Exercicis: Monomis

Per entendre com funcionen les expressions matemàtiques en economia, és fonamental identificar-ne els components. Completa la informació sol·licitada per als monomis següents:

1. a) $7x^3$

1. b) $-x^2y$

1. c) $\frac{3}{5}ab^4$

Per a cadascun d'ells, indica el coeficient, la part literal i el grau.

En el disseny d'interfícies d'usuari, de vegades s'usen variables per definir la mida dels elements. Perquè puguem sumar o restar dos elements, els seus monomis han de ser semblants.

Determina quines de les parelles de monomis següents són semblants entre si:

1. a) $5x^2y$ i $-2x^2y$

1. b) $3ab^2$ i $3a^2b$

1. c) $-x$ i $\frac{1}{2}x$

1. d) $4z^3$ i $4z^2$

Simplifica les expressions següents agrupant els monomis que siguin semblants, tal com faries en calcular el balanç total d'ingressos i despeses d'una petita botiga:

1. a) $3x^2 + 5x^2 - 2x^2$

1. b) $7ab - 3ab + ab$

1. c) $4x^3 - 5x + 2x^3 + 9x$

Un arquitecte està dissenyant un ventanal rectangular per a una oficina d'un banc. Les dimensions del ventanal vénen donades en funció d'una variable $x$ com es mostra en la imatge. Escriu el monomi que representa l'àrea del ventanal.

Realitza les multiplicacions de monomis següents. Recorda que per multiplicar monomis es multipliquen els coeficients i es sumen els exponents de les lletres iguals:

1. a) $(4x^2) \cdot (3x^5)$

1. b) $(-2a^3b) \cdot (5ab^2)$

1. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^2y)$

Divideix els monomis següents i simplifica el resultat. Tingues en compte que per dividir monomis es divideixen els coeficients i es resten els exponents de les potències de la mateixa base:

1. a) $\frac{12x^7}{3x^2}$

1. b) $\frac{-20a^4b^3}{5a^2b}$

1. c) $\frac{8x^3y^2}{2x^3y}$

L'Elena està calculant els costos d'envasament d'un petit celler familiar i ha de simplificar la següent expressió algebraica:

En el seu examen, l'Elena escriu:

1) «Opero els dos primers termes: $3x^2 y^3 + 2x^2 y^2 \cdot y = 3x^2 y^3 + 2x^2 y^3 = 5x^4 y^6$».

2) «Calculo la potència del tercer terme: $(2x y^2)^2 = 4x^2 y^4$».

3) «Resto el resultat anterior: $5x^4 y^6 - 4x^2 y^4 = 1x^2 y^2$».

Identifica i explica de manera raonada els dos errors conceptuals que ha comès l'Elena (un de relatiu a la suma de monomis semblants i un altre de relatiu a la resta de monomis no semblants). A continuació, fes tu la simplificació correcta pas a pas i indica si l'expressió final és un monomi o un binomi, precisant-ne el grau.

Un algorisme de publicitat digital en xarxes socials estima l'impacte publicitari d'una campanya mitjançant el monomi $I(u, t) = 0,4 \cdot u^2 \cdot t^3$, on $u$ és el nombre d'usuaris assolits (en milers) i $t$ és el temps mitjà de permanència a l'aplicació (en minuts).

Una agència preveu una actualització tècnica que duplicarà el nombre d'usuaris ($u' = 2u$) i triplicarà el temps mitjà de permanència ($t' = 3t$).

1) Estima sense calcular: abans de fer comptes numèrics, raona basant-te únicament en els exponents de cada variable si l'impacte total es multiplicarà per menys de 50, entre 50 i 100, o per més de 100.

2) Comprova formalment: aplica les propietats de les potències i el producte de monomis per deduir per quin factor exacte queda multiplicat $I(u, t)$ després dels canvis. Compara aquest resultat amb la teva estimació prèvia i explica per què una variació en el temps $t$ té un impacte molt més dràstic en el model que la mateixa variació percentual en els usuaris $u$.

En una empresa de disseny d'envasos, es projecten caixes de cartró amb forma de prisma rectangular. La llargada de la base mesura el triple que l'amplada ($x$) i l'altura de la caixa és la meitat de l'amplada.

