Exercicis: Amortització de préstecs

Per celebrar el final dels exàmens, un grup d'amics decideix finançar la compra d'un equip de so per al seu local valorat en $1500 \text{ €}$. El banc els ofereix un préstec a un tipus d'interès nominal anual del $6 \%$ que hauran de retornar en quotes mensuals durant un any. La figura resumeix la situació. Identifica els elements del préstec per poder aplicar la fórmula de la renda constant:

• Capital inicial ($C$)

• Nombre de pagaments anuals ($k$)

• Nombre total de quotes ($n$)

• Tipus d'interès mensual ($i$) expressat en tant per u.

Un estudiant de Batxillerat vol comprar-se una bicicleta elèctrica de muntanya que costa $2.400 \text{ €}$. L'establiment li ofereix un finançament al $4,8 \%$ d'interès nominal anual repartit en quotes mensuals. Calcula quin serà el tipus d'interès mensual ($i$) que s'aplicarà en cada quota i expressa'l tant en percentatge com en tant per un.

Marta ha demanat un préstec de $3.000 \text{ €}$ per pagar la seva matrícula universitària i els materials del curs. El banc li aplica el sistema d'amortització francès (quotes constants) amb un interès mensual del $0,5 \%$. Si la quota mensual és de $133,06 \text{ €}$, calcula quina quantitat de la primera quota correspon exclusivament al pagament d'interessos.

Lucas finança la seva nova consola d'última generació, que costa $600 \text{ €}$, en 12 mensualitats iguals. En acabar l'any, se n'adona que ha pagat un total de $636 \text{ €}$. Calcula:

1. a) L'import de la quota mensual.
2. b) El cost total dels interessos pagats durant tot el préstec.

Una acadèmia d'idiomes ofereix finançar el curs intensiu d'estiu ($900 \text{ €}$) mitjançant un préstec a 4 mesos sense interessos, però cobrant una comissió d'obertura de $25 \text{ €}$ en el primer pagament.

1. a) Quin serà l'import de les quotes del segon, tercer i quart mes?
2. b) Quant pagarà l'alumne el primer mes en total?

Donada la taula d'amortització incompleta següent d'un préstec per a una tauleta gràfica, calcula els valors que falten marcats amb lletres sabent que l'interès mensual és de l'$1 \%$:

Per comprar un ciclomotor de $2.000 \text{ €}$, Iratxe dona una entrada de $500 \text{ €}$ i finança la resta mitjançant quotes mensuals constants durant 2 anys. Si l'interès nominal anual és del $3 \%$, aplica la fórmula de l'anualitat d'amortització indicant clarament quin és el capital $C$ que realment finançarà.

Dibuixa una línia de temps que representi el procés d'amortització d'un préstec de $1.200 \text{ €}$ que es retorna en 4 quotes trimestrals.

Marca a la línia els instants 0, 1, 2, 3 i 4 (en trimestres). En l'instant 0 assenyala amb una fletxa cap amunt l'ingrés del préstec. En cada marca de temps (trimestre 1, 2, 3 i 4) dibuixa una fletxa cap avall i indica el nom que rep la quantitat fixa de diners que es paga al banc.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En David necessita comprar un equip informàtic per a la seva nova feina de dissenyador web i finança $1.800 \text{ €}$ a retornar en 18 mesos mitjançant quotes mensuals constants. La botiga li ofereix un finançament al $6 \%$ d'interès nominal anual ($\text{TIN}$). Per calcular quant pagarà al mes, en David realitza a la seva llibreta el següent plantejament:

En revisar la xifra, multiplica $166,24 \cdot 18 = 2.992,32 \text{ €}$ i s'alarma perquè creu que pagarà gairebé $1.200 \text{ €}$ en interessos per un préstec de tot just un any i mig.

1. a) Localitza l'error conceptual comès per en David en l'aplicació de la fórmula de la quota constant i explica per què el seu càlcul no és coherent amb les unitats temporals.
2. b) Corregeix el càlcul: determina el tipus d'interès mensual adequat $i$ i la quota mensual real $a$ que haurà de pagar (arredonida al cèntim).
3. c) Calcula el cost total real en interessos del préstec i compara el resultat amb la xifra errònia d'en David per explicar-li per què la seva intuïció sobre la desproporció dels interessos era correcta.

La Sofia adquirirà una motocicleta elèctrica per als seus desplaçaments urbans per un import de $4.800 \text{ €}$. Sol·licita un préstec bancari a retornar en 2 anys (24 mesos) mitjançant el sistema d'amortització francès a un tipus d'interès nominal anual ($\text{TIN}$) del $6 \%$.

