Polinomios. Factorización
Un polinomio como $B(x)=-x^3+15x^2-44x+30$ puede describir el beneficio semanal de una startup en función de lo invertido en marketing. Factorizarlo por completo —encontrar sus raíces, escribirlo como producto de factores sencillos— es lo que permite responder preguntas como "¿para qué inversiones el beneficio es cero?" sin tener que probar valores a ciegas. Este apartado reúne todo lo necesario: operar con polinomios, dividirlos, y factorizarlos hasta el final.
Definición, grado y operaciones básicas
Sumar y restar polinomios es reducir los términos semejantes (mismo grado). Multiplicar es aplicar la propiedad distributiva: cada término del primero por cada término del segundo, y después reducir.
En el diseño de un nuevo nivel para un videojuego, la energía de un escudo protector sigue la función polinómica $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$, donde $x$ representa el…
En el diseño de un nuevo nivel para un videojuego, la energía de un escudo protector sigue la función polinómica $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$, donde $x$ representa el tiempo en segundos desde que se activa. Utiliza el Teorema del Resto para comprobar si el escudo se queda sin energía exactamente a los $x = 3$ segundos.
Simplifica la siguiente expresión extrayendo el factor común más grande posible de los términos del polinomio que representa los ingresos de una pequeña empresa de…
Simplifica la siguiente expresión extrayendo el factor común más grande posible de los términos del polinomio que representa los ingresos de una pequeña empresa de camisetas personalizadas:
$I(x) = 12x^5 - 18x^4 + 6x^2$
División de polinomios y regla de Ruffini
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ da un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$, siempre con el resto de grado menor que el divisor. Si el divisor es de la forma $x-a$, el atajo es la regla de Ruffini: se trabaja solo con los coeficientes.
Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables (productos notables). Estas expresiones suelen aparecer al calcular variaciones de áreas en…
Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables (productos notables). Estas expresiones suelen aparecer al calcular variaciones de áreas en planos arquitectónicos:
- a) $(2x + 5)^2$
- b) $(3x - 2)^2$
- c) $(x + 7)(x - 7)$
Factoriza los siguientes polinomios utilizando las identidades notables (productos notables) y la extracción de factor común: a) $R(x) = 4x^3 - 12x^2 + 9x$ b)…
Factoriza los siguientes polinomios utilizando las identidades notables (productos notables) y la extracción de factor común:
- a) $R(x) = 4x^3 - 12x^2 + 9x$
- b) $S(x) = x^4 - 81$
- c) $T(x) = 3x^2 + 30x + 75$
Teorema del resto y teorema del factor
Antes de dividir, conviene saber si merece la pena: el teorema del resto dice que el resto de dividir $P(x)$ entre $(x-a)$ es, directamente, $P(a)$. El teorema del factor dice que $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ exactamente cuando $P(a)=0$.
Un agricultor tiene una parcela cuadrada y ha decidido ampliarla. El área total de la nueva parcela viene dada por el trinomio $A(x) = x^2 + 12x + 25$. Sin embargo, se…
Un agricultor tiene una parcela cuadrada y ha decidido ampliarla. El área total de la nueva parcela viene dada por el trinomio $A(x) = x^2 + 12x + 25$. Sin embargo, se da cuenta de que si el área fuera $A(x) = x^2 + 10x + 25$, podría expresarla como el cuadrado de un binomio. Factoriza esta segunda expresión usando identidades notables para hallar la medida del lado del cuadrado.
Considera un polinomio desconocido $P(x)$ del que solo tenemos información parcial obtenida mediante pruebas de laboratorio informático. Sabemos que al dividir $P(x)$…
Considera un polinomio desconocido $P(x)$ del que solo tenemos información parcial obtenida mediante pruebas de laboratorio informático. Sabemos que al dividir $P(x)$ entre $(x - 3)$, el resto obtenido es $10$. Por otro lado, al dividir el mismo polinomio $P(x)$ entre $(x + 2)$, el resto es $-5$.
Determina, de forma razonada, cuál será el resto de la división del polinomio $P(x)$ entre el producto $(x - 3)(x + 2)$. Pista: Recuerda que el grado del resto siempre es menor que el grado del divisor.
Factorización: factor común e identidades notables
Factorizar siempre empieza igual: sacar todo el factor común posible y, si lo que queda es una identidad notable o una ecuación de segundo grado, resolverla.
Determina el valor del coeficiente desconocido $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 10$ sea divisible por $(x - 5)$. Recuerda que para que sea divisible,…
Determina el valor del coeficiente desconocido $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 10$ sea divisible por $(x - 5)$. Recuerda que para que sea divisible, el resto de la división debe ser cero.
Factoriza completamente el siguiente polinomio descomponiéndolo en el producto del mayor número de factores de grado uno posible: $P(x) = 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 12x$ Para…
Factoriza completamente el siguiente polinomio descomponiéndolo en el producto del mayor número de factores de grado uno posible:
$P(x) = 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 12x$
Para ello, utiliza la extracción de factor común, la regla de Ruffini y, si es necesario, la resolución de la ecuación de segundo grado resultante.
Factorización completa: raíces racionales y factores irreducibles
Cuando el coeficiente principal no es $1$, además de los divisores del término independiente hay que probar fracciones: candidatos $\frac{p}{q}$, con $p$ divisor del término independiente y $q$ divisor del coeficiente principal. Y un factor de grado $2$ con discriminante negativo es irreducible: ahí se detiene la factorización.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x + 12$ sea divisible por binomio $(x + 1)$. Una vez hallado el valor de $k$, encuentra…
Calcula el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x + 12$ sea divisible por binomio $(x + 1)$. Una vez hallado el valor de $k$, encuentra las demás raíces del polinomio.
Factoriza el polinomio $P(x) = 12x^3 + 8x^2 - 13x + 3$ sabiendo que no posee raíces enteras. Deberás aplicar el Teorema de la Raíz Racional para identificar los posibles…
Factoriza el polinomio $P(x) = 12x^3 + 8x^2 - 13x + 3$ sabiendo que no posee raíces enteras. Deberás aplicar el Teorema de la Raíz Racional para identificar los posibles candidatos de la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ es divisor del término independiente y $q$ es divisor del coeficiente principal.
Una vez hallada la primera raíz racional, utiliza la regla de Ruffini y resuelve la ecuación de segundo grado resultante para encontrar las demás raíces y escribir la descomposición factorial completa.