Monomios

Para entender cómo funcionan las expresiones matemáticas en economía, es fundamental identificar sus componentes. Completa la información solicitada para los siguientes monomios:

1. a) $7x^3$

1. b) $-x^2y$

1. c) $\frac{3}{5}ab^4$

Para cada uno de ellos, indica el coeficiente, la parte literal y el grado.

Un arquitecto está diseñando un ventanal rectangular para una oficina de un banco. Las dimensiones del ventanal vienen dadas en función de una variable $x$ como se muestra en la imagen. Escribe el monomio que representa el área del ventanal.

En el diseño de interfaces de usuario, a veces se usan variables para definir el tamaño de los elementos. Para que podamos sumar o restar dos elementos, sus monomios deben ser semejantes.

Determina cuáles de las siguientes parejas de monomios son semejantes entre sí:

1. a) $5x^2y$ y $-2x^2y$

1. b) $3ab^2$ y $3a^2b$

1. c) $-x$ y $\frac{1}{2}x$

1. d) $4z^3$ y $4z^2$

Simplifica las siguientes expresiones operando con monomios y reduce el resultado a su forma más sencilla:

1. a) $\displaystyle \frac{(15x^3y^2) \cdot (-2xy^4)}{6x^2y^3}$

1. b) $\displaystyle -3a^2b \cdot \left(\frac{1}{3}ab^3\right) + \frac{10a^3b^4}{2}$

En una empresa de diseño de envases, se están proyectando cajas de cartón con forma de prisma rectangular. El largo de la base mide el triple que el ancho ($x$) y la altura de la caja es la mitad del ancho.

1. Expresa mediante un monomio en la variable $x$ el perímetro de la base de la caja.

2. Expresa mediante un monomio el volumen total de la caja. Indica el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio obtenido.

En una parcela rectangular destinada a huertos urbanos, se quiere instalar un sistema de riego automático. La parcela principal tiene dimensiones $5x$ de largo por $3y$ de ancho. En su interior, se reserva un espacio cuadrado de lado $2x$ para un cobertizo de herramientas que no necesita riego.

1. Halla el monomio que representa el área total de la parcela.

2. Halla el monomio que representa el área que debe ser cubierta por el sistema de riego.

3. Calcula el área de riego si $x = 4$ metros e $y = 6$ metros.

Simplifica las siguientes expresiones agrupando los monomios que sean semejantes, tal como harías al calcular el balance total de ingresos y gastos de una pequeña tienda:

1. a) $3x^2 + 5x^2 - 2x^2$

1. b) $7ab - 3ab + ab$

1. c) $4x^3 - 5x + 2x^3 + 9x$

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando razonadamente tu respuesta mediante ejemplos o contraejemplos:

1. a) La suma de dos monomios de grado 3 es siempre otro monomio de grado 3.
2. b) El grado del monomio resultante de multiplicar un monomio de grado $n$ por otro de grado $m$ es $n + m$.
3. c) Al dividir dos monomios con la misma parte literal, el resultado es siempre un número real (grado 0).

Un analista financiero modeliza los beneficios de una startup tecnológica mediante el monomio $B(x, y) = 0,45x^2y$, donde $x$ representa el número de usuarios activos (en miles) e $y$ el gasto medio por usuario en marketing (en euros).

1. Calcula el valor numérico del beneficio si la empresa tiene $20.000$ usuarios ($x=20$) y el gasto en marketing es de $10$ € por usuario ($y=10$).

2. Si el número de usuarios se duplica y el gasto en marketing se reduce a la mitad, ¿qué ocurre con el beneficio total? Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de los monomios.

En un centro de datos para inteligencia artificial, el volumen de aire necesario para refrigerar un rack de servidores se modela mediante el producto de tres dimensiones críticas. La altura es un monomio $A(x, y) = \frac{3}{4}x^2y$, la anchura es $B(x, y) = \frac{8}{9}xy^3$ y la profundidad es $C(x, y) = \frac{1}{2}x^3y^2$.

Obtén el monomio resultante que define el volumen total $V(x, y)$ del rack y determina su coeficiente, su parte literal y su grado global. ¿Qué ocurriría con el grado del monomio si duplicáramos la potencia de la variable $x$ en la profundidad?