Sistemas de ecuaciones no lineales

El perímetro de una zona rectangular destinada a un "escape room" es de $20$ metros y su superficie total es de $24$ metros cuadrados.

Calcula las dimensiones (largo y ancho) de la habitación planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones.

Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$

¿A qué figura geométrica corresponde la primera ecuación? ¿Y la segunda?

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de seguridad en línea recta descrita por la ecuación $x - y = 1$. Al mismo tiempo, un intruso se desplaza por el perímetro de una zona restringida cuya trayectoria responde a la función parabólica $y = x^2 - 5x + 6$. Determina los puntos exactos del plano donde ambas trayectorias se cruzan para que el dron pueda interceptar al intruso.

Calcula dos números naturales sabiendo que su diferencia es igual a $4$ y que la suma de sus cuadrados es $106$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y resuélvelo utilizando el método de sustitución.

Un estudio biológico analiza la interacción de dos poblaciones de microorganismos en un laboratorio. El número de individuos de cada población, $x$ e $y$, debe satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

$\begin{cases} 2^x + 2^y = 10 \\ 2^{x-y} = 4 \end{cases}$

Determina los valores de $x$ e $y$ aplicando un cambio de variable si es necesario.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de sustitución:

$\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$

Explica brevemente qué representan las soluciones obtenidas desde un punto de vista geométrico (puntos de corte entre una parábola y una recta).

En el diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa, se utiliza un círculo y una línea recta. El círculo está centrado en el origen y su ecuación es $x^2 + y^2 = 25$. La línea de corte atraviesa el diseño siguiendo la ecuación $2x + y = 1$. Halla los puntos de intersección entre el círculo y la recta que definen los límites del logotipo.

Determina dos números naturales sabiendo que su suma es $10$ y que la suma de sus cuadrados es $58$. Para ello, traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones y resuélvelo por sustitución.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado (sustitución, igualación o reducción):

$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ (x + 2)(y - 1) = 12 \end{cases}$

Una tienda online de camisetas personalizadas ha determinado que el beneficio neto diario $B$ (en cientos de euros) y el número de camisetas vendidas $x$ están relacionados por dos modelos de optimización diferentes. El primer modelo sugiere que $B + x^2 = 10x + 11$, mientras que el segundo modelo, basado en costes variables, establece que $B - 2x = -5$. Calcula los valores de ventas $x$ para los cuales ambos modelos coinciden en el mismo beneficio neto.