1. Expressa mitjançant un monomi en la variable $x$ el perímetre de la base de la caixa.

2. Expressa mitjançant un monomi el volum total de la caixa. Indica el coeficient, la part literal i el grau del monomi obtingut.

Simplifica les expressions següents operant amb monomis i redueix el resultat a la seva forma més senzilla:

1. a) $\displaystyle \frac{(15x^3y^2) \cdot (-2xy^4)}{6x^2y^3}$

1. b) $\displaystyle -3a^2b \cdot \left(\frac{1}{3}ab^3\right) + \frac{10a^3b^4}{2}$

Un analista financer modelitza els beneficis d'una startup tecnològica mitjançant el monomi $B(x, y) = 0,45x^2y$, on $x$ representa el nombre d'usuaris actius (en milers) i $y$ la despesa mitjana per usuari en màrqueting (en euros).

1. Calcula el valor numèric del benefici si l'empresa té $20.000$ usuaris ($x=20$) i la despesa en màrqueting és de $10$ € per usuari ($y=10$).

2. Si el nombre d'usuaris es duplica i la despesa en màrqueting es redueix a la meitat, què passa amb el benefici total? Justifica la teva resposta utilitzant les propietats dels monomis.

Determina si les afirmacions següents són verdaderes o falses, justificant raonadament la teva resposta mitjançant exemples o contraexemples:

1. a) La suma de dos monomis de grau 3 és sempre un altre monomi de grau 3.
2. b) El grau del monomi resultant de multiplicar un monomi de grau $n$ per un altre de grau $m$ és $n + m$.
3. c) En dividir dos monomis amb la mateixa part literal, el resultat és sempre un nombre real (grau 0).

En una parcel·la rectangular destinada a horts urbans, es vol instal·lar un sistema de reg automàtic. La parcel·la principal té unes dimensions de $5x$ de llargada per $3y$ d'amplada. A l'interior, es reserva un espai quadrat de costat $2x$ per a un cobert d'eines que no necessita reg.

1. Troba el monomi que representa l'àrea total de la parcel·la.

2. Troba el polinomi que representa l'àrea que ha de quedar coberta pel sistema de reg.

3. Calcula l'àrea de reg si $x = 4$ metres i $y = 6$ metres.

Donats els monomis $M = \frac{2}{3}x^2y^3$, $N = \frac{1}{2}x^2y^3$ i $P = -\frac{5}{6}x^2y^3$:

1. Realitza l'operació $M - N + P$ i simplifica el coeficient resultant.

2. Multiplica el resultat anterior pel monomi $Q = 12xy$. Indica el grau final de l'expressió obtinguda.

Un equip d'economistes estudia l'eficiència d'una planta solar. L'energia produïda al dia (en kWh) ve donada pel monomi $E(s, t) = \frac{3}{4}s \cdot t^2$, on $s$ és la superfície de panells en metres quadrats i $t$ és el temps d'exposició solar efectiva en hores.

1. Si disposem d'una superfície $s = 8x^2$ i el temps d'exposició és $t = 2x$, substitueix aquests valors en la fórmula i obtén un únic monomi en funció de $x$.

2. Indica el grau relatiu respecte a la variable $x$ del monomi resultant.

Troba l'error en el procés de simplificació següent realitzat per un alumne i escriu la resolució correcta pas a pas:

Expressió original: $\displaystyle \frac{8x^5 + 4x^5}{2x^2}$

Pas 1 de l'alumne: $\displaystyle \frac{12x^{10}}{2x^2}$

Pas 2 de l'alumne: $\displaystyle 6x^5$

Explica quina propietat de les potències o dels monomis ha aplicat incorrectament l'alumne en cada pas.

En el departament d'anàlisi d'una empresa de comerç electrònic a Madrid, el benefici brut mensual (en euros) ve modelitzat per un monomi $B(x, y)$ el grau global del qual és 11. Se sap que aquest benefici s'obté multiplicant el monomi del marge unitari $M(x, y) = 3x^a y^2$ pel quadrat del monomi del volum de vendes $V(x, y) = b x^2 y^c$, és a dir:

A més, les dades comptables confirmen que el coeficient numèric final de $B(x, y)$ és 48 i que el grau relatiu respecte a la variable $x$ és 5.

