Exercicis: Taxa de variació mitjana i anàlisi marginal

Calcula la taxa de variació mitjana de $f(x) = x^{2}$ en l'interval $[1, 3]$.

Calcula la taxa de variació mitjana de $f(x) = 2x + 1$ en els intervals $[0, 4]$ i $[-2, 5]$. Què observes? A què es deu?

La taxa de variació mitjana de la població d'un poble entre 2010 i 2020 ha estat de $1.200$ habitants per any. Explica amb les teves paraules què significa aquesta dada i calcula quant va créixer la població en aquesta dècada.

La figura mostra la distància recorreguda per un ciclista en funció del temps.

1. a) Llegeix a la gràfica la distància recorreguda en la primera hora i calcula la seva velocitat mitjana en aquesta hora.

1. b) Calcula la seva velocitat mitjana entre l'hora $1$ i l'hora $3$.

1. c) En quin tram va ser més ràpid? Relaciona-ho amb la inclinació de la corba.

Calcula la taxa de variació mitjana de $f(x) = x^{2} - 2x$ en l'interval $[0, 2]$ i explica per què el resultat és $0$ encara que la funció no sigui constant en aquest interval.

Escriu, fent servir la definició de derivada com a límit, l'expressió de $f'(2)$ per a la funció $f(x) = x^{2} + 1$ (no cal resoldre el límit).

Calcula, aplicant la definició amb límits, la derivada de $f(x) = 3x - 2$ a $x = 1$. Depèn el resultat del punt triat? Per què?

Sense fer càlculs, respon raonadament:

1. a) Si $\text{TVM}[a, b] < 0$, la funció ha pujat o ha baixat en conjunt entre $a$ i $b$?

1. b) Pot ser negativa la taxa de variació mitjana en un interval i, alhora, ser $f(b) > f(a)$? Justifica-ho.

La Marta ha de calcular la taxa de variació mitjana dels beneficis d'una llibreria entre el mes $2$ i el mes $6$ des de la seva obertura. La funció que modelitza els beneficis acumulats (en centenars d'euros) és $f(x) = x^2 + 2x$.

En el seu examen, la Marta escriu:

i conclou que «el benefici va créixer a un ritme mitjà de $2000$ € al mes».

1. a) Localitza l'error comès per la Marta i explica amb les teves paraules què representa conceptualment el denominador en la fórmula de la $\text{TVM}[a, b]$ (o amb el pas $h$).
2. b) Corregeix el càlcul i troba el valor real de la taxa de variació mitjana en aquest període en euros/mes.
3. c) Interpreta geomètricament el resultat correcte en relació amb la recta secant a la gràfica de $f(x)$ que passa pels punts d'abscissa $x = 2$ i $x = 6$.

Una empresa de missatgeria en bicicleta de València estima que el cost total diari (en euros) de fer $q$ enviaments segueix el model $C(q) = 2q^2 + kq + 50$, on $k$ és un cost variable unitari degut al manteniment del material. El departament de finances sap que entre els $5$ i els $10$ repartiments diaris, la taxa de variació mitjana del cost és de $38$ € per enviament.

1. a) Planteja l'equació de la $\text{TVM}[5, 10]$ en funció del paràmetre $k$ i dedueix-ne el valor exacte.
2. b) Amb el valor obtingut de $k$, troba la funció de cost marginal $C'(q)$ i calcula el cost marginal per a $q = 10$ enviaments.
3. c) Compara el valor de $C'(10)$ amb la $\text{TVM}[5, 10]$ i raona per què el cost aproximat de fer l'enviament número $11$ és més gran que la mitjana obtinguda a l'interval $[5, 10]$.

La figura mostra la gràfica d'una funció i la recta secant que uneix els punts $A(1, 2)$ i $B(4, 8)$.

1. a) Llegeix a la figura les variacions $\Delta x$ i $\Delta y$ i calcula $\text{TVM}[1, 4]$.

1. b) Quina relació hi ha entre aquesta taxa i el pendent de la recta secant dibuixada?

1. c) Escriu l'equació de la recta secant que passa per $A$ i $B$.

La figura il·lustra com les rectes secants que passen per un punt fix $P$ de la gràfica de $f(x) = x^{2} + 1$ s'apropen a la recta tangent en $P$ quan el segon punt, $Q$, s'aproxima a $P$.

