Exercicis: Progressions geomètriques

Un jove creador de contingut en una xarxa social observa que el nombre de reproduccions dels seus vídeos augmenta de manera constant. El primer dia va obtenir $200$ visualitzacions, el segon $600$, el tercer $1800$, i així successivament seguint una progressió geomètrica.

1. a) Determina la raó $r$ de la progressió.
2. b) Calcula quantes visualitzacions rebrà el sisè dia si es manté aquesta tendència.

Per comprar-se una bicicleta elèctrica, una estudiant decideix fer el «repte de l'estalvi setmanal»: guarda diners cada setmana de manera que cada lliurament sigui el doble de l'anterior. La primera setmana guarda $2$ €, la segona $4$ €, la tercera $8$ €, i així successivament.

1. a) Escriu el terme general $a_n$ d'aquesta progressió.
2. b) Utilitza la fórmula de la suma d'una progressió geomètrica per esbrinar quants diners haurà acumulat en total al cap de $8$ setmanes.

Un avi obre un compte d'estalvis per al seu nét acabat de néixer amb un capital inicial de $2000$ €. L'entitat bancària ofereix un interès simple anual del $2,5 \%$.

1. a) Calcula els interessos que generarà el compte al cap de $10$ anys.
2. b) A quant ascendirà el capital total acumulat després d'aquest període?

A causa de la inflació, el preu del lloguer d'una zona jove de la ciutat ha anat pujant un $4 \%$ cada any de manera acumulativa. Si el preu actual d'un estudi és de $650$ € al mes:

1. a) Quin serà el preu del lloguer d'aquí a $3$ anys?
2. b) Identifica els elements de la progressió geomètrica que modelitza aquesta situació (capital inicial $C_0$ i raó $r$).

Un banc ofereix un dipòsit a interès compost amb un rèdit anual del $3 \%$. Si ingressem $5000$ € i no realitzem cap altra aportació ni retirada:

1. a) Quin serà el capital final al cap de $4$ anys?
2. b) Quants diners haurem guanyat exclusivament en concepte d'interessos?

El valor de mercat d'un model de consola de videojocs es deprecia un $12 \%$ cada any que passa. Si el preu de llançament és de $499$ €:

1. a) Escriu els tres primers termes de la successió de preus anuals.
2. b) Calcula el valor de la consola després de $5$ anys.

Calcula el capital final que s'obtindria en invertir $1500$ € durant $2$ anys a un interès compost del $4 \%$ anual, si el període de capitalització dels interessos és mensual (és a dir, els interessos s'abonen cada mes).

Una empresa de missatgeria a Sevilla compra una furgoneta de repartiment elèctrica per un valor inicial de $28\,000$ €. L'empresa sap que aquest tipus de vehicles pateix una depreciació anual continuada del $12\,\%$ sobre el seu valor de l'any anterior. En Marcos, el comptable en pràctiques, calcula el valor del vehicle al cap de $4$ anys de la manera següent:

«Com que el vehicle perd un $12\,\%$ cada any, en $4$ anys haurà perdut un $4 \cdot 12\,\% = 48\,\%$ del seu valor original. Per tant, el valor comptable al cap de $4$ anys serà $28\,000 \cdot (1 - 0{,}48) = 14\,560$ €».

1. a) Explica amb les teves paraules l'error conceptual que comet en Marcos i per què el seu mètode confon el model lineal (interès simple) amb el procés geomètric de depreciació.
2. b) Modela el valor del vehicle com una progressió geomètrica: identifica el terme inicial $a_1$ (valor després del primer any), la raó $r$ i escriu el terme general $a_n$ que determina el valor del vehicle en finalitzar l'any $n$.
3. c) Calcula el valor comptable real de la furgoneta al cap de $4$ anys i determina en quants euros va sobreestimar o subestimar en Marcos el valor de l'actiu.

La Sofía ingressa $5\,000$ € en un compte a termini fix d'una entitat bancària espanyola que li garanteix un interès del $4\,\%$ anual compost, sense fer més aportacions ni retirades.

