Exercicis: Funció de probabilitat i funció de distribució discretes

Determina raonadament si la taula següent pot representar la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta $X$. Per a fer-ho, comprova que es compleixen les propietats fonamentals de les probabilitats:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0,25$	$0,40$	$0,15$	$0,20$

Una plataforma de streaming analitza el nombre de sèries que un usuari veu a la setmana. Es defineix la variable aleatòria discreta $X$ com el "nombre de sèries completades". La seva funció de probabilitat ve donada per la taula següent:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,1$	$k$	$0,3$	$0,2$

Troba el valor de la constant $k$ perquè la distribució estigui ben definida i calcula la probabilitat que un usuari vegi almenys 2 sèries a la setmana, és a dir, $P(X \ge 2)$.

Es llancen dues monedes equilibrades a l'aire. Definim la variable aleatòria $X$ com el "nombre de cares obtingudes".

1. a) Escriu l'espai mostral de l'experiment.
2. b) Elabora la taula de la funció de probabilitat de $X$.
3. c) Representa gràficament la distribució mitjançant un diagrama de barres.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció de probabilitat següent d'una variable aleatòria discreta $X$, calcula les probabilitats que es demanen a continuació:

$x_i$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
$p_i$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$0,15$	$0,10$

1. a) $P(X < 30)$
2. b) $P(X \le 30)$
3. c) $P(20 < X \le 40)$

En una urna hi ha 5 boles numerades: tres amb el nombre $1$ i dues amb el nombre $2$. S'extreu una bola a l'atzar i se n'anota el valor.

1. a) Defineix la variable aleatòria $X$ i el seu recorregut (possibles valors).
2. b) Construeix la taula de la funció de probabilitat.
3. c) Quina és la probabilitat que el nombre obtingut sigui més gran que $1$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta la funció de probabilitat de la qual ve donada per:

$P(X=x) = \frac{x}{10}$ per a $x \in \{1, 2, 3, 4\}$

1. a) Escriu la taula de valors de la funció de probabilitat.
2. b) Comprova que la suma de totes les probabilitats és igual a $1$.
3. c) Calcula $P(X \ge 3)$.

S'ha realitzat una enquesta en un institut sobre el nombre de germans dels alumnes de 1r de Batxillerat. A partir de les dades, s'ha definit la variable $X$ = "nombre de germans". La taula de freqüències relatives (probabilitats estimades) és la següent:

Germans ($x_i$)	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,12$	$0,54$	$0,24$	$0,10$

Representa aquesta informació mitjançant un diagrama de barres i calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar tingui menys de 2 germans.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Explica per què la funció següent no pot ser la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta $X$:

$P(X=x_i) = \{0,2;\ 0,3;\ -0,1;\ 0,6\}$

A la figura es representen aquests valors assignats a $x_1, x_2, x_3$ i $x_4$.

Justifica la teva resposta esmentant quina propietat de la probabilitat s'està incomplint en aquest cas.

Una companyia de telecomunicacions analitza el nombre $X$ de reclamacions formals que presenta un client al llarg d'un any. La funció de distribució acumulada de $X$ ve donada per:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,55 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 0,75 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 0,90 & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 1 & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$

En Marcos, un analista en pràctiques, ha de calcular dues probabilitats i presenta per escrit les respostes següents:

1) «La probabilitat que un client presenti exactament $2$ reclamacions és $P(X = 2) = F(2) = 0,90$».

2) «La probabilitat que un client presenti almenys una reclamació és $P(X \geq 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,75 = 0,25$».

Identifica de manera raonada els dos errors conceptuals comesos per en Marcos, explica què representen realment els valors que ha obtingut i troba els valors correctes de $P(X = 2)$ i $P(X \geq 1)$ aplicant les propietats de la funció de distribució.

