Exercicis: Sistemes d'equacions no lineals

Resol el sistema d'equacions no lineals següent utilitzant el mètode de substitució:

$\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$

La figura mostra la paràbola i la recta corresponents a les dues equacions.

1. a) Resol el sistema per substitució i calcula les coordenades de totes les solucions $(x, y)$.

1. b) Explica breument què representen geomètricament les solucions obtingudes (punts de tall entre una paràbola i una recta) i comprova que el que has obtingut concorda amb la figura.

El perímetre d'una zona rectangular destinada a un «escape room» és de $20$ metres i la seva superfície total és de $24$ metres quadrats.

Calcula les dimensions (llargada i amplada) de l'habitació plantejant i resolent un sistema d'equacions.

Determina dos nombres naturals sabent que la seva suma és $10$ i que la suma dels seus quadrats és $58$. Per a fer-ho, tradueix l'enunciat a un sistema d'equacions i resol-lo per substitució.

Troba les solucions del sistema d'equacions següent:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$

A quina figura geomètrica correspon la primera equació? I la segona?

La diferència entre dos nombres és $2$ i el seu producte és $15$. Calcula aquests nombres plantejant un sistema d'equacions.

Resol el sistema següent utilitzant el mètode de reducció, aprofitant que totes dues incògnites estan elevades al quadrat:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$

Indica totes les parelles de solucions $(x, y)$ possibles.

Un jove dissenyador gràfic està creant un logotip que consisteix en una circumferència centrada a l'origen i una línia que la travessa. El programari de disseny li indica les equacions següents per als traços:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 3x \end{cases}$

Calcula els punts d'intersecció on es creuen la línia i la circumferència.

En un triangle rectangle, la hipotenusa fa $5$ cm. Si sabem que un catet és $1$ cm més llarg que l'altre, quant fan els dos catets?

Lucía intenta resoldre el sistema no lineal següent, que descriu la relació entre dues variables econòmiques:

En el seu examen escriu el desenvolupament següent:

• Pas 1: Aïllo $y$ de la primera equació: $y = 2x + 1$.

• Pas 2: Substitueixo en la segona equació: $x^2 + (2x + 1)^2 = 13$.

• Pas 3: Calculo el quadrat: $x^2 + 4x^2 + 1 = 13 \Rightarrow 5x^2 + 1 = 13$.

• Pas 4: Aïllo $x$: $5x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2,4}$.

1. a) Identifica en quin pas es troba l'error de Lucía i explica amb precisió matemàtica quina identitat o propietat algebraica ha aplicat de manera incorrecta.
2. b) Corregeix el procediment a partir del pas 2 i resol el sistema correctament, indicant totes les parelles de solucions $(x, y)$.

Es proposa resoldre el següent sistema d'equacions no lineals:

Per resoldre'l per substitució, tres estudiants proposen camins diferents:

• Irene: Aïllar $y$ a la primera equació i substituir la seva expressió a la segona.

• David: Aïllar $x$ a la primera equació i substituir la seva expressió a la segona.

• Clara: Aïllar $y^2$ a la segona equació ($y^2 = 2x^2 - 7$), aplicar l'arrel quadrada $y = \pm\sqrt{2x^2 - 7}$ i substituir a la primera.

1. a) Analitza raonadament les tres propostes: explica quina és la més convenient i quins inconvenients o riscos algebraics innecessaris introdueixen les altres dues.
2. b) Resol el sistema seguint l'estratègia òptima que has triat i expressa totes les solucions en forma de parells de coordenades $(x, y)$.

Un dron de vigilància segueix una trajectòria de seguretat en línia recta descrita per l'equació $x - y = 1$. Alhora, un intrús es desplaça pel perímetre d'una zona restringida la trajectòria de la qual respon a la funció parabòlica $y = x^2 - 5x + 6$. Determina els punts exactes del pla on totes dues trajectòries es creuen perquè el dron pugui interceptar l'intrús.

La figura mostra les dues trajectòries perquè t'orientis; les coordenades dels punts de creuament les has de calcular tu.

Calcula dos nombres naturals sabent que la seva diferència és igual a $4$ i que la suma dels seus quadrats és $106$. Planteja un sistema d'equacions no lineals i resol-lo utilitzant el mètode de substitució.

En el disseny d'un nou logotip per a una marca de roba, s'utilitza un cercle i una línia recta. El cercle està centrat en l'origen i la seva equació és $x^2 + y^2 = 25$. La línia de tall travessa el disseny seguint l'equació $2x + y = 1$. Troba els punts d'intersecció entre el cercle i la recta que defineixen els límits del logotip.

