Exercicis: Polinomis. Factorització

En el disseny d'un nou nivell per a un videojoc, l'energia d'un escut protector segueix la funció polinòmica $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$, on $x$ representa el temps en segons des que s'activa. Utilitza el teorema del residu per comprovar si l'escut es queda sense energia exactament als $x = 3$ segons.

Simplifica l'expressió següent extreient el factor comú més gran possible dels termes del polinomi que representa els ingressos d'una petita empresa de samarretes personalitzades:

$I(x) = 12x^5 - 18x^4 + 6x^2$

Desenvolupa les expressions següents utilitzant les identitats notables (productes notables). Aquestes expressions solen aparèixer en calcular variacions d'àrees en plànols arquitectònics:

1. a) $(2x + 5)^2$
2. b) $(3x - 2)^2$
3. c) $(x + 7)(x - 7)$

Un agricultor té una parcel·la quadrada i ha decidit ampliar-la. L'àrea de la nova parcel·la, que també és quadrada, ve donada pel trinomi $A(x) = x^2 + 10x + 25$, on $x$ és una longitud en metres i l'àrea està en metres quadrats. Factoritza aquesta expressió usant identitats notables (quadrat d'una suma) per trobar la mesura del costat de la nova parcel·la en funció de $x$.

Aplica la regla de Ruffini per factoritzar el polinomi $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, sabent que $x = 1$ és una de les seves arrels. Escriu el polinomi com a producte de tres factors de primer grau.

Determina el valor del coeficient desconegut $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 10$ sigui divisible per $(x - 5)$. Recorda que perquè sigui divisible, el residu de la divisió ha de ser zero.

S'està dissenyant una pantalla publicitària rectangular la superfície de la qual en metres quadrats es descriu mitjançant el polinomi $S(x) = x^2 - 16$.

1. a) Factoritza el polinomi utilitzant la identitat notable de diferència de quadrats.
2. b) Si $x$ ha de ser més gran que 4 perquè les dimensions tinguin sentit, quines serien les expressions per a la base i l'altura de la pantalla?

Escriu l'expressió d'un polinomi mònic (aquell el coeficient principal del qual és 1) de tercer grau sabent que les seves arrels són $x = 0$, $x = 2$ i $x = -3$. Expressa el resultat final en forma de producte de factors.

La Sofia vol esbrinar si el binomi $(x + 2)$ és un factor del polinomi $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$. Per comprovar-ho sense necessitat de fer la divisió llarga, decideix emprar el Teorema del Residu i calcula:

$P(2) = 2^3 - 3\cdot 2^2 - 4\cdot 2 + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$

En observar que el valor obtingut és zero, conclou: «Com que $P(2) = 0$, queda demostrat que $(x + 2)$ divideix de manera exacta $P(x)$ i, per tant, és un dels seus factors».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet la Sofia i explica per què el seu càlcul no demostra que $(x + 2)$ sigui factor de $P(x)$.
2. b) Aplica de manera correcta el Teorema del Residu per determinar si $(x + 2)$ és o no factor d'aquest polinomi.
3. c) Atesos els càlculs realitzats, indica raonadament dos binomis de primer grau de la forma $(x - a)$ que sí que siguin amb seguretat factors de $P(x)$.

Per descompondre en factors irreductibles sobre $\mathbb{R}$ el polinomi $P(x) = 3x^3 - 12x$, dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• En Lucas proposa aplicar directament la regla de Ruffini completant el polinomi com a $3x^3 + 0x^2 - 12x + 0$ i temptejant amb els divisors enters del terme independent.

• La Marta sosté que no convé fer servir Ruffini en aquest cas: defensa que és molt més ràpid i segur extreure primer factor comú i aplicar tot seguit una identitat notable (diferència de quadrats).

1. a) Compara raonadament totes dues propostes: assenyala quins inconvenients presenta el mètode d'en Lucas enfront de la proposta de la Marta (en termes d'esforç de càlcul i risc d'error) i justifica quin és el procediment òptim.
2. b) Aplica l'estratègia més eficient per obtenir la factorització completa de $P(x)$ i indica totes les seves arrels reals.