1) Determina de manera raonada els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$, sabent que són nombres naturals i que $b > 0$.

2) Escriu l'expressió analítica simplificada de $B(x, y)$.

3) Si l'empresa divideix aquest benefici entre un monomi de costos fixos $D(x, y) = 6x^3 y^2$, calcula el monomi resultant $C(x, y)$ i explica raonadament com canvia el grau global sense necessitat de tornar a sumar tots els exponents des de zero.

Dos analistes de gestió, el Sergio i la Rocío, han de calcular el valor numèric de la facturació prevista d'una consultora. El model algebraic simplificat ve donat per l'expressió:

on $x$ és el nombre de clients corporatius i $y$ és el nombre de projectes oberts. Han d'avaluar el resultat per a $x = 5$ i $y = 2$.

• Mètode del Sergio: substitueix directament els valors $x = 5$ i $y = 2$ a l'expressió tal com està i calcula les potències numèriques amb calculadora terme a terme.

• Mètode de la Rocío: aplica primer les propietats dels monomis (potència, producte i quocient) per reduir l'expressió a un únic monomi simplificat $k \cdot x^n y^m$, i només després substitueix els valors numèrics.

1) Aplica el mètode de la Rocío: simplifica l'expressió pas a pas i indica el monomi irreductible resultant juntament amb el seu coeficient i el seu grau.

2) Calcula el valor numèric final utilitzant l'expressió simplificada.

3) Compara ambdós camins: quins desavantatges numèrics (risc de desbordament de xifres o error de càlcul) presenta el mètode del Sergio respecte al de la Rocío? Si la consultora hagués d'avaluar aquesta fórmula per a una taula de 200 combinacions diferents de $(x, y)$, raona quin dels dos mètodes optimitza el càlcul.

En un centre de dades per a intel·ligència artificial, el volum d'aire necessari per refrigerar un rack de servidors es modelitza mitjançant el producte de tres dimensions crítiques. L'altura és un monomi $A(x, y) = \frac{3}{4}x^2y$, l'amplada és $B(x, y) = \frac{8}{9}xy^3$ i la profunditat és $C(x, y) = \frac{1}{2}x^3y^2$.

Obtén el monomi resultant que defineix el volum total $V(x, y)$ del rack i determina el seu coeficient, la seva part literal i el seu grau global. Què ocorreria amb el grau del monomi si dupliquéssim la potència de la variable $x$ en la profunditat?

Considera el monomi $M(a, b) = k \cdot a^{n+1} \cdot b^{2m-3}$. Es sap que en dividir aquest monomi per $Q(a, b) = \frac{1}{3}a^2b^2$, s'obté un monomi de grau 5 el coeficient del qual és 12. A més, es coneix que en el monomi resultant, el grau relatiu respecte a la variable $a$ és el triple que el grau relatiu respecte a la variable $b$.

Calcula els valors dels paràmetres $k$, $n$ i $m$.

Simplifica la següent expressió algebraica fins a reduir-la a un únic monomi. Tingues en compte les propietats de les potències i opera amb cura amb els coeficients fraccionaris:

Indica el grau del monomi resultant.

Un dron de missatgeria consumeix energia segons la seva velocitat $v$ i la massa de la càrrega $m$. El consum per quilòmetre ve donat pel monomi $E(m, v) = \frac{k}{100} \cdot m \cdot v^2$.

Si el dron transporta una càrrega que s'expressa com el monomi $m = 5x^2y$ i es desplaça a una velocitat definida pel monomi $v = 2xy^3$, troba l'expressió del consum energètic $E$ en funció de $x$ i $y$. Si el valor numèric de $k$ és 0,5, calcula el consum per a $x = 2$ i $y = 1$.

Troba dos monomis $M_1$ i $M_2$ tals que la seva suma sigui $10x^2y^3$ i el seu producte sigui $16x^4y^6$. Són semblants, aquests monomis? Justifica la teva resposta basant-te en la definició de semblança i en els resultats obtinguts.

En el disseny d'una nova plaça circular, l'arquitecte defineix el radi de la zona central com a $R = 2x^2y$. Al voltant d'aquesta zona, es projecta un anell enjardinat el radi exterior del qual és el triple del radi interior.

