Exercicis: Sistemes d'inequacions

Determina el conjunt de nombres reals que compleixen simultàniament les dues condicions següents. Expressa el resultat en forma d'interval i representa'l sobre la recta real:

1. El doble d'un nombre és més gran que 4.

2. Aquest mateix nombre és menor o igual que 7.

Escriu el sistema d'inequacions corresponent i troba la seva solució.

Resol el sistema d'inequacions lineals amb una sola incògnita següent:

$\begin{cases} 2x - 5 < 3 \\ 3x + 2 \ge 8 \end{cases}$

1. a) Resol cada inequació per separat i expressa la solució del sistema com a interval. Representa-la a la recta real.

1. b) Determina si el valor $x = 3$ forma part de la solució, comprovant-ho en les dues inequacions.

Representa en el pla cartesià la regió de punts $(x, y)$ que satisfan la inequació lineal:

$x + y \le 5$

Per fer-ho, dibuixa primer la recta associada, tria un punt de prova (com l'origen de coordenades) i ombreja el semipla correcte.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Identifica gràficament la regió factible (el recinte de solucions comunes) del sistema d'inequacions següent en el primer quadrant:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 6 \end{cases}$

A la figura tens dibuixats els eixos i la recta $x + 2y = 6$, amb la regió factible ombrejada.

1. a) Comprova, amb l'ajuda de la figura, que la regió és un triangle.

1. b) Calcula les coordenades dels tres vèrtexs que formen el triangle de la solució.

Un estudiant de 1r de Batxillerat vol organitzar una festa de graduació. El cost del lloguer del local és de $200$ € i cada menú costa $15$ €. Si el pressupost total disponible és de com a màxim $1500$ € i s'espera que hi assisteixin com a mínim $40$ persones:

1. a) Planteja un sistema d'inequacions que modeli aquesta situació, anomenant $x$ el nombre d'assistents.
2. b) És possible que assisteixin $90$ persones a la festa? Justifica la teva resposta fent servir el sistema plantejat.

Atès el gràfic següent, que representa la solució d'un sistema d'inequacions, determina quina de les opcions proposades correspon a les restriccions ombrejades:

A) $\begin{cases} x \le 2 \\ y \ge 1 \end{cases}$ dins del primer quadrant ($x \ge 0, y \ge 0$).

B) $\begin{cases} x \ge 2 \\ y \le 1 \end{cases}$

C) $\begin{cases} x \le 2 \\ y \le 1 \end{cases}$

Comprova si els punts $A(1, 1)$, $B(4, 0)$ i $C(2, 3)$ són solucions del sistema d'inequacions:

$\begin{cases} x + y > 2 \\ 2x - y < 5 \end{cases}$

Has de verificar cada punt en totes dues inequacions per confirmar si pertanyen a la regió d'intersecció.

Una petita empresa fabrica dos tipus de fundes per a mòbils: el model "Eco" ($x$) i el model "Premium" ($y$). Per raons de producció, l'empresa ha de complir aquestes condicions diàries:

1. El nombre total de fundes fabricades no pot superar les $100$ unitats.

2. S'han de fabricar com a mínim $20$ fundes del model "Premium".

Planteja el sistema d'inequacions que representa aquestes restriccions i dibuixa de forma esquemàtica la regió on es troben les possibles combinacions de producció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per resoldre gràficament el sistema d'inequacions:

$$\begin{cases} 3x - 2y \geq 0 \\ x + y \leq 6 \end{cases}$$

En Marcos fa el procediment següent:

1. Representa al pla les rectes frontera $r_1: 3x - 2y = 0$ i $r_2: x + y = 6$.

2. Per decidir quin semiplà triar en la primera inequació, agafa l'origen $(0,0)$ com a punt de prova, comprova que $3\cdot 0 - 2\cdot 0 \geq 0$ és cert ($0 \geq 0$) i conclou que ha d'ombrejar el semiplà on hi ha el $(0,0)$.

3. Per a la segona inequació, torna a agafar el $(0,0)$, verifica que $0 + 0 \leq 6$ és cert i ombreja el semiplà que conté l'origen.

4. Determina la solució com la intersecció d'ambdós semiplans.

Identifica i explica raonadament el greu error conceptual que comet en Marcos en el pas 2. Explica per què l'origen no serveix per prendre aquesta decisió en aquesta recta concreta, proposa un punt de prova adequat que resolgui l'ambigüitat i descriu quin és el semiplà correcte per a la primera inequació.

Considera el següent sistema d'inequacions amb una incògnita:

$$\begin{cases} 5 - 2x \leq 13 \\ \frac{4x - 1}{3} < 5 \end{cases}$$

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, fes una estimació raonada: substitueix mentalment els valors $x = -5$ i $x = 2$ en les dues inequacions. Dedueix, sense aïllar la incògnita, si algun d'aquests dos valors pot formar part del conjunt solució i justifica la teva estimació a partir de la magnitud dels termes.
2. b) Resol formalment el sistema trobant l'interval solució de cada inequació i la seva intersecció final.
3. c) Comprova si les teves estimacions prèvies eren correctes i explica què passa amb el sentit de la desigualtat en la primera inequació en aïllar la incògnita, raonant per què es produeix aquest canvi geomètricament a la recta real.

Resol el sistema següent d'inequacions amb una sola incògnita i representa la solució sobre la recta real, expressant-la finalment en forma d'interval:

$\begin{cases} \frac{2x - 5}{3} \leq x + 1 \\ 3(x - 2) > 2x - 7 \end{cases}$

Determina de manera gràfica la regió factible del pla que satisfà el sistema d'inequacions lineals següent:

$$\begin{cases} 2x + y \geq 4 \\ x - 2y < 2 \\ y \leq 3 \end{cases}$$

Dibuixa al teu quadern uns eixos de coordenades i resol els apartats següents:

1. a) Representa cadascuna de les tres rectes frontera. Fes servir traç continu si la desigualtat no és estricta i traç discontinu si ho és.