Factoritza completament el polinomi següent descomponent-lo en el producte del nombre més gran possible de factors de grau u:

$P(x) = 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 12x$

Per fer-ho, utilitza l'extracció de factor comú, la regla de Ruffini i, si cal, la resolució de l'equació de segon grau resultant.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x + 12$ sigui divisible pel binomi $(x + 1)$. Un cop trobat el valor de $k$, troba les altres arrels del polinomi.

Determina l'expressió algebraica d'un polinomi $P(x)$ de tercer grau sabent que compleix les condicions següents:

• Les seves arrels són $x = -2$, $x = 1$ i $x = 3$.

• El valor numèric del polinomi per a $x = 0$ és $12$ ($P(0) = 12$).

Expressa el resultat final de forma desenvolupada (com a suma de monomis).

Un arquitecte dissenya una maqueta d'un magatzem logístic amb forma de prisma rectangular. El volum de la maqueta ve donat pel polinomi $V(x) = x^3 + 7x^2 + 6x$, on $x$ representa l'altura en decímetres.

1. a) Factoritza el polinomi $V(x)$ per obtenir les expressions de les altres dues dimensions (llargada i amplada) en funció de $x$.
2. b) Si l'altura de la maqueta és de $2$ dm, quines són les dimensions de la base i quin és el volum total?

Troba el màxim comú divisor (M.C.D.) i el mínim comú múltiple (m.c.m.) dels polinomis següents:

$P(x) = x^3 - 4x$

$Q(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$

Una empresa de serveis financers analitza l'evolució dels seus beneficis mensuals mitjançant una funció polinòmica. Es sap que els beneficis $B(t)$ (en milers d'euros) durant els primers $6$ mesos de l'any segueixen el model:

$B(t) = t^3 - 9t^2 + 23t - 15$

On $t$ és el temps en mesos ($t=1$ és gener, $t=2$ és febrer, etc.). Factoritza el polinomi $B(t)$ i determina en quins mesos el benefici de l'empresa va ser exactament zero.

Factoritza els polinomis següents utilitzant les identitats notables (productes notables) i l'extracció de factor comú:

1. a) $R(x) = 4x^3 - 12x^2 + 9x$
2. b) $S(x) = x^4 - 81$
3. c) $T(x) = 3x^2 + 30x + 75$

Aplica el teorema de les arrels racionals per trobar totes les arrels reals del polinomi $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$. Un cop trobades, escriu la seva descomposició factorial.

Considera el polinomi $P(x) = x^4 - 15x^2 - 10x + 24$.

1. a) Estima abans de calcular:

• Si es divideix $P(x)$ entre $(x - 10)$, el residu serà positiu o negatiu? Sense calcular el valor numèric exacte, estima el seu ordre de magnitud (desenes, centenars, milers...) raonant quin dels termes del polinomi domina amb claredat sobre els altres quan $x = 10$.

• Utilitzant el Teorema de les arrels racionals, argumenta per què valors com $x = 5$ o $x = 7$ queden automàticament descartats com a possibles arrels enteres d'aquest polinomi sense necessitat de substituir-los ni de fer Ruffini.

1. b) Calcula i comprova:

• Determina el valor exacte del residu de la divisió $P(x) : (x - 10)$ aplicant el Teorema del Residu i verifica si concorda amb la teva estimació prèvia.

• Troba totes les arrels enteres de $P(x)$ factoritzant-lo completament a $\mathbb{R}$ mitjançant la regla de Ruffini i la posterior resolució de l'equació de segon grau que en resulti.

El departament financer d'una empresa necessita definir un polinomi $P(x)$ de grau 4 que compleixi simultàniament quatre especificacions per modelitzar un índex de rendibilitat:

1. És divisible entre el polinomi quadràtic irreductible $(x^2 - 2x + 5)$.