1. a) Estima, abans de realitzar cap càlcul analític amb logaritmes, quants anys aproximadament trigarà a acumular com a mínim $7\,000$ € (un increment del $40\,\%$ sobre el capital inicial). Per fer-ho, fes un càlcul mental aproximat considerant només l'interès simple del primer any i explica si el temps real amb interès compost serà una mica més gran o més petit que la teva estimació.
2. b) Planteja l'equació del capital final $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$ i aïlla-la utilitzant logaritmes per calcular el nombre exacte de períodes necessaris per assolir o superar els $7\,000$ €.
3. c) Compara el resultat analític amb la teva estimació inicial i justifica quin nombre enter d'anys ha d'esperar la Sofía per poder retirar, com a mínim, aquesta quantitat.

Una jove decideix invertir els seus estalvis de $2500 €$ en un producte financer que ofereix un interès compost del $3,2 \%$ anual.

1. a) Quin serà el capital final si els interessos es capitalitzen anualment durant 6 anys?
2. b) Quina seria la diferència si la capitalització fos mensual en lloc d'anual per a aquest mateix període de temps?

Un inversor analitza dos comptes d'estalvi diferents:

• Compte A: Ofereix un interès del $4 \%$ anual amb capitalització trimestral.

• Compte B: Ofereix un interès del $4,05 \%$ anual amb capitalització anual.

Determina raonadament, calculant la Taxa Anual Equivalent (TAE) del Compte A, quina de les dues opcions és més beneficiosa per a l'inversor.

Un petit emprenedor sol·licita un préstec de $15000 €$ per adquirir maquinària. El banc li concedeix el préstec a un interès del $5,5 \%$ anual, que ha de retornar en quotes mensuals iguals durant 4 anys.

1. a) Calcula l'import de la mensualitat que haurà d'abonar.
2. b) A quant ascendiran els interessos totals pagats en finalitzar el préstec?

Un estudiant universitari compra un ordinador portàtil d'última generació per $1200\ €$. S'estima que el valor de l'equip es deprecia un $15\,\%$ cada any de manera acumulativa.

1. a) Quin serà el valor de l'ordinador després de 3 anys d'ús?

1. b) Quants anys han de transcórrer perquè el valor de l'ordinador sigui inferior a la quarta part del seu preu original? (Utilitza logaritmes per al càlcul).

Una jove de 18 anys vol constituir un fons de $150000 €$ d'aquí a 20 anys, quan en compleixi 38, per a la paga i senyal d'un habitatge i muntar el seu propi negoci. Si l'entitat financera li garanteix un interès mitjà del $3,5 \%$ anual capitalitzable anualment:

Quina quantitat fixa hauria d'ingressar al començament de cada any per aconseguir el seu objectiu?

Donada la progressió geomètrica definida pels termes $a_2 = 12$ i $a_5 = 324$:

1. a) Troba la raó $r$ i el primer terme $a_1$.
2. b) Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió.
3. c) Seria possible calcular la suma dels seus infinits termes? Justifica la teva resposta.

Una família vol disposar d'un fons d'estalvi per als estudis universitaris del seu fill d'aquí a $4$ anys. Per a això, decideixen fer quatre aportacions constants de $a$ euros al començament de cadascun dels propers $4$ anys en un producte financer que rendeix a un interès garantit del $3{,}5\,\%$ anual compost. Al final del quart any, el saldo acumulat al fons és exactament de $10\,843{,}60$ €.

1. a) Escriu l'equació que modelitza aquest pla d'estalvi relacionant el capital final amb la quota anual $a$, basant-te en la suma dels termes d'una progressió geomètrica de raó $r = 1 + i$.
2. b) A partir de l'equació plantejada, aïlla i calcula el valor de l'aportació anual $a$.
3. c) Planteja la situació inversa: la família aporta exactament $2\,000$ € al començament de cada any durant $3$ anys i desitja acumular un capital final de $6\,500$ €. Escriu l'equació polinòmica en funció de la raó $r = 1+i$ que permetria calcular la taxa de rendibilitat anual $i$ requerida per assolir aquest objectiu.