Expressa mitjançant un monomi l'àrea de la superfície enjardinada (l'anell). Deixa el resultat en funció de $\pi$, $x$ i $y$. Quin és el grau d'aquest monomi?

Es vol repartir una subvenció governamental de $S$ euros entre un nombre de municipis $N$ que depèn de la població. La subvenció total està definida pel monomi $S(a, b) = 144a^6b^4$ i el nombre de municipis per $N(a, b) = (2a^2b)^2$.

Calcula el monomi que representa la quantitat d'euros que rebrà cada municipi. Si a causa d'un ajust pressupostari la quantitat per municipi s'ha de reduir a la quarta part, quin seria el nou monomi resultant?

Determina el valor dels coeficients reals $p$ i $q$ perquè el producte dels monomis $A(x) = p x^{n+2}$ i $B(x) = q x^{2n-1}$ sigui igual al monomi $C(x) = 15x^{10}$. Sabent a més que si sumem $A(x)$ i $B(x)$ quan $n=3$, obtenim un binomi el valor numèric del qual per a $x=1$ és 8.

Resol el sistema per trobar $p$ i $q$.

Una cooperativa agrària d'exportació de cítrics a Castelló modelitza el consum energètic setmanal de refrigeració $E$ (en kWh) de les seves cambres industrials mitjançant el producte de factors associats a les seves dimensions i a la seva operativa. La cambra té forma de prisma rectangular amb base quadrada de costat $x$ (en metres) i alçària $y$ (en metres). La rotació setmanal d'estoc es representa mitjançant la variable $z$.

El model tècnic d'enginyeria estableix que:

on $V(x, y)$ és el volum de la cambra expressat com un monomi en funció de $x$ i $y$, i $S(x, y, z)$ és un índex de superfície i rotació definit pel monomi $S(x, y, z) = \frac{4}{3} x y z^2$.

1) Modelització i simplificació: escriu el monomi del volum $V(x, y)$ i obtén l'expressió simplificada de $E(x, y, z)$ com un únic monomi. Especifica el seu coeficient (en forma decimal o fraccionària irreductible), la seva part literal i el seu grau total.

2) Presa de decisions i justificació: la direcció de la cooperativa vol ampliar la capacitat volumètrica de la cambra refrigerada i planteja dues alternatives exclusives:

• Alternativa A: duplicar únicament l'alçària de la cambra ($y' = 2y$), mantenint la base $x$ i la rotació $z$ fixes.

• Alternativa B: duplicar únicament el costat de la base quadrada ($x' = 2x$), mantenint l'alçària $y$ i la rotació $z$ fixes.

Determina algebraicament, aplicant les propietats dels monomis, per quin factor numèric es multiplica el consum $E$ en cada alternativa. Justifica quina de les dues ampliacions és més eficient energèticament, és a dir, quina presenta menor consum per unitat de volum ($E/V$) després de l'ampliació, basant-te en els graus relatius de les variables en el monomi resultant.

En el disseny d'una tarifa elèctrica industrial per a pimes en el mercat ibèric, una consultora defineix dos monomis de cost associats a la compra d'energia:

on $x$ representa la cotització del gas natural al MIBGAS i $y$ el preu dels drets d'emissió de $\text{CO}_2$, amb $m, n \in \mathbb{N}$.

1) Determina de manera raonada els únics valors de $m$ i $n$ que fan que $P(x, y)$ i $Q(x, y)$ siguin monomis semblants, condició necessària perquè es puguin sumar en una única partida de cost $C(x, y) = P(x, y) + Q(x, y)$.

2) Amb els valors trobats, calcula els coeficients $a$ i $b$ sabent que la suma és $C(x, y) = 14 x^p y^q$ (indicant els valors de $p$ i $q$) i que el quocient exacte $P(x, y) : Q(x, y)$ és igual a $2,5$.

3) Un analista en pràctiques afirma: «Si multipliquem el monomi resultant $C(x, y)$ per qualsevol altre monomi de grau $k$ i després dividim el resultat entre un monomi de grau $d$, l'expressió final sempre serà un monomi sempre que $k \ge d$». Demostra que aquesta afirmació és falsa proposant un contraexemple concret i enuncia la condició necessària i suficient sobre la part literal perquè la divisió de dos monomis doni com a resultat un altre monomi.