 0 i mostra la pujada de cada any.

Calcula l'índex de variació global dels lloguers i dels salaris després dels dos anys. Utilitzant aquestes dades, determina en quin percentatge ha variat realment el poder adquisitiu d'un jove que dedica tot el seu salari exclusivament al pagament del lloguer.

Una cadena de supermercats anuncia una oferta de "3x2" en pots de detergent. Al mateix temps, el competidor directe ofereix la segona unitat a meitat de preu ($50\%$ de descompte en la segona unitat).

1. Calcula el percentatge de descompte real que suposa cadascuna de les ofertes en comprar el nombre mínim de pots necessaris per a aprofitar la promoció.

2. Si el preu original d'un pot a totes dues botigues és de $12$ €, quina oferta és més avantatjosa i quin és l'estalvi percentual de la millor respecte a la pitjor?

A causa de la inflació, el preu d'un model de consola de videojocs ha pujat un $25\%$ des del seu llançament. Per a promocionar les vendes al Black Friday, el comerç vol aplicar un descompte tal que el preu final sigui exactament el mateix que el preu original de llançament.

1. Quin percentatge de descompte ha d'aplicar el comerç sobre el preu inflat?

2. Si després d'aplicar aquest descompte el preu és de $450$ €, quin era el preu de la consola en el moment abans de la pujada per inflació?

Un inversor reparteix els seus estalvis en dos productes financers. En el Producte A inverteix el $60\%$ del seu capital i obté un benefici del $15\%$. En el Producte B inverteix la resta i pateix una pèrdua del $8\%$.

Calcula l'índex de variació global del seu capital total i el percentatge de guany o pèrdua neta. Si en finalitzar l'any el seu capital total ascendeix a $53.100$ €, quin era el seu capital inicial i quants diners va perdre específicament en el Producte B?

Una població de bacteris disminueix un $20\%$ cada hora a causa de l'aplicació d'un antibiòtic. Tanmateix, cada 3 hores, els bacteris supervivents desenvolupen una resistència que fa que el seu nombre augmenti de sobte un $10\%$. Si a l'inici de l'experiment hi havia un cultiu de $500.000$ bacteris, calcula quants bacteris hi haurà al cap de 6 hores i quin és l'índex de variació global de la població en aquest període de temps.

Una cooperativa agrària d'oli d'oliva verge extra va incrementar el preu en origen del seu producte un $30\,\%$ a la primera meitat de l'any a causa de la sequera. Per a la segona meitat de l'any, amb l'objectiu de recuperar vendes en el mercat nacional, la junta directiva necessita aplicar una variació percentual $x\,\%$ sobre el preu incrementat de manera que el preu final resultant suposi exactament un augment global del $10,5\,\%$ respecte al preu que tenia l'oli abans de començar l'any.\na) Planteja una equació basada en els índexs de variació que relacioni la pujada inicial, la variació desconeguda $x$ i l'índex global fixat.\nb) Resol l'equació, aclareix si la variació $x$ correspon a un augment o a una rebaixa i determina el seu percentatge exacte.\nc) Generalitza el raonament: si una magnitud experimenta un increment del $r\,\%$ ($r > 0$), dedueix algebraicament l'expressió del percentatge de rebaixa $d\,\%$ que s'ha d'aplicar a continuació sobre la quantitat resultant per recuperar de manera exacta la quantitat inicial.

Durant un bienni, la inflació interanual a Espanya (mesurada a través de l'IPC) va registrar un increment del $5,7\,\%$ el primer any i del $3,1\,\%$ el segon any. En aquest mateix període, el conveni laboral d'una empresa de transports va aplicar als seus empleats una pujada salarial del $4\,\%$ el primer any i del $2,5\,\%$ el segon any.\na) Modela matemàticament mitjançant índexs de variació tant l'evolució acumulada del cost de la vida (IPC) com l'evolució acumulada dels salaris.\nb) El poder adquisitiu salarial es modelitza mitjançant el quocient entre l'índex de variació del salari i l'índex de variació de l'IPC: $I_p = \frac{I_v^{\text{salari}}}{I_v^{\text{IPC}}}$. Justifica formalment si els treballadors han guanyat o perdut poder adquisitiu al final dels dos anys i calcula el percentatge exacte d'aquest guany o pèrdua.\nc) Si un empleat cobrava un sou mensual net de $1\,700\text{ €}$ abans d'iniciar-se aquest bienni, calcula quin hauria de ser el seu salari al final del tercer any per recuperar exactament el poder adquisitiu original, assumint que la previsió d'inflació per al tercer any és del $2\,\%$.