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), un municipi de la comarca de la Serranía de Cuenca comptava amb $3\,200$ habitants empadronats a data d'$1$ de gener de $2020$. A causa de l'envelliment poblacional i la manca de relleu generacional, la seva població disminueix cada any a un ritme regular del $4\,\%$ respecte a la de l'any anterior.

1. a) Modela l'evolució de la població com una progressió geomètrica: determina la raó $r$, escriu el terme general $P_n$ que estima la població al cap de $n$ anys transcorreguts des de $2020$, i calcula la població prevista a $1$ de gener de $2025$.
2. b) Si aquesta tendència continua de manera constant, en quin any baixarà la població del municipi dels $2\,000$ habitants per primera vegada? Planteja la船inequació corresponent, resol-la aplicant logaritmes (parant una atenció especial a les propietats de les desigualtats en dividir per nombres negatius) i raona la resposta temporal.
3. c) Fent servir la fórmula de la suma dels termes d'una progressió geomètrica, calcula quants habitants haurà perdut el municipi en total des de l'$1$ de gener de $2020$ fins a l'$1$ de gener de $2030$.

Una jove emprenedora decideix obrir un compte d'estalvi per finançar el seu projecte d'una marca de roba sostenible d'aquí a 5 anys. Per a això, es compromet a ingressar $150$ € al principi de cada mes. L'entitat bancària li ofereix un interès nominal anual del $4,5\%$, amb capitalització mensual dels interessos.

Calcula el capital total que haurà acumulat quan finalitzin els 5 anys. Per resoldre-ho, has d'obtenir primer la taxa d'interès mensual equivalent i aplicar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió geomètrica (anualitat de capitalització).

Una família sol·licita un préstec hipotecari de $180.000$ € a retornar en 20 anys mitjançant quotes mensuals constants (sistema francès). El banc aplica un interès del $3,25\%$ anual. Això no obstant, el contracte inclou una clàusula de «carència parcial» durant els dos primers anys, en què la família només pagarà els interessos generats, sense amortitzar gens de capital.

1. a) Calcula la quota mensual que pagarà la família durant els dos primers anys (període de carència).
2. b) Calcula la quota mensual que hauran de pagar a partir del tercer any fins al final del préstec. Tingues en compte que en aquell moment el capital pendent continua sent l'inicial, però el temps restant ha disminuït.

Comparem dos productes d'inversió per a un capital de $10.000$ € durant 4 anys:

• Producte A: Interès compost anual del $5\%$.

• Producte B: Interès nominal del $4,8\%$ anual amb capitalització mensual d'interessos.

Determina quin dels dos productes és més rendible calculant la Taxa Anual Equivalent (TAE) de cadascun. Explica per què, tot i que el Producte B té un tipus d'interès nominal més baix, la freqüència de capitalització influeix en el resultat final.

Un col·leccionista d'art compra una escultura per $12.000$ €. S'estima que el seu valor augmentarà un $8\%$ cada any de manera constant. Al mateix temps, la inflació mitjana prevista per a la dècada vinent és del $2,5\%$ anual.

1. a) Quin serà el valor nominal de l'escultura al cap de 10 anys?
2. b) Quin serà el valor real de l'escultura un cop transcorreguts aquests 10 anys, expressat en «euros d'avui»? Per a això, has de deflactar el valor nominal utilitzant l'índex de preus derivat de la inflació (que també segueix una progressió geomètrica).

Un ajuntament vol renovar els sistemes d'il·luminació dels seus carrers per estalviar energia. El cost de l'obra és de $1.500.000$ €. Per pagar-lo, demana un préstec al $2,8\%$ d'interès anual que amortitzarà mitjançant 10 quotes anuals iguals.

Després de pagar la cinquena quota, l'ajuntament rep una subvenció europea i decideix cancel·lar el deute pendent d'un sol pagament. Calcula quants diners haurà de desborsar l'ajuntament en aquell moment per liquidar el préstec totalment.

Es deixa caure una pilota des d'una altura inicial de $10$ metres. En cada rebot, la pilota arriba a una altura igual als $2/3$ de l'altura del rebot anterior.

