Estadística descriptiva bidimensional

En el estudio de las relaciones entre dos variables, es fundamental distinguir si existe una dependencia exacta o una relación estadística. Indica en cuáles de los siguientes casos la relación es funcional (existe una fórmula exacta) y en cuáles es estadística (existe una tendencia pero con variabilidad):

• a) El número de litros de gasolina repostados en una gasolinera y el coste total a pagar.

• b) La nota obtenida en un examen de Matemáticas y el número de horas que el alumno ha dedicado a estudiar esa semana.

• c) El tiempo que permanece encendida una bombilla de bajo consumo y el gasto energético registrado por el contador.

• d) La estatura de una persona y el número de calzado que utiliza.

• e) La temperatura máxima diaria en una ciudad y el número de helados vendidos en un quiosco de esa misma ciudad.

Un grupo de 20 adolescentes ha sido clasificado según su hábito de lectura (Lector frecuente / No lector) y su preferencia por el formato de libros (Papel / Digital). Los datos obtenidos son:

• 8 son lectores frecuentes y prefieren el formato papel.

• 4 son lectores frecuentes y prefieren el formato digital.

• 2 no son lectores pero prefieren el formato papel.

• 6 no son lectores y prefieren el formato digital.

Organiza esta información en una tabla de frecuencias conjuntas (tabla de contingencia), incluyendo los totales marginales en las filas y columnas.

A partir de la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de dispositivo principal usado para estudiar y el curso del alumno (4º ESO o 1º Bachillerato), responde a las preguntas planteadas:

• a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta conjunta de los alumnos que están en 1º de Bachillerato y usan principalmente el portátil?

• b) Determina la frecuencia marginal de los alumnos que usan Tablet.

• c) ¿Cuántos alumnos en total han participado en el estudio?

• d) ¿Qué porcentaje de los alumnos totales son de 4º de ESO?

Dada la siguiente tabla de frecuencias conjuntas de las variables $X$ (número de hijos) e $Y$ (número de habitaciones en la vivienda):

1. a) Calcula las distribuciones marginales de $X$ e $Y$.
2. b) Determina la media y la varianza de la variable $Y$ condicionada a que $X = 1$.
3. c) Calcula la covarianza $S_{xy}$ y dictamina si las variables son independientes o presentan algún tipo de asociación.

Dadas las siguientes parejas de variables, indica si esperas encontrar una correlación positiva, negativa o nula:

• a) El número de kilómetros recorridos por un coche y la cantidad de combustible que queda en el depósito.

• b) La nota media de Bachillerato y el número de horas que se pasa un alumno jugando a videojuegos.

• c) La edad de una persona y su número de DNI.

• d) Los ingresos mensuales de una persona y la cantidad de dinero que ahorra al mes.

• e) La velocidad media de un atleta en una carrera y el tiempo que tarda en completarla.

Se dispone de una variable bidimensional $(X, Y)$ donde $X$ representa la temperatura exterior en $^\circ\text{C}$ e $Y$ el consumo eléctrico de un centro comercial en $kW$. Sabemos que el centro medio de la distribución es el punto $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ tiene una pendiente de $b = 15$:

• a) Escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ utilizando la forma punto-pendiente: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) ¿Cuál sería el consumo esperado para una temperatura de $30^\circ\text{C}$?

Asocia cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, con la gráfica que mejor lo represente:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

Se ha obtenido la recta de regresión que relaciona el tiempo de uso diario de una red social en minutos ($X$) con el nivel de batería consumido en porcentaje ($Y$). La ecuación de la recta es:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Estima el porcentaje de batería consumido si un usuario utiliza la red social durante $120$ minutos.

• b) Si el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,92$, ¿crees que la estimación anterior es fiable? Justifica tu respuesta.

Un club de baloncesto quiere predecir el número de puntos anotados por sus jugadores ($Y$) en función de los minutos jugados ($X$). Tras analizar a los jugadores, se obtienen los siguientes datos:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Número de jugadores analizados: $n = 10$.

1. Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Si un jugador juega $25$ minutos, realiza una estimación de los puntos que anotará utilizando la recta de regresión correspondiente.

Una empresa de mensajería estudia la relación entre el peso de los paquetes en kg ($X$) y el coste del envío en euros ($Y$). Se han analizado 5 envíos con los siguientes resultados:

Calcula:

1. El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Las desviaciones típicas marginales $\sigma_x$ y $\sigma_y$.

La siguiente tabla muestra las notas obtenidas por 6 alumnos en un examen de Matemáticas ($X$) y en uno de Economía ($Y$):

1. Halla la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Obtén la ecuación de la recta de regresión de Economía ($Y$) sobre Matemáticas ($X$).

3. ¿Qué nota se esperaría en Economía para un alumno que ha sacado un $10$ en Matemáticas?

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional son $4x - 5y + 12 = 0$ y $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifica cuál de ellas es la de $Y$ sobre $X$ y cuál la de $X$ sobre $Y$. Justifica tu respuesta utilizando el hecho de que el producto de sus pendientes debe ser igual a $r^2$ y que $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.
3. c) Determina los valores medios $\bar{x}$ e $\bar{y}$.