Sigui $f(x) = x^{2} + 1$ i $P = (2, 5)$. Recorda que la taxa de variació mitjana en un interval $[a, b]$ és

i coincideix amb el pendent de la recta secant que passa pels punts d'abscisses $a$ i $b$.

1. a) Completa la taula següent de $\text{TVM}[2, 2 + h]$ (calcula $f(2+h)$ i després la taxa):

1. b) A quin nombre s'apropen les taxes quan $h$ es fa cada vegada més petit? Què representa aquest nombre respecte a la recta tangent en $P$?

1. c) Escriu l'equació de la recta tangent en $P$.

La gràfica mostra la temperatura d'una ciutat al llarg d'un dia.

1. a) Llegeix els valors aproximats de temperatura a les $6$ i a les $10$ hores i calcula la taxa de variació mitjana en aquest interval, en °C/h.

1. b) Fes el mateix per a l'interval de $18$ a $22$ hores.

1. c) Compara els dos resultats: què indiquen els seus signes sobre el que passava amb la temperatura en cada franja?

Una empresa que fabrica motxilles té una funció de cost total $C(q) = 0,02q^{2} + 10q + 800$, en euros, on $q$ és el nombre de motxilles produïdes al mes.

1. a) Calcula el cost real de produir la motxilla número $61$: $C(61) - C(60)$.

1. b) Calcula el cost marginal $C'(60)$ com a aproximació del cost d'aquesta unitat addicional.

1. c) Compara tots dos valors i explica per què els economistes fan servir la derivada com a «cost marginal».

Un paracaigudista salta des d'un globus i, abans d'obrir el paracaigudes, la distància caiguda segueix aproximadament el model $e(t) = 2t^{2} + t$, en metres, amb $t$ en segons.

1. a) Calcula la seva velocitat mitjana entre els segons $1$ i $3$.

1. b) Calcula la seva velocitat instantània en el segon $2$.

1. c) En quin moment la velocitat instantània coincideix amb la velocitat mitjana de l'interval $[1, 3]$? Calcula-ho i comenta el resultat.

Sigui $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. a) Calcula $\text{TVM}[1, 2]$.

1. b) Calcula $\text{TVM}[1, 1 + h]$ en funció de $h$ i simplifica l'expressió.

1. c) A quin valor tendeix l'expressió anterior quan $h \to 0$? Què significa aquest valor?

La cotització d'una acció al tancament de cada dia d'una setmana ha estat: dilluns $10,40\ \text{ €}$; dimarts $10,12\ \text{ €}$; dimecres $10,35\ \text{ €}$; dijous $10,80\ \text{ €}$; divendres $10,55\ \text{ €}$.

1. a) Calcula la variació diària (absoluta i percentual) de cada jornada, arrodonint a les centèsimes.

1. b) Calcula la variació total de la setmana i la taxa de variació mitjana diària, en euros per dia.

1. c) Un titular afirma: «l'acció ha pujat de mitjana un $0,4 \%$ diari». Comprova si és cert fent servir la variació percentual mitjana i comenta quina mesura —absoluta o percentual— informa millor l'inversor.

Troba el valor del paràmetre $a$ perquè la taxa de variació mitjana de $f(x) = x^{2} + ax$ en l'interval $[0, 2]$ sigui igual a $5$. Comprova el resultat.

La temperatura $T(t)$ (en ºC) registrada en una estació meteorològica de la serra de Guadarrama durant un matí d'hivern ve donada per la funció $T(t) = -0,5t^2 + 3t + 2$, on $t$ indica les hores transcorregudes des de les $08:00$ ($t = 0$) fins a les $14:00$ ($t = 6$).

1. a) Sense calcular derivades ni valors numèrics encara, observa els signes dels coeficients: atès que el terme lineal $+3t$ domina en les primeres hores abans que la curvatura negativa freni la pujada, estima si la $\text{TVM}[0, 2]$ serà positiva o negativa i proposa un interval numèric que consideris raonable per al ritme mitjà de canvi tèrmic (en ºC/hora).
2. b) Calcula analíticament la $\text{TVM}[0, 2]$ i la taxa de variació instantània a les $08:00$, donada per $T'(0)$.
3. c) Comprova si la teva estimació ha estat coherent amb el resultat i justifica per què $T'(0)$ és estrictament més gran que la $\text{TVM}[0, 2]$, explicant què li està passant a la velocitat d'escalfament al llarg d'aquestes dues hores.