1. a) Abans d'aplicar la fórmula financera, estima raonadament una cota inferior per a la quota mensual (calculant quant pagaria si l'interès fos del $0 \%$) i una cota superior aproximada (calculant l'interès simple total dels 2 anys sobre el capital inicial, sumant-lo a aquest i dividint entre els 24 mesos).
2. b) Utilitza la fórmula de la quota constant d'amortització per calcular el valor exacte de la mensualitat $a$ (amb precisió de cèntims).
3. c) Comprova si el resultat exacte cau dins del rang estimat a l'apartat a) i valora si és un resultat raonable. Tot seguit, calcula l'import total abonat en concepte d'interessos durant els 2 anys.

Per muntar un petit estudi d'enregistrament i començar el seu canal de YouTube, Marcos ha demanat un préstec de $4\,500$ € a retornar en 2 anys mitjançant quotes mensuals constants. El banc li aplica un interès nominal anual del $6\%$. Calcula la quantia de la mensualitat que ha de pagar Marcos.

Una jove emprenedora sol·licita un crèdit de $12\,000$ € per comprar una furgoneta de segona mà per al seu negoci de repartiment. El préstec s'amortitzarà en 4 anys amb pagaments trimestrals i un interès anual del $8\%$. Determina la part de la primera quota que correspon al pagament d'interessos i quina quantitat es destina realment a amortitzar el deute.

Un grup d'amics decideix comprar una taula de mescles professional que costa $1\,800$ €. Paguen $300$ € al comptat i financen la resta a un interès del $10\%$ anual (nominal, amb període de capitalització mensual, és a dir, un tipus mensual $i=\frac{0{,}10}{12}$) per tornar-ho en 6 mesos amb quotes mensuals constants.

Recorda que la quota constant $a$ que amortitza un capital $C$ en $n$ períodes amb tipus $i$ per període és:

$a = C\cdot\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$

Elabora les dues primeres files de la taula d'amortització, indicant en cadascuna: capital pendent, interessos del període, capital amortitzat i quota mensual. Arrodoneix a cèntims.

Per finançar un viatge de fi de curs, una associació d'alumnes demana un préstec de $3\,000$ € al $5\%$ d'interès anual compost. L'acord consisteix a retornar-ho en un únic pagament al cap de 18 mesos. A quant ascendiran els interessos totals? Si haguessin optat per amortitzar-ho mensualment durant aquest mateix temps, pagarien més o menys interessos en total? Raona la teva resposta sense necessitat de calcular la taula completa.

Calcula el capital pendent d'un préstec de $20\,000$ € sol·licitat al $4\%$ anual després d'haver pagat 12 quotes mensuals. El préstec es va concedir per un total de 5 anys. (Pista: El capital pendent és el valor actual de les quotes que queden per pagar).

Un videoclub vol renovar les seves pantalles i sol·licita un crèdit de $6\,000$ € al $9\%$ anual a retornar en 3 anys amb mensualitats constants. El contracte inclou una comissió per cancel·lació anticipada del $1\%$ sobre el capital pendent. Si en acabar el segon any decideixen liquidar el deute restant, quin serà l'import total que hauran de pagar en aquell moment (capital pendent més comissió)?

Comparem dos préstecs per comprar una moto de $3\,500$ €:

• Opció A: Amortització mensual durant 2 anys al $6\%$ anual nominal.

• Opció B: Amortització trimestral durant 2 anys al $6,2\%$ anual nominal.

Calcula la quota de cada opció i determina en quina de les dues s'acaben pagant més interessos al final dels dos anys.

Donada la fila següent d'una taula d'amortització d'un préstec al $12\,\%$ anual amb pagaments mensuals (l'interès mensual es calcula dividint el tipus anual entre $12$, és a dir, l'$1\,\%$ mensual):

• Mes: $10$

• Deute inicial del mes: $14\,250,80$ €

• Quota mensual: $450$ €

Calcula:

1. a) L'interès del mes $10$ (arrodoneix a cèntims).

1. b) El capital amortitzat en aquest mes.

1. c) El deute pendent en començar el mes $11$.

En l'extracte bancari d'un préstec personal subjecte al sistema d'amortització francès amb quotes mensuals constants, s'han esborrat diverses línies per una fallada d'impressió. Tanmateix, a l'historial s'aprecien amb nitidesa les dades de dos mesos consecutius:

• Al mes 5, la part de la quota destinada a amortització de capital va ser $A_5 = 245,60 \text{ €}$.

