Exercicis: Estadística descriptiva bidimensional

En l'estudi de les relacions entre dues variables, és fonamental distingir si existeix una dependència exacta o una relació estadística. Indica en quins dels casos següents la relació és funcional (existeix una fórmula exacta) i en quins és estadística (existeix una tendència però amb variabilitat):

• a) El nombre de litres de gasolina repostats en una benzinera i el cost total a pagar.

• b) La nota obtinguda en un examen de Matemàtiques i el nombre d'hores que l'alumne ha dedicat a estudiar aquella setmana.

• c) El temps que roman encesa una bombeta de baix consum i la despesa energètica registrada pel comptador.

• d) L'alçada d'una persona i el número de calçat que utilitza.

• e) La temperatura màxima diària en una ciutat i el nombre de gelats venuts en un quiosc d'aquesta mateixa ciutat.

S'ha realitzat una enquesta a 10 estudiants de 1r de Batxillerat sobre el nombre d'hores setmanals que dediquen a fer esport ($X$) i la seva freqüència cardíaca en repòs ($Y$). Els resultats s'han representat en el núvol de punts següent:

Observant el gràfic, respon a les qüestions següents:

• a) La correlació entre les variables és positiva o negativa? Explica què significa això en el context del problema.

• b) Creus que la correlació és forta o feble? Justifica la teva resposta basant-te en la proximitat dels punts a una possible línia recta.

Un grup de 20 adolescents ha estat classificat segons el seu hàbit de lectura (Lector freqüent / No lector) i la seva preferència pel format de llibres (Paper / Digital). Les dades obtingudes són:

• 8 són lectors freqüents i prefereixen el format paper.

• 4 són lectors freqüents i prefereixen el format digital.

• 2 no són lectors però prefereixen el format paper.

• 6 no són lectors i prefereixen el format digital.

Organitza aquesta informació en una taula de freqüències conjuntes (taula de contingència), incloent-hi els totals marginals a les files i columnes.

A partir de la taula de contingència següent que mostra el tipus de dispositiu principal utilitzat per estudiar i el curs de l'alumne (4t d'ESO o 1r de Batxillerat), respon a les preguntes plantejades:

Curs / Dispositiu	Tauleta	Portàtil	Mòbil	Total
4t d'ESO	12	15	8	35
1r de Batxillerat	10	25	5	40
Total	22	40	13	75

• a) Quina és la freqüència absoluta conjunta dels alumnes que estan a 1r de Batxillerat i utilitzen principalment el portàtil?

• b) Determina la freqüència marginal dels alumnes que utilitzen Tauleta.

• c) Quants alumnes en total han participat en l'estudi?

• d) Quin percentatge dels alumnes totals són de 4t d'ESO?

Associa cadascun dels valors següents del coeficient de correlació lineal de Pearson, $r$, amb el gràfic que millor el representi:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

S'ha obtingut la recta de regressió que relaciona el temps d'ús diari d'una xarxa social en minuts ($X$) amb el nivell de bateria consumit en percentatge ($Y$). L'equació de la recta és:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Estima el percentatge de bateria consumit si un usuari utilitza la xarxa social durant $120$ minuts.

• b) Si el coeficient de correlació lineal és $r = 0,92$, creus que l'estimació anterior és fiable? Justifica la teva resposta.

Donades les parelles de variables següents, indica si esperes trobar una correlació positiva, negativa o nul·la:

• a) El nombre de quilòmetres recorreguts per un cotxe i la quantitat de combustible que queda al dipòsit.

• b) La nota mitjana de Batxillerat i el nombre d'hores que es passa un alumne jugant a videojocs.

• c) L'edat d'una persona i el seu número de DNI.

• d) Els ingressos mensuals d'una persona i la quantitat de diners que estalvia al mes.

• e) La velocitat mitjana d'un atleta en una cursa i el temps que triga a completar-la.

Es disposa d'una variable bidimensional $(X, Y)$ on $X$ representa la temperatura exterior en $^\circ\text{C}$ i $Y$ el consum elèctric d'un centre comercial en $kW$. Sabem que el centre mitjà de la distribució és el punt $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Si la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ té un pendent de $b = 15$:

• a) Escriu l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ utilitzant la forma punt-pendent: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) Quin seria el consum esperat per a una temperatura de $30^\circ\text{C}$?

Un analista de xarxes socials ha recopilat dades sobre el nombre de vídeos curts publicats per un grup de creadors de contingut ($X$) i el nombre de nous seguidors obtinguts en una setmana ($Y$). El núvol de punts resultant es mostra a continuació:

A partir del gràfic:

1. Indica si existeix correlació entre totes dues variables i, en cas afirmatiu, determina el seu signe i la seva força aproximada.