Un taller artesanal de calçat a Elx (Alacant) produeix parells de sabates de pell. La funció d'ingressos totals setmanals per la venda de $q$ parells és $I(q) = 120q - 0,4q^2$ (en euros), mentre que els costos totals setmanals de fabricació venen donats per $C(q) = 500 + 20q + 0,1q^2$ (en euros).

1. a) Obtén les expressions de l'ingrés marginal $I'(q)$, el cost marginal $C'(q)$ i el benefici marginal $B'(q) = I'(q) - C'(q)$.
2. b) Si el taller fabrica actualment $60$ parells a la setmana, calcula el benefici marginal $B'(60)$ i interpreta el seu significat econòmic pràctic: li interessa a l'empresa fabricar i vendre el parell número $61$? Justifica la teva resposta comparant els valors de $I'(60)$ i $C'(60)$.
3. c) Determina raonadament el volum de producció setmanal que maximitza el benefici total del taller utilitzant la condició marginal ($I'(q) = C'(q)$) i calcula el valor d'aquest benefici màxim.

La figura mostra, al panell A, la gràfica d'una funció polinòmica amb un màxim relatiu a $x = 1$ i un mínim relatiu a $x = 3$; el panell B només conté els eixos, preparats per dibuixar.

1. a) Indica els intervals on $f'(x)$ és positiva i on és negativa, raonant-ho a partir del creixement de $f$.

1. b) En quins punts s'anul·la $f'$?

1. c) Esbossa al panell B la gràfica de $f'$, explicant la forma que has dibuixat i per què talla l'eix $X$ on ho fa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un taller fabrica $q$ bicicletes al mes amb uns ingressos $I(q) = 50q - 0,1q^{2}$ i uns costos $C(q) = 20q + 1.000$, en milers d'euros.

1. a) Calcula l'ingrés marginal $I'(q)$ i avalua'l a $q = 100$. Què significa el seu valor?

1. b) Calcula el benefici marginal $B'(q)$, on $B(q) = I(q) - C(q)$, i troba per a quin valor de $q$ s'anul·la.

1. c) Explica, fent servir el signe del benefici marginal abans i després d'aquest valor, per què correspon al benefici màxim.

1. a) Demostra que la taxa de variació mitjana d'una funció lineal $f(x) = mx + n$ en qualsevol interval $[a, b]$ és constant i igual al seu pendent $m$.

1. b) Demostra que per a $f(x) = x^{2}$ es verifica $\text{TVM}[a, a + h] = 2a + h$, i dedueix, fent $h \to 0$, que $f'(a) = 2a$.

La posició d'un ciclista en una recta ve donada per $e(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t$, en metres, amb $t$ en segons i $0 \leq t \leq 4$.

1. a) Calcula la seva velocitat mitjana en els intervals $[0, 2]$ i $[2, 4]$. Què indica el signe de cadascuna?

1. b) Calcula la velocitat instantània $v(t) = e'(t)$.

1. c) En quins instants del trajecte la velocitat instantània és nul·la? Descriu què fa el ciclista en aquells moments.

Un alumne calcula la derivada de $f(x) = x^{2}$ a $x = 2$ escrivint:

«$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2) + h - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$»

1. a) Explica l'error que ha comès en aplicar la definició.

1. b) Escriu el càlcul correcte i troba el valor vertader de $f'(2)$.

1. c) Comprova el resultat calculant $\text{TVM}[2, 2 + h]$ per a $h = 0,1$ i per a $h = 0,01$, i comenta a quin valor s'acosten.

La població d'una espècie protegida en un parc nacional segueix el model $P(t) = 12.000 \cdot 1,02^{t}$, amb $t$ en anys.

1. a) Calcula la taxa de variació mitjana de la població en l'interval $[0, 5]$, en individus per any, arrodonida a les unitats.

1. b) Calcula la taxa de variació mitjana relativa (percentual) anual en aquest interval, $\frac{P(5)-P(0)}{5 \cdot P(0)}$, i compara-la amb el $2 \%$. A què es deu la diferència?

