Exercicis: Estadística descriptiva unidimensional

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials en un institut, s'han identificat les variables següents. Classifica cadascuna com a qualitativa, quantitativa discreta o quantitativa contínua:

1. a) Xarxa social preferida (TikTok, Instagram, Twitter, etc.).
2. b) Nombre de seguidors al compte principal.
3. c) Temps diari (en minuts) d'ús del telèfon mòbil.
4. d) Marca del dispositiu mòbil (Apple, Samsung, Xiaomi, etc.).
5. e) Qualificació numèrica obtinguda a l'últim examen de Matemàtiques.

Un ajuntament vol conèixer l'opinió dels adolescents sobre les noves pistes de skate de la ciutat. Per a això, selecciona a l'atzar $200$ joves d'entre $14$ i $18$ anys que van als centres juvenils dels diferents barris.

Indica quina és la població objecte d'estudi i quina és la mostra triada. Creus que la mostra és representativa si només es pregunta als centres juvenils?

S'ha preguntat a un grup de $20$ estudiants de 1r de Batxillerat quants llibres han llegit per plaer durant l'últim any. Les dades obtingudes són les següents:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5$

Organitza aquestes dades en una taula de freqüències que inclogui la freqüència absoluta ($n_i$), la freqüència relativa ($f_i$) i la freqüència absoluta acumulada ($N_i$).

Observa el gràfic següent que representa l'esport preferit d'un grup d'alumnes del teu curs:

A partir del diagrama de barres:

1. a) Quina és la moda d'aquesta distribució?
2. b) Quants alumnes prefereixen el bàsquet o la natació en total?
3. c) Si en total es va enquestar $30$ alumnes, quants van triar la natació (sabent que la barra arriba a la meitat entre 4 i 8)?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Les notes obtingudes per $7$ amics en un treball d'Economia són:

$6,5; \quad 8,0; \quad 4,5; \quad 7,0; \quad 9,5; \quad 6,5; \quad 5,0$

Calcula la mitjana aritmètica ($\bar{x}$) i la mediana ($Me$) de les qualificacions.

En una competició de videojocs, s'han registrat els temps (en segons) que triguen els participants a completar el primer nivell. Com que és una variable contínua, les dades s'han agrupat en intervals:

Temps (s)	Freqüència ($n_i$)
$[30, 40)$	$12$
$[40, 50)$	$25$
$[50, 60)$	$18$
$[60, 70)$	$5$

Calcula les marques de classe ($x_i$) de cada interval i determina la mida total de la mostra ($N$).

S'ha realitzat una enquesta sobre el nombre de germans que tenen els alumnes d'una classe. La taula de freqüències absolutes acumulades ($N_i$) és la següent:

Núm. de germans ($x_i$)	$N_i$
$0$	$6$
$1$	$18$
$2$	$26$
$3$	$30$

Respon a les preguntes següents raonant la teva resposta:

1. a) Quants alumnes són fills únics?
2. b) Quants alumnes tenen exactament $2$ germans?
3. c) Quin és el nombre total d'alumnes a la classe?

Un grup de música vol saber en quin format prefereixen escoltar les seves cançons els seus seguidors. Han elaborat un diagrama de sectors amb els resultats de $400$ enquestes:

Si el $10 \%$ dels seguidors prefereix el format físic, el $30 \%$ la descàrrega digital i el $60 \%$ el streaming:

1. a) Calcula la freqüència absoluta de seguidors que prefereixen cada format (sabent que $N=400$).

1. b) Quina és la freqüència relativa ($f_i$) del format streaming?

La figura mostra l'histograma de les notes d'un examen de matemàtiques puntuat sobre $50$.

1. a) Quants alumnes van treure menys de $20$ punts?

1. b) Quin és l'interval amb més alumnes?

1. c) Quants alumnes van fer l'examen en total?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra les hores de son declarades pels alumnes d'una classe.

1. a) Construeix la taula de freqüències absolutes a partir del gràfic.

1. b) Quin percentatge d'alumnes dorm $8$ hores o més?

1. c) Quina és la moda de la distribució?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un grup d'investigadors ha realitzat una enquesta a 40 estudiants de Batxillerat sobre el nombre d'hores setmanals que dediquen a veure contingut en plataformes de streaming. Les dades recollides són les següents:

$12, 15, 10, 8, 12, 14, 20, 18, 15, 12, 10, 9, 14, 15, 12, 18, 22, 15, 12, 10,$

$14, 16, 12, 15, 18, 12, 10, 14, 15, 12, 16, 14, 12, 15, 10, 18, 12, 14, 15, 12$

1. a) Classifica la variable estadística estudiada.