2. Es tracta d'una relació funcional o estadística? Justifica la teva resposta.

3. Estima raonadament quin dels valors següents podria correspondre al coeficient de correlació lineal de Pearson $r$: $-0,92$; $0,15$; $0,94$ o $1$.

Una empresa de missatgeria estudia la relació entre el pes dels paquets en kg ($X$) i el cost de l'enviament en euros ($Y$). S'han analitzat 5 enviaments amb els resultats següents:

Pes $X$ (kg)	1	2	3	5	9
Cost $Y$ (€)	5	7	8	12	18

Calcula:

1. El centre de gravetat de la distribució $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Les desviacions típiques marginals $\sigma_x$ i $\sigma_y$.

S'ha realitzat un estudi sobre la relació entre el temps que un estudiant de 1r de Batxillerat dedica a jugar a videojocs diàriament en hores ($X$) i el seu temps de reacció mesurat en mil·lisegons en un test específic ($Y$). Els paràmetres obtinguts són:

$\bar{x} = 2,5$; $\bar{y} = 310$; $\sigma_x = 1,2$; $\sigma_y = 45$ i la covariància $\sigma_{xy} = -48,6$.

1. Calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson.

2. Interpreta el resultat obtingut en funció del context del problema. Què passa amb la capacitat de reacció a mesura que augmenten les hores de joc?

Una plataforma de streaming analitza la relació entre la temperatura exterior mitjana en graus Celsius ($X$) i el nombre d'hores que els seus usuaris passen mirant sèries en un cap de setmana ($Y$). La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ obtinguda és:

$y = -0,45x + 18,2$

1. Si un cap de setmana la temperatura mitjana és de $8 ^\circ C$, quantes hores s'estima que passarà un usuari mirant sèries?

2. Si el coeficient de determinació és $R^2 = 0,81$, quina fiabilitat té la predicció anterior? Explica el significat d'aquest valor.

La taula següent mostra les notes obtingudes per 6 alumnes en un examen de Matemàtiques ($X$) i en un d'Economia ($Y$):

Matemàtiques ($X$)	4	6	5	8	9	7
Economia ($Y$)	5	5	6	7	8	8

1. Troba la covariància $\sigma_{xy}$.

2. Obtén l'equació de la recta de regressió d'Economia ($Y$) sobre Matemàtiques ($X$).

3. Quina nota s'esperaria en Economia per a un alumne que ha tret un $10$ en Matemàtiques?

En un estudi sobre hàbits saludables, es mesura la distància recorreguda en bicicleta a la setmana en km ($X$) i la despesa en manteniment de la bicicleta en euros ($Y$). Es sap que la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,12x + 15$ i que el coeficient de correlació és $r = 0,85$.

1. Justifica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

   • a) Existeix una dependència funcional entre els km recorreguts i la despesa.

   • b) La relació entre les variables és directa.

   • c) Si un ciclista no recorre cap km ($x=0$), el model estima una despesa de $15$ €.

2. Si la despesa mitjana anual és de $\bar{y} = 33$ €, quina és la mitjana de km recorreguts setmanalment $\bar{x}$?

Un club de bàsquet vol predir el nombre de punts anotats pels seus jugadors ($Y$) en funció dels minuts jugats ($X$). Després d'analitzar els jugadors, s'obtenen les dades següents:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Nombre de jugadors analitzats: $n = 10$.

1. Calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson.

2. Si un jugador juga $25$ minuts, realitza una estimació dels punts que anotarà utilitzant la recta de regressió corresponent.

S'investiga si el preu d'un model de telèfon mòbil de segona mà ($Y$, en euros) depèn de la seva antiguitat ($X$, en mesos). Les dades de 100 telèfons mostren que:

$\bar{x} = 18$ mesos; $\bar{y} = 450$ €; $\sigma_x = 6$; $\sigma_y = 80$ i $r = -0,88$.

1. Calcula la covariància $\sigma_{xy}$.

2. Troba la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

3. Quin és el significat físic del pendent de la recta en aquest context?

4. Estima el preu d'un telèfon que té un any i mig d'antiguitat. És molt fiable aquesta estimació? Per què?

En un estudi sobre el rendiment d'una nova placa solar, s'han determinat les dues rectes de regressió que relacionen l'intensitat lumínica captada ($X$, en centenars de lux) i l'energia elèctrica generada ($Y$, en watts). Les equacions obtingudes són:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,84x + 12,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,95y - 7,4$

Calcula, justificant cada pas:

1. a) El centre de gravetat de la distribució $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) El coeficient de correlació lineal de Pearson ($r$) i interpreta el seu signe i la seva força.
3. c) Quin percentatge de la variància de l'energia generada queda explicada per l'intensitat lumínica a través del model lineal?