2. S'anul·la en els valors $x = -1$ i $x = 3$.

3. En dividir-lo entre $(x - 1)$, el residu obtingut és exactament $-32$.

4. El seu terme independent en la forma desenvolupada ha de ser un nombre enter negatiu.

1. a) Dedueix l'expressió factoritzada de $P(x)$ calculant de manera justificada el coeficient principal necessari per satisfer la condició del residu.
2. b) Desenvolupa el polinomi obtingut en potències decreixents de $x$, expressant-lo en la forma $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
3. c) Raona si existeix algun altre polinomi de grau 4 que compleixi les tres primeres condicions però el terme independent del qual sigui positiu.

Un equip d'experts en ciberseguretat utilitza polinomis per generar claus de xifratge. La seguretat d'un compte bancari depèn dels coeficients del polinomi $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 29x + 30$. Perquè la clau sigui vàlida, el polinomi ha de ser divisible pel binomi $(x - 2)$ i, a més, el residu de dividir $P(x)$ entre $(x + 1)$ ha de ser exactament $48$.

Calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la clau sigui segura i, posteriorment, fes la factorització completa del polinomi resultant sobre el conjunt dels nombres reals.

Una empresa de logística està dissenyant un nou model de caixa de cartró plegable per reduir l'ús de plàstics. El volum de la caixa, en decímetres cúbics, ve donat pel polinomi $V(x) = x^3 - 13x^2 + 50x - 56$, on $x$ representa una de les dimensions principals en decímetres.

Factoritza el polinomi per trobar les expressions de les tres dimensions de la caixa (llargada, amplada i alçada) en funció de $x$. Si sabem que totes les dimensions han de ser superiors a $1$ dm, determina el rang de valors possibles per a la variable $x$.

En un estudi sobre biologia de poblacions, s'ha modelat el creixement d'una colònia de bacteris mitjançant el polinomi de grau sis $B(t) = t^6 - 9t^3 + 8$, on $t$ és el temps en hores. Els biòlegs necessiten saber en quins moments exactes la població és nul·la per entendre els cicles d'extinció.

Factoritza el polinomi $B(t)$ utilitzant un canvi de variable adequat per convertir-lo en un polinomi de segon grau. Expressa el resultat com a producte de factors de primer grau i factors de segon grau irreductibles en el conjunt dels nombres reals.

Un dron de vigilància segueix una trajectòria l'altura de la qual sobre el nivell del mar es descriu mitjançant el polinomi $H(x) = x^3 - 12x^2 + kx - 48$. S'ha observat que el dron toca el terra (altura $H(x) = 0$) en tres punts diferents les distàncies dels quals a l'origen de coordenades, $x_1, x_2$ i $x_3$, formen una progressió aritmètica (és a dir, la diferència entre termes consecutius és constant).

Troba el valor de la constant $k$ i utilitza el teorema del factor per trobar les tres distàncies en què el dron aterra.

Considera un polinomi desconegut $P(x)$ del qual només tenim informació parcial obtinguda mitjançant proves de laboratori informàtic. Sabem que en dividir $P(x)$ entre $(x - 3)$, el residu obtingut és $10$. D'altra banda, en dividir el mateix polinomi $P(x)$ entre $(x + 2)$, el residu és $-5$.

Determina, de forma raonada, quin serà el residu de la divisió del polinomi $P(x)$ entre el producte $(x - 3)(x + 2)$. Pista: Recorda que el grau del residu sempre és menor que el grau del divisor.

El benefici net setmanal d'una startup de venda de roba vintage es modela mitjançant la funció $B(x) = -x^3 + 15x^2 - 44x + 30$, on $x$ és el nombre de milers d'euros invertits en màrqueting digital.

Per realitzar una auditoria, els gestors necessiten conèixer els punts d'equilibri (on el benefici és zero). Sabent que per a una inversió de $1000$ euros ($x=1$) el benefici ja s'anul·la, factoritza completament el polinomi per trobar tots els valors d'inversió que produeixen un benefici nul. Interpreta si hi ha valors de $x$ per als quals l'empresa entra en pèrdues basant-te en la factorització.

Factoritza el polinomi $P(x) = 12x^3 + 8x^2 - 13x + 3$ sabent que no té arrels enteres. Hauràs d'aplicar el teorema de l'arrel racional per identificar els possibles candidats de la forma $\frac{p}{q}$, on $p$ és divisor del terme independent i $q$ és divisor del coeficient principal.