1. a) Quina altura aconseguirà després del sisè rebot?
2. b) Calcula la distància total recorreguda per la pilota (pujades i baixades) fins que, teòricament, s'atura. Utilitza la fórmula de la suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica decreixent, tenint en compte que, excepte la caiguda inicial, tots els trajectes es fan dues vegades (pujada i baixada).

Els avis de la Marta volen constituir un fons per costejar-li els estudis universitaris. El seu objectiu és que pugui rebre una renda mensual de $500$ € durant $4$ anys mentre estudia fora de casa. Suposant que el banc els garanteix un interès del $3\%$ anual compost durant tot aquest temps (període de percepció de la renda):

1. a) Quin capital haurien de tenir acumulat en el moment en què la Marta comenci la universitat per poder pagar aquesta renda? (Sugeriment: Tracta aquest problema com el càlcul del capital inicial d'un préstec on la quota mensual és la renda que rep).
2. b) Si encara falten $10$ anys perquè la Marta comenci la universitat i actualment no tenen res estalviat, quina quantitat mensual fixa haurien d'aportar a un compte d'estalvi que els ofereix un $4\%$ d'interès anual per aconseguir reunir el capital calculat en l'apartat anterior?

Per constituir un capital de $25\,000$ € destinat a l'entrada d'un habitatge a València, dues persones avaluen dos mètodes d'estalvi diferents en una entitat que ofereix una rendibilitat del $4\,\%$ anual compost:

• Estratègia A (Capital únic): Ingressar avui una quantitat fixa de $16\,000$ € i deixar que generi interessos sense fer noves aportacions.

• Estratègia B (Anualitats d'estalvi): Començar sense capital inicial i aportar una quota fixa de $2\,500$ € a l'inici de cada any.

1. a) Per a l'Estratègia A, planteja l'equació $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$, descriu el mètode algebraic per aïllar directament $n$ mitjançant logaritmes i calcula el nombre d'anys enters necessaris per superar l'objectiu.
2. b) Per a l'Estratègia B, formula l'equació a partir de la suma d'una progressió geomètrica per a aportacions prepagables: $\text{Capital final} = a \cdot (1+i) \cdot \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$. Explica detalladament per què en aquest cas no es poden aplicar logaritmes de manera immediata, descriu quines transformacions algebraiques prèvies són obligatòries per aïllar la potència $(1+i)^n$ i calcula quants anys enters calen per assolir l'objectiu.
3. c) Compara ambdós mètodes i justifica quina de les dues estratègies és més ràpida en el temps i quina exigeix un desemborsament total de diners menor sortit de la butxaca de l'estalviador.

Una cooperativa agrícola a Extremadura instal·la una planta fotovoltaica d'autoconsum per un import total de $120\,000$ €. La degradació de les plaques solars redueix gradualment l'energia produïda: el primer any genera un estalvi net de $15\,000$ €, i en els anys successius l'estalvi generat cada any disminueix un $5\,\%$ respecte a l'any immediatament anterior. La cooperativa ingressa íntegrament aquest estalvi en un compte d'amortització sense rendibilitat financera addicional per recuperar el cost del projecte.

1. a) Modela els estalvis anuals $A_n$ corresponents a l'any $n$ com una progressió geomètrica, indicant el primer terme $A_1$ i la raó $r$.
2. b) Escriu l'expressió de la suma acumulada $S_n$ després de $n$ anys de funcionament. A partir d'aquesta, analitza raonadament si la cooperativa arribarà a amortitzar completament la instal·lació ($120\,000$ €) en cas que la planta operi indefinidament, estudiant el comportament de la suma quan el nombre d'anys $n$ creix de manera indefinida ($n \to \infty$).
3. c) Suposa que l'empresa instal·ladora ofereix una garantia de reacondicionament que redueix la degradació anual al $2\,\%$ (és a dir, cada any rendeix un $2\,\%$ menys que l'anterior en lloc del $5\,\%$), mantenint l'estalvi inicial de $15\,000$ € el primer any. Modela la nova situació i determina, aïllant mitjançant logaritmes en l'equació de la suma geomètrica, quants anys trigarà la cooperativa a amortitzar la inversió de $120\,000$ €.