Resol el sistema d'equacions següent mitjançant el mètode que consideris més apropiat (substitució, igualació o reducció):

$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ (x + 2)(y - 1) = 12 \end{cases}$

Un estudi biològic analitza la interacció de dues poblacions de microorganismes en un laboratori. El nombre d'individus de cada població, $x$ i $y$, ha de satisfer el sistema d'equacions exponencials següent:

$\begin{cases} 2^x + 2^y = 10 \\ 2^{x-y} = 4 \end{cases}$

Determina els valors de $x$ i $y$ aplicant un canvi de variable si cal.

Dos inversors han dipositat els seus estalvis en diferents criptomonedes. La relació entre els seus beneficis mensuals ($x$ i $y$, expressats en milers d'euros) ve donada per un sistema logarítmic:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = \log(6) \\ x - 2y = 1 \end{cases}$

Calcula quant ha guanyat cada inversor aquest mes sabent que els beneficis han de ser valors positius.

L'àrea d'un jardí rectangular és de $180 \text{ m}^2$. Si s'augmenta la seva base en $2 \text{ metres}$ i es disminueix la seva altura en $3 \text{ metres}$, l'àrea resultant continua sent de $180 \text{ m}^2$. Calcula les dimensions originals (base i altura) del jardí.

Resol el sistema d'equacions amb fraccions algebraiques, fent les transformacions necessàries per obtenir una equació polinòmica:

$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6} \\ x + y = 5 \end{cases}$

Una cooperativa de comerç just a Granada vol condicionar una botiga rectangular d'exposició. El projecte arquitectònic fixa dues restriccions: el perímetre total del local ha de ser de $34\text{ m}$ i la superfície útil ha de ser exactament de $60\text{ m}^2$. A més, la normativa d'accessibilitat exigeix que l'amplada mínima del costat menor sigui d'almenys $4\text{ m}$.

1. a) Abans d'operar algebraicament, fes una estimació raonada: si el local fos perfectament quadrat amb aquest perímetre, quina àrea tindria? A partir d'aquesta cota màxima, raona per què el costat menor no pot ser ni molt proper a $0$ ni més gran que $8,5\text{ m}$, i estima un parell de nombres enters versemblants per a les dimensions.
2. b) Planteja el sistema d'equacions no lineal corresponent, resol-lo per substitució i troba les dimensions exactes del local ($x$ i $y$).
3. c) Comprova si les solucions obtingudes confirmen la teva estimació inicial i determina justificadament si el local complirà la normativa d'accessibilitat.

Una almàssera cooperativa de Jaén analitza la viabilitat econòmica de la seva nova línia d'oli d'oliva verge extra ecològic. El cost mitjà d'envasament per caixa, $y$ (en euros), depèn del nombre de caixes diàries produïdes, $x$, segons la funció racional $y = \frac{800 + 10x}{x}$, on $800\text{ \euro}$ corresponen a costos fixos diaris i $10\text{ \euro}$ al cost variable unitari. D'altra banda, els estudis de mercat determinen que el preu de venda unitari, $y$ (en euros per caixa), segueix la llei de demanda lineal $y + x = 70$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions no lineal que permet determinar els nivells de producció diària $x$ en què el preu de venda unitari iguala exactament el cost mitjà d'envasament (llindars de rendibilitat).
2. b) Resol el sistema i indica els parells de solucions $(x, y)$ obtinguts.
3. c) Interpreta el significat empresarial dels resultats: entre quins valors de producció diària de caixes la cooperativa obtindrà beneficis (és a dir, el preu de venda superarà el cost mitjà)? Justifica la teva conclusió analitzant què passaria si produïssin $30\text{ caixes}$ al dia respecte a si en produïssin únicament $10\text{ caixes}$.

Un estudi de disseny gràfic està creant un nou logotip circular travessat per una línia recta. La circumferència del logotip ve definida per l'equació $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$, mentre que la línia de tall segueix la recta d'equació $y - x = 2$. Determina mitjançant un sistema d'equacions no lineal els punts d'intersecció on la línia talla el cercle per col·locar uns nodes d'ancoratge.

Una botiga en línia de samarretes personalitzades ha determinat que el benefici net diari $B$ (en centenars d'euros) i el nombre de samarretes venudes $x$ estan relacionats per dos models d'optimització diferents. El primer model suggereix que $B + x^2 = 10x + 11$, mentre que el segon model, basat en costos variables, estableix que $B - 2x = -5$. Calcula els valors de vendes $x$ per als quals tots dos models coincideixen en el mateix benefici net.