Un cop trobada la primera arrel racional, utilitza la regla de Ruffini i resol l'equació de segon grau resultant per trobar les altres arrels i escriure la descomposició factorial completa.

Es vol construir un parc públic amb una font central de base rectangular. L'àrea total destinada a la font és $A(x) = 2x^4 - 20x^2 + 18$ metres quadrats. Els arquitectes necessiten que l'àrea sigui positiva perquè el disseny sigui viable.

Factoritza el polinomi $A(x)$ com a producte de quatre factors de primer grau. Utilitza aquesta factorització per determinar els intervals de valors de $x$ (amb $x > 0$) per als quals l'àrea és positiva i, per tant, la font es pot construir.

Una almàssera cooperativa de Jaén analitza el llançament d'una gamma d'oli d'oliva verge extra. L'equip econòmic estima que el benefici net trimestral $B(x)$ (expressat en milers d'euros) depèn del preu de venda $x$ (en euros per litre) segons el polinomi de tercer grau:

$B(x) = -x^3 + 14x^2 + 35x - 300$

on el preu admisible de mercat se situa en l'interval $[0, 20]$ euros per litre.

1. a) Si la cooperativa fixés un preu de $0$ €/l ($x = 0$), quin resultat comptable obtindria? Interpreta el significat econòmic del terme independent dins de l'estructura de costos de l'empresa (costos fixos).
2. b) Sabent que fixar un preu de $4$ €/l situa l'empresa exactament en el llindar de rendibilitat (benefici nul), utilitza la regla de Ruffini i la resolució de l'equació resultant per factoritzar completament $B(x)$ sobre $\mathbb{R}$.
3. c) Determina tots els preus de venda que produeixen un benefici nul ($B(x) = 0$) i interpreta quines arrels no tenen sentit econòmic en el context del mercat real.
4. d) Estudia el signe de $B(x)$ en els intervals delimitats per les seves arrels dins de $[0, 20]$ i assessora raonadament la direcció: en quin rang de preus la cooperativa obté beneficis nets estrictament positius ($B(x) > 0$)? Explica per què el benefici torna a ser negatiu si el preu supera els $15$ €/l.

L'Álvaro ha de factoritzar completament sobre $\mathbb{R}$ el polinomi $P(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$. En el seu desenvolupament segueix aquests passos:

1. Comprova que $x = 1,5 = \dfrac{3}{2}$ és arrel calculant $P(1,5) = 0$.

2. Aplica la regla de Ruffini amb el valor $1,5$ sobre els coeficients $[2, -1, -7, 6]$ i obté a la fila inferior els coeficients $[2, 2, -4]$ amb residu final $0$.

3. Resol l'equació $2x^2 + 2x - 4 = 0$, obtenint les arrels $x = 1$ i $x = -2$, per la qual cosa factoritza aquest quocient com a $2(x - 1)(x + 2)$.

4. Escriu la factorització final de $P(x)$ unint el divisor associat a la primera arrel amb els factors trobats:

$P(x) = (2x - 3)\cdot 2(x - 1)(x + 2) = 2(2x - 3)(x - 1)(x + 2)$

No obstant això, en multiplicar els factors per comprovar la seva feina, observa desconcertat que el terme de grau més alt resulta ser $4x^3$ i no $2x^3$.

1. a) Localitza amb exactitud matemàtica l'error comès per l'Álvaro en el pas 4 a partir de la identitat de la divisió $D(x) = d(x)\cdot C(x) + R$.
2. b) Explica quin quocient proporciona realment la regla de Ruffini quan s'utilitza un nombre fraccionari de la forma $\dfrac{a}{b}$ i quin ajust algebraic és imprescindible fer si es vol expressar la divisió respecte al binomi $(bx - a)$.
3. c) Escriu la factorització correcta i completa de $P(x)$ en producte de factors lineals irreductibles sobre $\mathbb{R}$ i verifica que el coeficient líder coincideix amb l'original.