Una pastisseria artesanal enforna cada matí un màxim de $3$ pastissos d'autor. El nombre $X$ de pastissos venuts en un dia feiner segueix una distribució de probabilitat donada per la taula següent, on $k$ és una constant real positiva:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0,15$	$0,25$	$3k$	$k$

1. a) Abans de calcular el valor de $k$, fes una estimació raonada: creus que la probabilitat de vendre com a màxim un pastís, $P(X \leq 1)$, serà més gran, més petita o igual que la de vendre més d'un pastís, $P(X > 1)$? Justifica la teva conjectura utilitzant les propietats fonamentals de la suma de probabilitats.
2. b) Determina algebraicament el valor exacte de la constant $k$ i escriu de manera explícita la funció de distribució acumulada $F(x)$ per a tota la recta real.
3. c) Calcula el valor exacte de $P(X \leq 1)$ i de $P(X > 1)$. Comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) era encertada i valora la coherència del resultat.

En un taller especialitzat en reparació de dispositius mòbils, s'ha realitzat un estudi sobre el nombre de terminals que un tècnic és capaç de reparar completament en una jornada de vuit hores. Sigui $X$ la variable aleatòria que expressa aquest nombre. La funció de probabilitat ve donada per la taula següent, tot i que falta una dada per completar:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$k$	$0,05$

1. a) Calcula el valor de $k$ perquè la taula representi una distribució de probabilitat legítima.
2. b) Quina és la probabilitat que el tècnic repari almenys dos dispositius en una jornada?
3. c) Si el taller rep un bo de productivitat els dies en què es reparen més de 2 terminals, quina probabilitat hi ha de rebre aquest bo?

Una associació juvenil organitza un sorteig per finançar un viatge de fi de curs. Es venen paperetes a $2$ euros. El premi és una targeta regal d'Amazon valorada en $50$ euros. S'han emès $200$ paperetes. Sigui $X$ la variable aleatòria que defineix el guany net d'un estudiant que compra una sola papereta (tenint en compte el seu cost).

1. a) Defineix l'espai mostral dels possibles valors de $X$.
2. b) Determina la funció de probabilitat de $X$.
3. c) Calcula l'esperança matemàtica $E[X]$ i interpreta el resultat obtingut. És un joc just per al comprador?

Es llança un dau de sis cares trucat, de manera que la probabilitat d'obtenir un nombre parell és el doble que la d'obtenir un nombre senar. Si tots els nombres parells tenen la mateixa probabilitat entre si, i passa el mateix amb els senars:

1. a) Determina la funció de probabilitat de la variable aleatòria $X$ = "resultat obtingut en llançar el dau".
2. b) Calcula la probabilitat d'obtenir un valor menor o igual a $3$.
3. c) Calcula la mitjana o valor esperat d'aquesta distribució.

Una empresa de missatgeria analitza el nombre de paquets que arriben malmesos a cada furgoneta de repartiment. Després d'un llarg període d'observació, han definit la funció de probabilitat següent per a la variable $X$ = "nombre de paquets malmesos per trajecte":

$P(X=x) = \frac{x+1}{15}$ per a $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$

1. a) Comprova que efectivament es tracta d'una funció de probabilitat.
2. b) Calcula la probabilitat que en un trajecte arribin, com a màxim, $2$ paquets malmesos.
3. c) Troba la mitjana i la desviació típica de la distribució.

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta la funció de distribució acumulada de la qual $F(x)$ es presenta a continuació:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0,2 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,5 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0,9 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$

1. a) A partir de $F(x)$, obtén la funció de probabilitat $P(X=x_i)$ per a cada valor de la variable.
2. b) Calcula la probabilitat $P(2 \le X < 4)$.
3. c) Representa gràficament la funció de probabilitat mitjançant un diagrama de barres.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una aplicació d'idiomes, els usuaris poden guanyar entre $0$ i $3$ insígnies diàries segons la seva constància. Es sap que la probabilitat de guanyar $x$ insígnies és proporcional al valor de $x+1$ per als valors possibles de la variable.