1. c) Demostra que en qualsevol model exponencial $P(t) = P_0 \cdot a^{t}$ la taxa de variació relativa anual és constant, mentre que l'absoluta creix amb el temps. Què implica això per a les previsions?

1. a) Calcula, aplicant la definició amb límits, la derivada de $f(x) = x^{2} + x$ en el punt $x = 1$.

1. b) Escriu l'equació de la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt $(1, f(1))$.

1. c) Comprova gràficament el resultat: representa la paràbola i la tangent als voltants de $x = 1$ i verifica que la recta «frega» la corba sense tallar-la en aquest punt.

Raona si són verdaderes o falses aquestes afirmacions, demostrant-les o donant un contraexemple:

1. a) «Si $f$ és una funció parell (simètrica respecte de l'eix $Y$), aleshores $\text{TVM}[-a, a] = 0$ per a tot $a$ del seu domini.»

1. b) «Si $\text{TVM}[a, b] = 0$, aleshores la funció és constant a $[a, b]$.»

1. c) «Si $\text{TVM}[a, b] > 0$, aleshores $f$ és creixent en tot l'interval $[a, b]$.»

Una cooperativa d'oliveres de Jaén modelitza els seus costos totals de molturació i envasament mitjançant la funció $C(q) = 0,05q^3 - 1,5q^2 + 50q + 200$ (en centenars d'euros), on $q$ és la quantitat d'oli produïda en tones. La direcció tècnica debat com mesurar l'impacte d'incrementar la producció de $20$ a $21$ tones i proposa tres mètodes:

• Mètode 1: Calcular l'increment real exacte $\Delta C = C(21) - C(20)$.

• Mètode 2: Calcular la taxa de variació mitjana $\text{TVM}[20, 21] = \frac{C(21) - C(20)}{21 - 20}$.

• Mètode 3: Estimar el cost addicional mitjançant el cost marginal instantani $C'(20)$.

1. a) Explica per què els Mètodes 1 i 2 donen exactament la mateixa xifra però tenen significats conceptuals i unitats diferents (magnitud absoluta enfront de taxa de variació relativa al pas $h$).
2. b) Aplica els Mètodes 1 i 3. Troba el cost real d'aquesta tona addicional i compara'l amb l'aproximació marginal determinant l'error absolut comès ($|C'(20) - \Delta C|$).
3. c) Tria quin dels mètodes és l'estàndard en l'anàlisi microeconòmica per modelitzar decisions en el marge i justifica la teva elecció. A més, analitza el signe de la derivada segona $C''(20)$ per raonar per què el Mètode 3 subestima el cost real i explica per què l'error de l'aproximació marginal augmentaria notablement si el salt de producció fos de $5$ tones en comptes d'$1$.

Una empresa d'energia fotovoltaica a Extremadura analitza el cost diari de generació elèctrica. El cost total, en milers d'euros, en produir $q$ megawatts-hora (MWh) al dia respon a la funció quadràtica $C(q) = aq^2 + bq + 8$, amb $a > 0$.

L'equip d'analistes disposa únicament de tres informacions:

1. El cost fix diari (sense generació) és de $8$ mil euros.

2. La taxa de variació mitjana del cost entre produir $10\text{ MWh}$ i $30\text{ MWh}$ és de $18$ mil €/MWh (és a dir, $\text{TVM}[10, 30] = 18$).

3. Al nivell de producció de $20\text{ MWh}$, el cost marginal de producció coincideix exactament amb el cost mitjà per MWh generat, és a dir: $C'(20) = \frac{C(20)}{20}$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions corresponent i determina els coeficients $a$ i $b$ de la funció de cost.
2. b) Demostra algebraicament que per a qualsevol funció quadràtica $f(x) = Ax^2 + Bx + C$, la taxa $\text{TVM}[x_1, x_2]$ coincideix sempre amb la derivada instantània en el punt mitjà de l'interval, $f'\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)$, i explica com valida això la relació entre la dada 2 i la dada 3 a $x = 20$.
3. c) Si el preu del mercat elèctric majorista en aquell dia és fix i igual a $18,4$ milers d'euros per MWh (ingressos $I(q) = 18,4q$), li convé a la planta generar més de $20\text{ MWh}$? Utilitza el concepte de benefici marginal $B'(q)$ per justificar la resposta i calcula la quantitat exacta de MWh que ha de produir la planta per maximitzar el seu benefici diari.