Calcula les dimensions d'un jardí rectangular sabent que la seva diagonal mesura exactament $\sqrt{113}$ metres i que, si augmentéssim la seva base en 2 metres i disminuíssim la seva altura en 1 metre, l'àrea total no variaria. Planteja i resol el sistema d'equacions corresponent.

En un laboratori de biotecnologia, el creixement de dues poblacions de bacteris segueix patrons diferents. La població $A$ es regeix per l'expressió $2^x - 3^y = 7$, mentre que la relació de les seves densitats en un moment crític de l'experiment compleix que $2^{x+1} + 3^{y+1} = 59$. Troba els valors de $x$ i $y$ resolent el sistema mitjançant un canvi de variable adequat.

Troba dos nombres enters tals que la diferència dels seus quadrats sigui 56 i que la suma dels seus inversos sigui igual a $\frac{1}{45}$ multiplicat per la suma dels nombres originals.

Un projectil és llançat seguint una trajectòria parabòlica donada per l'equació $y = -x^2 + 8x - 7$. Al mateix temps, un raig làser de seguiment s'activa des de l'origen de coordenades seguint la trajectòria lineal $y = 2x$. Determina els punts de l'espai (coordenades $x, y$) en els quals el raig làser intercepta el projectil.

Resol el sistema següent d'equacions no lineals que involucra termes racionals i quadràtics:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$

Nota: Fes un canvi de variable per a la primera equació per simplificar el procés.

Es vol construir un marc de fusta per a un mirall rectangular de manera que l'àrea total (mirall més marc) sigui de $4000 \text{ cm}^2$. El mirall té una superfície de $2800 \text{ cm}^2$. Si el marc té una amplada constant de $5 \text{ cm}$ a tots els seus costats, calcula les dimensions exteriors del marc (llargada i amplada totals).

En un departament d'urbanisme necessiten definir sobre el plànol cartogràfic el traçat de dues infraestructures: una línia recta de tramvia i una via perimetral parabòlica. Per permetre l'enllaç de viatgers, totes dues línies s'han de creuar exactament en dues estacions les coordenades conegudes de les quals són $A(1, 4)$ i $B(3, 8)$ (amb distàncies expressades en quilòmetres), sense tenir cap altre punt en comú.

1. a) Dedueix l'equació lineal de la trajectòria del tramvia amb la forma $y = mx + n$ a partir de les coordenades d'ambdues estacions.
2. b) Sabent que la via parabòlica respon a una funció quadràtica simètrica respecte a l'eix vertical de la forma $y = a \cdot x^2 + c$, calcula raonadament els valors dels paràmetres $a$ i $c$ perquè passi per ambdues estacions.
3. c) Planteja el sistema d'equacions amb les expressions obtingudes i demostra algebraicament per què no hi ha més punts de tall entre ambdues infraestructures que els punts $A$ i $B$.
4. d) Els tècnics planegen una segona línia de tramvia paral·lela a la primera (amb la seva mateixa pendent $m$). Calcula quin valor ha de prendre el seu terme independent $n$ perquè sigui tangent a la via parabòlica, tocant-la en una única estació d'enllaç.

Una agència de màrqueting digital a Barcelona gestiona la captació d'usuaris per a una plataforma de serveis financers. La despesa publicitària diària $y$ (en centenars d'euros) i el nombre de clients registrats $x$ (en desenes de persones) estan vinculats pel pressupost de l'empresa segons la relació lineal $y - 3x = -4$. D'altra banda, a causa dels algorismes de saturació de l'audiència, el rendiment de la campanya respon al model no lineal amb radical:

1. a) Aïlla la variable lineal més adequada i substitueix-la a la segona equació per transformar-la en una equació polinòmica de segon grau en una sola incògnita.
2. b) Resol l'equació resultant per obtenir els valors candidats de $x$ i determina els seus corresponents valors de $y$.
3. c) Comprova rigorosament cadascuna de les parelles $(x, y)$ obtingudes en les dues equacions originals. Identifica quina d'elles és una «solució estranya» (falsa arrel), explica amb rigor algebraic per què ha aparegut durant el procediment de resolució i determina l'únic punt de funcionament real $(x, y)$ de la campanya publicitària interpretant els seus valors en desenes de clients i centenars d'euros.