1. a) Escriu la taula de la distribució de probabilitat determinant la constant de proporcionalitat necessària.
2. b) Quin és el nombre mitjà d'insígnies que guanya un usuari al dia?
3. c) Calcula la variància de la distribució.

Un restaurant analitza el nombre de reserves per a grups de més de 10 persones que rep els dissabtes a la nit. La variable $X$ segueix la distribució de probabilitat:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0,4$	$0,3$	$0,2$	$0,1$

1. a) Si el restaurant té un guany de $50$ euros per cada grup que hi assisteix, però té uns costos fixos de preparació de $30$ euros independentment de quants grups hi vagin, defineix una nova variable $Y$ que representi el benefici net del dissabte.
2. b) Calcula l'esperança de $Y$.
3. c) Calcula la desviació típica de $X$.

Es disposa d'una urna amb $3$ boles blanques i $2$ boles vermelles, com mostra la figura. S'extreuen dues boles successivament i sense reemplaçament. Sigui $X$ la variable aleatòria que compta el nombre de boles blanques extretes.

1. a) Descriu l'espai mostral de l'experiment i els valors que pot prendre $X$.

1. b) Calcula la funció de probabilitat de $X$.

1. c) Determina la probabilitat que almenys una de les boles extretes sigui vermella.

A partir de les microdades adaptades de l'Enquesta de Característiques Essencials de la Població i els Habitatges de l'INE, s'estudia el nombre $X$ de turismes en propietat per llar en un municipi espanyol. Se sap que:

• El $20\,\%$ de les llars no té cap turisme.

• La meitat de les llars ($50\,\%$) disposa exactament d'un turisme.

• La probabilitat de tenir $2$ turismes és exactament el triple que la de tenir $3$ turismes.

• Cap llar de la mostra no té $4$ o més turismes.

1. a) Defineix formalment la variable aleatòria $X$, indica'n el suport (valors que pot prendre) i determina la seva funció de probabilitat completa en forma de taula.
2. b) Obtén l'expressió analítica a trossos de la funció de distribució acumulada $F(x)$ per a qualsevol nombre real $x$.
3. c) Utilitzant exclusivament la funció de distribució $F(x)$, calcula la probabilitat que una llar seleccionada a l'atzar tingui almenys un turisme però no més de dos ($P(1 \leq X \leq 2)$) i la probabilitat que tingui estrictament menys de $2$ turismes. Interpreta els resultats obtinguts en el context socioeconòmic del municipi.

Una variable aleatòria discreta $X$ pren exclusivament els valors enters $\{1, 2, 3, 4\}$. Es desconeixen les probabilitats individuals associades a cada valor, però es disposa de la informació següent sobre el seu comportament acumulat:

• La probabilitat que la variable prengui el valor mínim és $P(X = 1) = 0,20$.

• El valor de la funció de distribució a $x = 3$ és exactament $F(3) = 0,80$.

• El salt que experimenta la funció de distribució $F(x)$ en el punt $x = 2$ és exactament la meitat del salt que experimenta en el punt $x = 3$.

1. a) Dedueix raonadament la funció de probabilitat completa de la variable $X$, indicant el valor de $P(X = x_i)$ per a cada $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$.
2. b) Escriu la funció de distribució $F(x)$ com una funció definida a trossos en tota la recta real $\mathbb{R}$.
3. c) A partir de la funció de distribució obtinguda, calcula raonadament $P(1 < X \leq 3)$, $P(X > 2)$ i $P(X \leq 2,5)$.

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta la funció de probabilitat de la qual ve definida en la taula següent, on $a$ i $b$ són dos nombres reals desconeguts:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,1$	$a$	$b$	$0,2$

Sabent que l'esperança matemàtica de la distribució és $E[X] = 2,85$, determina els valors de $a$ i $b$. Posteriorment, calcula la desviació típica $\sigma$ de la variable i indica quin percentatge de la probabilitat total es troba en l'interval $[E[X] - \sigma, E[X] + \sigma]$.