1. b) Elabora una taula de freqüències que inclogui freqüències absolutes, relatives, acumulades i relatives acumulades.

1. c) Representa les dades mitjançant un diagrama de barres (hores setmanals a l'eix horitzontal i freqüència absoluta a l'eix vertical).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de telefonia ha mesurat la durada (en minuts) de 50 trucades realitzades durant el matí. Com que és una variable contínua, s'han agrupat les dades en els intervals següents:

Durada (min)	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$
N.º de trucades	$12$	$18$	$10$	$7$	$3$

1. a) Calcula la marca de classe de cada interval.
2. b) Calcula la mitjana aritmètica i la desviació típica de la durada de les trucades.
3. c) Quin percentatge de trucades duren 10 minuts o més?

S'ha realitzat un examen d'accés a un cicle formatiu i les notes obtingudes pels aspirants es resumeixen en la taula de freqüències acumulades següent:

Nota ($x_i$)	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Freq. Acumulada ($N_i$)	$4$	$10$	$25$	$42$	$56$	$64$	$70$

1. a) Quants alumnes van fer l'examen?
2. b) Calcula la mediana, el primer quartil i el tercer quartil. Explica el significat del tercer quartil en aquest context.
3. c) Calcula el percentil 40 ($P_{40}$) i interpreta'l.

Dos jugadors de bàsquet, l'Alba i el Bruno, han anotat les quantitats de punts següents en els seus últims 8 partits:

• Alba: $18, 22, 15, 20, 25, 14, 19, 23$

• Bruno: $20, 21, 19, 22, 20, 20, 21, 17$

El diagrama de punts següent mostra les dades dels dos jugadors (cada punt és un partit):

1. a) Calcula la mitjana i el rang de punts de cada jugador.
2. b) Calcula la desviació típica dels dos.
3. c) Utilitza el coeficient de variació per determinar quin dels dos jugadors és més regular en les seves anotacions. Justifica la teva resposta.

A partir del diagrama de caixa (box-plot) següent, que representa el temps de reacció (en mil·lisegons) d'un grup de persones davant d'un estímul visual:

1. a) Identifica els valors corresponents al mínim, màxim, $Q_1$, $Q_2$ (mediana) i $Q_3$, sabent que l'escala és lineal i els extrems de la caixa estan a $210$ i $290$.
2. b) Calcula el rang interquartílic i interpreta'l.
3. c) Es pot afirmar que el $50\%$ de la població té un temps de reacció superior a la mediana? Justifica la resposta.

En una empresa petita, el sou mitjà dels 10 empleats és de $1450$ € mensuals amb una desviació típica de $120$ €. A causa dels bons resultats de l'any, la direcció decideix aplicar un augment lineal a tots els treballadors consistent en una part fixa de $50$ € i una part variable del $3\%$ sobre el sou base actual ($y_i = 1,03 \cdot x_i + 50$).

1. a) Calcula quin serà el nou sou mitjà de la plantilla.
2. b) Calcula la nova desviació típica.
3. c) Ha variat el coeficient de variació? Justifica matemàticament com afecten aquestes transformacions a la dispersió relativa.

S'ha realitzat un estudi sobre el nombre de fills en una mostra de famílies d'un barri. S'han perdut algunes dades de la taula de freqüències:

N.º de fills ($x_i$)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Freq. absoluta ($n_i$)	$8$	$a$	$12$	$b$	$2$
Freq. relativa ($f_i$)	$0,20$	$0,35$	$c$	$d$	$0,05$

1. a) Troba la mida de la mostra ($N$).
2. b) Calcula els valors de $a, b, c$ i $d$ per completar la taula.
3. c) Determina la moda i la mediana del nombre de fills.

Es vol comparar l'homogeneïtat dels preus dels menús diaris en dues zones distintes d'una ciutat. Les dades obtingudes (en euros) són:

• Zona A: $12, 13, 12, 15, 14, 12, 16, 11$

• Zona B: $9, 10, 18, 15, 11, 14, 10, 21$

1. a) Calcula la mitjana i la desviació típica dels preus a cada zona.
2. b) En quina zona els preus estan més dispersos en termes absoluts (desviació típica)?
3. c) En quina zona són els preus més heterogenis en termes relatius? Utilitza el coeficient de variació per comparar totes dues distribucions.

Les edats dels socis d'un club de senderisme s'agrupen en la taula: $[10, 20)$: $5$; $[20, 30)$: $12$; $[30, 40)$: $18$; $[40, 50)$: $10$; $[50, 60]$: $5$.

1. a) Construeix la taula completa amb marques de classe i freqüències acumulades.

1. b) Dibuixa l'histograma i el polígon de freqüències.