• Al mes 6, la part de la quota destinada a amortització de capital va ser $A_6 = 246,828 \text{ €}$.

• L'import de la quota fixa mensual que abona el client és de $320,00 \text{ €}$.

1. a) Sabent que les amortitzacions de capital segueixen la relació $A_{k+1} = A_k \cdot (1+i)$, dedueix el tipus d'interès mensual $i$ i el tipus d'interès nominal anual ($\text{TIN}$) del préstec.
2. b) A partir de la quota fixa mensual i d'$A_5$, troba la quantitat destinada al pagament d'interessos al mes 5 ($I_5$) i calcula el capital viu pendent de pagament al final del mes 4 ($C_4$).
3. c) Determina la quantia d'amortització de capital del primer mes ($A_1$) i dedueix el capital total prestat a l'inici ($C_0$).

Segons les dades de l'Estadística d'Hipoteques de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), l'import mitjà dels préstecs hipotecaris per a la compra d'habitatge a Espanya se situa al voltant dels $144.000 \text{ €}$, amb un termini mitjà d'amortització de 24 anys a un tipus d'interès nominal anual ($\text{TIN}$) fix del $3,6 \%$ mitjançant quotes mensuals constants.

1. a) Modela la hipoteca mitjana descrita: calcula el tipus d'interès mensual $i$, el nombre total de pagaments $n$ i la mensualitat constant $a$ que abona el comprador.
2. b) Desglossa el primer pagament mensual ($k=1$): calcula quant es destina a pagar interessos ($I_1$) i quant a amortitzar capital prestat ($A_1$). Determina quin percentatge de la primera quota correspon a interessos i quin percentatge amortitza deute directament.
3. c) El Banc d'Espanya recomana que la quota hipotecària mensual no sobrepassi el $35 \%$ dels ingressos nets familiars. Determina quins han de ser els ingressos nets mínims mensuals d'una llar per poder contractar aquesta hipoteca mitjana complint aquest criteri de prudència financera.

Una jove emprenedora de 24 anys decideix obrir un estudi de disseny gràfic. Per adquirir l'equipament necessari (ordinadors d'alta gamma, llicències de programari i mobiliari), sol·licita un préstec a una entitat financera que ha de retornar en 5 anys mitjançant quotes mensuals constants de $425,50 \text{ €}$. L'entitat li aplica un tipus d'interès nominal anual del $5,4 \%$.

Calcula el capital inicial que el banc li ha concedit per posar en marxa el seu negoci. Arrodoneix el resultat als cèntims d'euro.

Un estudiant universitari vol comprar un cotxe de segona mà que costa $9.500 \text{ €}$. Disposa d'uns estalvis, però necessita finançar els $7.000 \text{ €}$ restants. El banc li ofereix un préstec personal al $6,75 \%$ d'interès anual. L'estudiant analitza el seu pressupost i conclou que només pot destinar un màxim de $180 \text{ €}$ al mes per al pagament de la quota.

Utilitzant logaritmes, determina quants mesos trigarà com a mínim a retornar el préstec perquè la quota no superi el seu límit de $180 \text{ €}$.

Una família contracta una hipoteca de $160.000 \text{ €}$ a un termini de 20 anys amb un tipus d'interès fix del $3,25 \%$ anual i pagaments mensuals. Després d'exactament 10 anys pagando les quotes puntualment, reben una herència i es plantegen cancel·lar el deute pendent.

Calcula la composició de la quota número 121, indicant quina part correspon al pagament d'interessos i quina part a l'amortització del capital.

Una empresa de tecnologia logística sol·licita un préstec de $250.000 \text{ €}$ per renovar la seva flota de vehicles elèctrics. El préstec es pacta a un interès del $4,5 \%$ anual amb pagaments trimestrals durant 6 anys. L'entitat financera els concedeix un període de carència total de 6 mesos (durant els dos primers trimestres no es fa cap pagament, però els interessos s'acumulen al capital inicial).

Calcula la quantia de les quotes trimestrals que hauran d'abonar a partir del tercer trimestre fins a finalitzar el préstec.

Comparem dues modalitats de préstec per finançar una reforma de $30.000 \text{ €}$ a retornar en 4 anys amb pagaments mensuals:

• Opció A: Interès nominal anual del $5 \%$ sense comissions inicials.

• Opció B: Interès nominal anual del $4,2 \%$ però amb una comissió d'obertura del $1,5 \%$ sobre el capital sol·licitat, que es paga al comptat en el moment de la signatura.

Calcula el cost total de cada opció (suma de totes les quotes més comissions) i determina quina és més avantatjosa per al client.