Una empresa de logística organitza un torneig de dards per als seus empleats. La probabilitat d'encertar a la zona vermella és $k$, a la zona blava és $2k$ i a la zona blanca és $3k$. Si un jugador llança dos dards de forma independent, definim la variable aleatòria $X$ com «el nombre de vegades que el dard impacta a la zona vermella».

1. Troba el valor de $k$ perquè la distribució de probabilitat sigui vàlida (assumeix que el dard sempre impacta en alguna de les tres zones).

2. Obtén la funció de probabilitat de $X$.

3. Calcula el nombre esperat d'impactes a la zona vermella si l'empleat realitzés $50$ sèries de dos llançaments cadascuna.

La funció de distribució acumulada $F(x)$ d'una variable aleatòria discreta $X$ ve donada per una gràfica escalonada amb els trams següents: $F(x) = 0$ per a $x < 0$, $F(x) = 0{,}2$ per a $0 \le x < 1$, $F(x) = 0{,}5$ per a $1 \le x < 2$, $F(x) = 0{,}8$ per a $2 \le x < 3$ i $F(x) = 1$ per a $x \ge 3$.

A partir de la gràfica, construeix la taula de la funció de probabilitat $P(X=x_i)$ i calcula la variància $V[X]$. Explica raonadament el significat de $P(0{,}5 < X \le 2)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un creador de contingut en xarxes socials analitza el nombre de «desinscripcions» diàries al seu canal. Ha comprovat que la funció de probabilitat de la variable $X$ (nombre de baixes) respon a la fórmula $P(X = x) = \frac{k \cdot x}{2^x}$ per a $x \in \{1, 2, 3\}$.

1. Troba el valor exacte de la constant $k$.

2. Calcula la probabilitat que en un dia hi hagi com a mínim 2 baixes.

3. El creador estima que cada baixa li suposa una pèrdua de $5$ euros en ingressos publicitaris, però guanyar un nou subscriptor li reporta $8$ euros. Si cada dia guanya exactament $3$ subscriptors nous, calcula el guany mitjà esperat per dia.

En una urna hi ha $10$ boles numerades de l'$1$ al $10$. S'extreuen dues boles simultàniament (sense repetició). Sigui $X$ la variable aleatòria que assigna a cada extracció el valor absolut de la diferència dels nombres obtinguts.

1. Indica quin és l'espai mostral de l'experiment i els valors que pot prendre la variable $X$.

2. Quina és la probabilitat que la diferència sigui màxima?

3. Sense construir la taula completa, raona si és més probable que $X=1$ o que $X=9$. Calcula totes dues probabilitats.

Dos jugadors, l'Alba i el Bruno, llancen un dau de sis cares. Si surt un nombre primer, l'Alba guanya tants euros com indiqui el dau. Si surt un nombre compost, el Bruno guanya el doble del que indiqui el dau en euros. Si surt el nombre $1$, ningú no guanya res.

1. Defineix la variable aleatòria $G$ com el guany net de l'Alba en un llançament (considerant que el que guanya el Bruno és una pèrdua per a l'Alba). Escriu la seva funció de probabilitat.

2. Calcula l'esperança matemàtica de $G$. A qui afavoreix el joc a llarg termini?

3. Quina quantitat hauria de pagar l'Alba al Bruno cada vegada que surti un nombre compost perquè el joc fos equitatiu ($E[G]=0$)?

Es té una variable aleatòria discreta $X$ amb la funció de probabilitat següent:

$P(X=0) = p$

$P(X=1) = q$

$P(X=2) = 0,2$

Si sabem que l'esperança és $E[X] = 0,8$ i que la variància és $V[X] = 0,56$, planteja un sistema d'equacions i calcula els valors de $p$ i $q$. Verifica que la suma de les probabilitats és igual a la unitat.