1. c) Calcula l'edat mitjana fent servir les marques de classe i indica l'interval modal i l'interval on cau la mediana.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra el diagrama de caixa i bigotis dels temps de reacció d'un grup de pilots de simulador.

1. a) Llegeix al gràfic el mínim, el màxim, els quartils i la mediana, i calcula el rang i el rang interquartílic.

1. b) Entre quins dos valors es concentra el $50 \%$ central de les dades? Quin percentatge de dades hi ha per sota de $Q_1$?

1. c) Atesa la posició de la mediana dins de la caixa i la longitud dels bigotis, la distribució sembla simètrica o asimètrica? Cap a on?

El consum elèctric mensual (en kWh) de $40$ habitatges s'agrupa així: $[100, 150)$: $4$; $[150, 200)$: $9$; $[200, 250)$: $14$; $[250, 300)$: $8$; $[300, 350]$: $5$.

1. a) Calcula el consum mitjà mensual fent servir les marques de classe.

1. b) Indica l'interval modal i l'interval de la mediana, i estima la mediana suposant que les dades es reparteixen uniformement dins del seu interval.

1. c) La companyia elèctrica afirma que «la meitat dels habitatges consumeix menys de $225$ kWh». És compatible amb les dades? Justifica-ho amb la teva estimació de la mediana.

En una prestigiosa acadèmia d'e-sports, l'equip d'analistes estudia el temps de reacció (en mil·lisegons) de 50 jugadors professionals. En revisar l'informe final, s'adonen que una taca de cafè ha esborrat part dels registres de la taula de freqüències. Només es conserven les dades següents: la mitjana aritmètica de la distribució és $\bar{x} = 182$ ms, la desviació típica és $\sigma = 12$ ms i es sap que el temps de reacció segueix una distribució aproximadament simètrica. Si es decideix afegir un nou jugador el temps de reacció del qual és de $160$ ms, raona matemàticament com variarà el coeficient de variació de la mostra original i determina el valor exacte de la nova variància després de la incorporació d'aquesta dada.

Un servei de lloguer de bicicletes urbanes revisa els seus costos. El cost de manteniment mensual $C$ per bicicleta depèn del nombre de quilòmetres recorreguts $x$ segons la funció lineal $C(x) = 0,15x + 40$. En l'últim mes, el quilometratge mitjà de la seva flota de 25 bicicletes va ser de $1200$ km amb una variància de $14400$ km$^2$.

1. a) Calcula el cost mitjà mensual de manteniment i la seva desviació típica.
2. b) A causa d'una pujada en el preu dels recanvis, l'empresa decideix aplicar un recàrrec fix de $10$ € extra a cada bicicleta i, a més, el cost variable per quilòmetre augmenta un $20\%$. Quin serà el nou coeficient de variació dels costos de manteniment?

S'ha realitzat un estudi sobre la despesa setmanal en oci dels estudiants d'un institut. Les dades es presenten agrupades en intervals de la mateixa amplitud en la taula següent, però falten les freqüències absolutes de dos intervals mitjans ($n_2$ i $n_3$):

Despesa (€)	$x_i$ (Marca de classe)	$n_i$
$[0, 20)$	$10$	$8$
$[20, 40)$	$30$	$n_2$
$[40, 60)$	$50$	$n_3$
$[60, 80)$	$70$	$12$

Sabent que la mida de la mostra és $N = 60$ i que la mitjana aritmètica de la despesa és $\bar{x} = 44$ €, calcula els valors de $n_2$ i $n_3$. Una vegada completada la taula, determina el valor exacte de la mediana mitjançant interpolació lineal.

Un nutricionista analitza el contingut de sucre (en grams per cada 100 ml) de dues marques de refrescos "zero", A i B. Els resultats es resumeixen en els diagrames de caixa (box-plot) següents. Llegeix els valors sobre l'escala de l'eix horitzontal.

Observant els gràfics:

1. a) Quina de les dues marques presenta una distribució més dispersa en el $50\%$ central de les seves dades? Justifica la teva resposta calculant el rang interquartílic de cada marca a partir de l'escala del gràfic.

1. b) Si la marca A presenta una mitjana de $0,5$ g i la marca B una mitjana de $0,8$ g, i totes dues tenen desviacions típiques idèntiques, quina de les dues és més "fiable" o constant en la seva producció? Utilitza el paràmetre estadístic adequat per comparar ambdues marques.