Un préstec hipotecari de $200.000 \text{ €}$ es formalitza a un termini de 25 anys amb quotes mensuals. Durant els dos primers anys, el tipus d'interès és fix al $2,5 \%$ anual. A partir de l'inici del tercer any, l'interès passa a ser variable, de $4,75 \%$ anual.

Calcula quant s'incrementarà la quota mensual de la família a partir del tercer any a causa d'aquesta pujada del tipus d'interès.

Un autònom sol·licita un microcrèdit de $12.000 \text{ €}$ al $8 \%$ anual per ser retornat en 3 anys mitjançant quotes semestrals. Després del primer any (després de pagar la segona quota), decideix fer una amortització anticipada de $3.000 \text{ €}$ per reduir el deute. El banc li permet triar entre reduir el temps del préstec o reduir l'import de les quotes restants.

Si opta per reduir l'import de la quota mantenint el termini de 3 anys original, calcula quin serà el nou import de la quota semestral.

Sigui un préstec de capital $D$ a retornar en $n$ períodes amb un interès per període $i$. Demostra de forma raonada, utilitzant la progressió geomètrica dels capitals pendents, que si l'interès fos del $0 \%$ ($i=0$), la fórmula de la quota constant $a$ es simplifica a la divisió aritmètica simple: $a = \frac{D}{n}$.

Nota: Per a la demostració, utilitza el límit de la fórmula de la renda constant quan $i$ tendeix a zero o analitza la suma de termes de l'amortització.

L'Elena va subscriure fa 4 anys un préstec de $50.000 \text{ €}$ al $4,8 \%$ de $\text{TIN}$ anual a retornar en 10 anys (120 quotes mensuals constants de $525,45 \text{ €}$). Just després d'abonar la quota 48, el capital viu pendent de devolució és de $32.808,16 \text{ €}$. L'Elena rep uns diners extraordinaris i amortitza anticipadament $10.000 \text{ €}$, reduint el seu deute pendent a $22.808,16 \text{ €}$. El banc li ofereix dues opcions per als 6 anys restants (72 períodes):

• Opció A: Mantenir el termini previst (72 mesos restants) i reduir l'import de la quota mensual.

• Opció B: Mantenir la quota original de $525,45 \text{ €}$ i escurçar el termini d'amortització restant.

1. a) Calcula l'import de la nova quota mensual en l'Opció A.
2. b) En l'Opció B, planteja l'equació de la quota i aïlla mitjançant logaritmes el nombre de mesos que trigarà a liquidar el deute restant mantenint la quota de $525,45 \text{ €}$. Arrodoneix al nombre enter de mesos per excés.
3. c) Calcula el cost total en interessos que pagarà l'Elena en el que queda de préstec en cadascuna de les dues opcions. Justifica quin dels dos mètodes és financerament més avantatjós pel que fa a estalvi d'interessos i raona en quines circumstàncies personals podria ser convenient triar l'altra opció.

En el sistema d'amortització francès amb quota constant $a$, a l'inici la major part de cada quota es destina a cobrir interessos i molt poc a amortitzar capital, però aquesta relació s'inverteix progressivament a mesura que el deute decreix.

En Carlos i la Lucía sol·liciten una hipoteca de $120.000 \text{ €}$ a un $\text{TIN}$ del $4,8 \%$ anual amb quotes mensuals durant 20 anys ($n = 240$ mesos).

1. a) Demostra analíticament que la primera quota d'amortització de capital es pot expressar com a $A_1 = a \cdot (1+i)^{-n}$, partint de la relació $I_1 = C_0 \cdot i$ i de la fórmula de la quota constant $a$.
2. b) Perquè l'amortització de capital superi per primera vegada els interessos en un mes determinat $k$, s'ha de complir que $A_k > \frac{a}{2}$. Utilitzant l'expressió $A_k = A_1 \cdot (1+i)^{k-1}$ i el resultat de l'apartat a), planteja la inequació corresponent i aïlla analíticament amb logaritmes la condició sobre $k$. Determina en quin any i mes del préstec es produeix exactament aquest encreuament.
3. c) Analitza l'expressió obtinguda per a $k$ a l'apartat b): depèn el mes d'encreuament del capital inicial prestat $C_0$? Si haguessin contractat la hipoteca a 30 anys ($n = 360$ mesos) al mateix tipus d'interès, calcula en quin mes tindria lloc l'encreuament i explica quina conseqüència financera té allargar el termini sobre el temps durant el qual es paguen majoritàriament interessos.