Un equip d'analistes de dades d'una coneguda xarxa de microblogging estudia la relació entre el nombre de paraules d'una publicació ($X$) i el nombre de "m'agrada" rebuts ($Y$). Després d'analitzar una mostra aleatòria, es coneixen els paràmetres següents:

$\bar{x} = 45$ paraules

$\sigma_x = 12$

$S_{xy} = 156$

Recta de regressió de $Y$ sobre $X$: $y = 1,083x + 11,25$

Sabent que el coeficient de determinació és $R^2 = 0,64$, determina:

1. a) La desviació típica de la variable $Y$.
2. b) L'equació de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$.
3. c) Si una publicació té un nombre de "m'agrada" que és el doble de la mitjana $\bar{y}$, quina seria la predicció per al seu nombre de paraules?

S'analitza la relació entre el temps d'estudi setmanal ($X$, en hores) i la nota mitjana ($Y$) d'un grup d'estudiants. Es sap que la covariància és $S_{xy} = 4,5$ i que el coeficient de correlació és $r = 0,75$. Si a tots els estudiants se'ls premia amb 1 punt extra en la seva nota mitjana i, a més, decideixen estudiar el doble d'hores la setmana següent:

1. a) Demostra matemàticament com varien la nova covariància $S'_{xy}$ i el nou coeficient de correlació $r'$.
2. b) Canviaria la fiabilitat de les prediccions del model lineal després d'aquests canvis? Justifica la resposta basant-te en les propietats dels paràmetres bidimensionals.

En una competició d'e-sports, es mesura l'edat dels jugadors ($X$) i el seu temps de reacció davant d'un estímul visual ($Y$, en mil·lisegons). El núvol de punts suggereix una relació lineal inversa. Es disposa de la següent informació simplificada:

$\sum x_i = 200$, $\sum y_i = 2500$, $\sum x_i^2 = 4150$, $\sum y_i^2 = 628000$, $\sum x_i y_i = 49400$ (per a $n = 10$ jugadors).

1. a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
2. b) Un jugador de 32 anys (fora del rang de la mostra original que era de 18 a 25 anys) entra a l'estudi. Si el seu temps de reacció fos de 280 ms, com afectaria aquest nou punt al pendent de la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$? Raona la teva resposta sense necessitat de recalcular-ho tot.

Donada la taula de freqüències conjuntes següent de les variables $X$ (nombre de fills) i $Y$ (nombre d'habitacions a l'habitatge):

X \ Y	1	2	3
0	5	2	0
1	1	6	3
2	0	2	6

1. a) Calcula les distribucions marginals de $X$ i $Y$.
2. b) Determina la mitjana i la variància de la variable $Y$ condicionada al fet que $X = 1$.
3. c) Calcula la covariància $S_{xy}$ i dictamina si les variables són independents o presenten algun tipus d'associació.

Un estudi sociològic relaciona l'índex de digitalització d'una llar ($X$, escala 1-10) amb l'estalvi anual ($Y$, en milers d'euros). Se sap que la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = -1,2x + 15$ i que el coeficient de determinació és $R^2 = 0,81$.

1. a) Si la variància dels índexs de digitalització és $\sigma_x^2 = 4$, quina és la variància de la variable estalvi $\sigma_y^2$?

1. b) Si una llar té un índex de digitalització de 8, estima el seu estalvi anual i calcula l'error típic de l'estimació (desviació típica residual), definida com $\sigma_{res} = \sigma_y \sqrt{1 - R^2}$.

Les rectes de regressió d'una distribució bidimensional són $4x - 5y + 12 = 0$ i $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifica quina d'elles és la de $Y$ sobre $X$ i quina la de $X$ sobre $Y$. Justifica la teva resposta utilitzant el fet que el producte dels seus pendents ha de ser igual a $r^2$ i que $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcula el coeficient de correlació lineal $r$.
3. c) Determina els valors mitjans $\bar{x}$ i $\bar{y}$.

S'investiga la relació entre l'altitud d'una localitat ($X$, en metres) i la pressió atmosfèrica ($Y$, en mb). Les dades de 5 localitats mostren una correlació gairebé perfecta ($r = -0,99$). Les desviacions típiques són $\sigma_x = 400$ i $\sigma_y = 45$.

Si la pressió mitjana és de $950$ mb a una altitud mitjana de $600$ metres:

1. a) Troba l'equació de la recta de regressió per predir la pressió en funció de l'altitud.

1. b) A quina altitud s'esperaria una pressió de $1013$ mb? Avalua la fiabilitat d'aquesta resposta considerant si es tracta d'una interpolació o extrapolació (les altituds de les 5 localitats van de $100$ m a $1300$ m).

1. c) Si es descobrís que els mesuradors d'altitud tenien un error sistemàtic i totes les altituds reals són $50$ metres superiors a les registrades, com afectaria això al pendent de la recta de regressió?