En una competició de tir amb arc, es registren les puntuacions de dues arqueres, Elena i Sofía, després de 40 llançaments. L'Elena té una puntuació mitjana de $8,2$ amb una desviació típica de $1,3$. La Sofía presenta les freqüències acumulades següents de les seves puntuacions: el $25\%$ dels seus tirs van ser de $7$ punts o menys, el $50\%$ de $8$ punts o menys, i el $75\%$ de $9$ punts o menys.

1. a) Suposant que les puntuacions de la Sofía segueixen una distribució aproximadament normal (en què $\sigma \approx \frac{RIC}{1,35}$), determina raonadament quina de les dues arqueres és més regular.
2. b) Si per guanyar un torneig es requereix que almenys el $30\%$ dels llançaments siguin de puntuació $10$, i sabem que l'Elena ha obtingut un $10$ en $12$ ocasions, compleix l'Elena el requisit? Es pot saber si la Sofía el compleix amb les dades dels seus quartils?

Un ajuntament analitza el consum d'aigua per llar mitjançant un histograma de freqüències relatives. A causa de la naturalesa de les dades, els intervals tenen amplitud diferents: $[0, 10)$, $[10, 20)$ i $[20, 40)$ metres cúbics mensuals. Les altures dels rectangles de l'histograma (densitat de freqüència) són $0,03$; $0,04$ i $0,015$ respectivament.

1. a) Calcula la freqüència relativa de cada interval.
2. b) Quin és el consum mitjà per llar en aquest municipi?
3. c) Determina el valor del percentil $80$ i interpreta el seu significat en el context de l'estalvi d'aigua.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un inversor analitza la rendibilitat diària de dos criptoactius durant un mes ($30$ dies). L'actiu $X$ té una mitjana de rendibilitat del $2\%$ i una variància del $9\%$. L'actiu $Y$ té una rendibilitat diària que es pot resumir així: $10$ dies va perdre un $1\%$, $15$ dies va guanyar un $3\%$ i $5$ dies va guanyar un $5\%$.

1. a) Calcula la rendibilitat mitjana i la desviació típica de l'actiu $Y$.
2. b) Utilitzant el coeficient de variació, determina quin dels dos actius és més volàtil (menys predictible).
3. c) Si l'inversor decideix crear una cartera combinada amb el $60\%$ del capital en l'actiu $X$ i el $40\%$ en l'actiu $Y$, quina seria la rendibilitat mitjana esperada de la cartera?

Es disposa d'una sèrie de 10 dades numèriques la mitjana de les quals és $\bar{x} = 15$ i la variància de les quals és $s^2 = 20$. Per un error de transcripció, una de les dades que era un $12$ es va anotar com un $22$.

1. a) Calcula la mitjana real del conjunt de dades després de corregir l'error.
2. b) Calcula el valor exacte de la variància real del conjunt. (Pista: Utilitza la relació entre la variància i la suma dels quadrats de les dades, $\sum x_i^2$).

Una cadena de botigues vol presumir de vendes i elabora dos gràfics amb les mateixes dades trimestrals: al panell A l'eix vertical comença a $0$ i al panell B està truncat.

1. a) Calcula la variació percentual real de les vendes entre el primer i el tercer trimestre.

1. b) Quin efecte visual produeix l'eix truncat del panell B? En què es diferencia de la impressió que dona el panell A?

1. c) Quin dels dos gràfics usaries en un informe honest per als accionistes? I quina versió podria usar un competidor per alarmar el mercat? Justifica totes dues respostes.

Els temps d'espera (en minuts) de $15$ pacients en un centre de salut han sigut: $5, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 42$.

1. a) Calcula la mediana i els quartils primer i tercer.

1. b) Dibuixa el diagrama de caixa i bigotis corresponent, indicant els valors usats.

1. c) Aplica la regla de $1,5$ vegades el rang interquartílic per decidir si hi ha dades atípiques, i interpreta què pot representar aquesta dada en la realitat del centre de salut.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues botigues del mateix barri enregistren les seves vendes diàries (en euros) durant $40$ dies, agrupades en intervals:

• Botiga A: $[500, 700)$: $6$ dies; $[700, 900)$: $14$ dies; $[900, 1.100)$: $12$ dies; $[1.100, 1.300)$: $8$ dies.

• Botiga B: $[500, 700)$: $14$ dies; $[700, 900)$: $4$ dies; $[900, 1.100)$: $4$ dies; $[1.100, 1.300)$: $18$ dies.

1. a) Calcula, fent servir les marques de classe, la mitjana diària de vendes de cada botiga.

1. b) Calcula la desviació típica de cada distribució (amb marques de classe) i el seu coeficient de variació.

1. c) Un inversor vol comprar una de les dues botigues i el preocupa l'estabilitat dels ingressos. Quina li recomanaries? Justifica-ho amb els paràmetres calculats.