Un examen d'oposició consta de $4$ temes triats a l'atzar d'un total de $10$. Un opositor s'ha preparat només $6$ temes. Definim la variable aleatòria $X$ com "el nombre de temes que l'opositor domina dels $4$ triats".

1. Calcula la probabilitat que l'opositor no domini cap dels temes triats.

2. Determina la probabilitat que en domini exactament $2$ temes.

3. Troba l'esperança matemàtica de la variable $X$ i interpreta el resultat en el context de l'examen. És probable que l'opositor aprovi si necessita conèixer almenys $3$ temes?

El nombre de microtalls de connexió que pateix un servidor bancari en una hora punta és una variable aleatòria discreta $X \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ la funció de distribució acumulada de la qual ve donada per:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,10 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 0,30 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 0,65 & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 0,85 & \text{si } 3 \leq x < 4 \\ 0,95 & \text{si } 4 \leq x < 5 \\ 1 & \text{si } x \geq 5 \end{cases}$$

Es vol calcular la probabilitat que es registrin més d'un microtall però menys de quatre, és a dir, $P(1 < X < 4)$, i la probabilitat de registrar almenys dos microtalls, $P(X \geq 2)$. Amb aquesta finalitat es plantegen dues estratègies:

• Mètode 1 (Reconstrucció puntual): Obtenir primer la funció de probabilitat completa calculant cada salt $P(X = x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$ i identificar els valors del suport que compleixen la condició per sumar les seves probabilitats individuals.

• Mètode 2 (Operacions acumulades directes): Expressar les probabilitats demanades directament com a diferències de valors de $F(x)$, transformant adequadament els extrems segons les desigualtats estrictes o no estrictes.

1. a) Aplica detalladament tots dos mètodes per calcular $P(1 < X < 4)$ i $P(X \geq 2)$, comprovant que condueixen exactament al mateix resultat numèric.
2. b) Compara críticament tots dos mètodes: analitza quin dels dos és més eficient si la variable prengués valors enters de $0$ a $100$ i explica quin error conceptual sistemàtic es cometria si s'apliqués directament la fórmula $P(1 < X < 4) = F(4) - F(1)$ pròpia de les variables contínues.

Una empresa de transport urbà sostenible a Madrid monitora el nombre diari $X$ de furgonetes elèctriques que requereixen una recàrrega imprevista en ruta ($X \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$). El departament de logística proposa el model següent per a la funció de distribució acumulada de $X$, dependent de dos paràmetres desconeguts $\alpha$ i $\beta$:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,40 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ \alpha & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ \alpha + \beta & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 0,90 & \text{si } 3 \leq x < 4 \\ 1 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$$

Els registres històrics proporcionen dues condicions operatives:

1) L'esdeveniment «requerir com a màxim una recàrrega imprevista» és un $50\,\%$ més probable que l'esdeveniment «no requerir cap recàrrega imprevista».

2) La probabilitat que tinguin lloc exactament dues recàrregues imprevistes duplica la probabilitat que en tinguin lloc exactament tres.

1. a) Modela les dues condicions plantejant les equacions corresponents a partir dels salts de $F(x)$ i determina raonadament els valors numèrics de $\alpha$ i $\beta$.
2. b) Justifica formalment que la funció obtinguda compleix totes les condicions necessàries per ser una funció de distribució legítima d'una variable discreta (comprova el valor de cada probabilitat puntual $p_i$, la seva suma total i la monotonia de $F$).
3. c) Cada recàrrega imprevista genera un cost operatiu de $80$ € si el total diari no supera les dues recàrregues. Si es produeixen més de dues recàrregues, la saturació del servei obliga a contractar assistència externa d'urgència amb una tarifa plana fixa de $400$ € per a tota la jornada. Si no hi ha cap recàrrega, el cost és $0$ €. Calcula raonadament la probabilitat que el cost operatiu diari superi els $100$ €.