Función de probabilidad y función de distribución discretas

Determina razonadamente si la siguiente tabla puede representar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$. Para ello, comprueba que se cumplen las propiedades fundamentales de las probabilidades:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0,25$	$0,40$	$0,15$	$0,20$

Una plataforma de streaming analiza el número de series que un usuario ve a la semana. Se define la variable aleatoria discreta $X$ como el "número de series completadas". Su función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,1$	$k$	$0,3$	$0,2$

Halla el valor de la constante $k$ para que la distribución esté bien definida y calcula la probabilidad de que un usuario vea al menos 2 series a la semana, es decir, $P(X \ge 2)$.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene dada por:

$P(X=x) = \frac{x}{10}$ para $x \in \{1, 2, 3, 4\}$

1. a) Escribe la tabla de valores de la función de probabilidad.
2. b) Comprueba que la suma de todas las probabilidades es igual a $1$.
3. c) Calcula $P(X \ge 3)$.

Dada la siguiente función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$, calcula las probabilidades que se piden a continuación:

$x_i$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
$p_i$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$0,15$	$0,10$

1. a) $P(X < 30)$
2. b) $P(X \le 30)$
3. c) $P(20 < X \le 40)$

Se lanza un dado de seis caras trucado, de tal forma que la probabilidad de obtener un número par es el doble que la de obtener un número impar. Si todos los números pares tienen la misma probabilidad entre sí, y lo mismo ocurre con los impares:

1. a) Determina la función de probabilidad de la variable aleatoria $X$ = "resultado obtenido al lanzar el dado".
2. b) Calcula la probabilidad de obtener un valor menor o igual a $3$.
3. c) Calcula la media o valor esperado de esta distribución.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de distribución acumulada $F(x)$ se presenta a continuación:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0,2 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,5 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0,9 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$

1. a) A partir de $F(x)$, obtén la función de probabilidad $P(X=x_i)$ para cada valor de la variable.
2. b) Calcula la probabilidad $P(2 \le X < 4)$.
3. c) Representa gráficamente la función de probabilidad mediante un diagrama de barras.

Una empresa de logística organiza un torneo de dardos para sus empleados. La probabilidad de acertar en la zona roja es $k$, en la zona azul es $2k$ y en la zona blanca es $3k$. Si un jugador lanza dos dardos de forma independiente, definimos la variable aleatoria $X$ como "el número de veces que el dardo impacta en la zona roja".

1. Halla el valor de $k$ para que la distribución de probabilidad sea válida (asume que el dardo siempre impacta en alguna de las tres zonas).

2. Obtén la función de probabilidad de $X$.

3. Calcula el número esperado de impactos en la zona roja si el empleado realizara $50$ series de dos lanzamientos cada una.

En un taller especializado en reparación de dispositivos móviles, se ha realizado un estudio sobre el número de terminales que un técnico es capaz de reparar completamente en una jornada de ocho horas. Sea $X$ la variable aleatoria que expresa dicho número. La función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla, aunque falta un dato por completar:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$k$	$0,05$

1. a) Calcula el valor de $k$ para que la tabla represente una distribución de probabilidad legítima.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico repare al menos dos dispositivos en una jornada?
3. c) Si el taller recibe un bono de productividad los días en los que se reparan más de 2 terminales, ¿qué probabilidad hay de recibir dicho bono?

Un creador de contenido en redes sociales analiza el número de "desuscripciones" diarias en su canal. Ha comprobado que la función de probabilidad de la variable $X$ (número de bajas) responde a la fórmula $P(X = x) = \frac{k \cdot x}{2^x}$ para $x \in \{1, 2, 3\}$.

1. Halla el valor exacto de la constante $k$.

2. Calcula la probabilidad de que en un día haya al menos 2 bajas.

3. El creador estima que cada baja le supone una pérdida de $5$ euros en ingresos publicitarios, pero ganar un nuevo suscriptor le reporta $8$ euros. Si cada día gana exactamente $3$ suscriptores nuevos, calcula la ganancia media esperada por día.