1. b) Tria un punt de prova per a cada recta, decideix quin semiplà correspon a cada inequació i ombreja la regió factible.

1. c) Indica si el punt $P(1, 2)$ forma part de la solució del sistema. Justifica-ho substituint-ne les coordenades en les tres inequacions.

Una empresa de tecnologia llança dos nous models d'auriculars sense fil: el model Sonic ($x$) i el model Bass ($y$). A causa de limitacions de producció i mercat, s'han de complir les condicions següents:

1. El nombre total d'unitats fabricades no pot superar les 80 diàries.

2. Per mantenir l'exclusivitat, s'han de fabricar com a mínim 20 unitats del model Sonic.

3. El nombre d'unitats del model Bass no pot ser superior al triple del model Sonic.

Escriu el sistema d'inequacions que representa aquestes restriccions i dibuixa la regió de solucions possibles.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba el sistema d'inequacions lineals que defineix la regió ombrejada en la figura següent:

Un nutricionista està dissenyant una dieta que combina dos aliments, $A$ i $B$. Cada unitat de l'aliment $A$ aporta 2 grams de proteïnes i 4 de carbohidrats. Cada unitat de l'aliment $B$ aporta 3 grams de proteïnes i 2 de carbohidrats. La dieta ha de complir els requisits mínims diaris següents:

• Com a mínim 12 grams de proteïnes.

• Com a mínim 10 grams de carbohidrats.

• No es poden consumir més de 5 unitats de l'aliment $B$.

Planteja el sistema d'inequacions i representa gràficament la zona on es compleixen tots els requisits (regió factible).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Resol gràficament el sistema següent de quatre inequacions i indica si la regió resultant és acotada (tancada) o no acotada (oberta). Calcula les coordenades de tots els seus vèrtexs:

$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ 2x - y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

Calcula el conjunt de valors de $x$ que satisfan simultàniament les tres condicions següents:

1. El doble de $x$ augmentat en 10 unitats és més gran que el seu triple disminuït en 5.

2. La quarta part de $x$ és menor o igual que 4.

3. $x$ ha de ser un nombre positiu.

Expressa la solució mitjançant una única inequació amb valor absolut si és possible, o com un interval.

Una associació juvenil promociona la seva festa anual amb anuncis a la ràdio local ($x$ = nombre d'anuncis de ràdio) i cartells als instituts de la comarca ($y$ = nombre de campanyes de cartells). Disposen d'un pressupost màxim de $2000$ € al mes. Cada anunci de ràdio costa $200$ € i cada campanya de cartells $100$ €. Per estratègia de difusió, han decidit que:

• El nombre de campanyes de cartells ha de ser almenys igual al d'anuncis de ràdio.

• S'han de fer, com a màxim, 8 accions en total entre tots dos mitjans.

• No es poden fer més de 6 campanyes de cartells.

A més, $x$ i $y$ són nombres enters no negatius.

1. a) Escriu el sistema d'inequacions que descriu aquestes condicions.

1. b) Representa gràficament l'àrea de decisió (regió factible).

1. c) Proposa tres combinacions enteres $(x, y)$ d'accions que siguin vàlides i comprova que compleixen totes les condicions.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una almàssera ecològica de Jaén comercialitza dos formats d'oli d'oliva verge extra: Garrafa Familiar ($x$, de 5 litres) i Ampolla Collita Primerenca ($y$, d'1 litre). Per a la campanya del mes de novembre, la direcció estableix les següents restriccions de producció:

• Per capacitat màxima de la línia d'envasament, la suma total de recipients (garrafes i ampolles) no pot superar les $1000$ unitats setmanals.

• Per garantir la rendibilitat, el nombre d'ampolles de Collita Primerenca envasades ha de ser, com a mínim, el triple que el nombre de garrafes Familiars.

• Per compromisos previs amb distribuïdors locals, s'han d'envasar setmanalment com a mínim $150$ garrafes Familiars.

• Per disponibilitat limitada del fruit primerenc, es poden produir com a màxim $800$ ampolles de Collita Primerenca per setmana.

1. a) Escriu el sistema d'inequacions lineals que modelitza la situació, incorporant les restriccions de no-negativitat corresponents.
2. b) Determina algebricament les coordenades de tots els vèrtexs del recinte factible resolent els sistemes de dues equacions lineals corresponents a les interseccions de les rectes frontera.
3. c) Justifica analíticament si seria viable atendre en una mateixa setmana una comanda extraordinària de $200$ garrafes Familiars i $700$ ampolles de Collita Primerenca comprovant si aquest punt satisfà totes les inequacions.

En un plànol d'ordenació urbana s'ha delimitat una zona verda de vianants amb forma de triangle els vèrtexs de la qual són els punts $A(1, 2)$, $B(7, 2)$ i $C(3, 6)$, amb els seus costats inclosos en el recinte.

1. a) Determina les equacions de les tres rectes frontera que delimiten el triangle: el costat horitzontal $AB$ i els costats oblics $AC$ i $BC$.
2. b) Construeix el sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites la regió factible del qual sigui exactament aquest triangle tancat. Explica el raonament que utilitzes per decidir el sentit de cada desigualtat ($\leq$ o $\geq$), indicant quin punt de prova interior utilitzes per confirmar-ho.
3. c) Si el consistori decideix ampliar la zona desplaçant la frontera $BC$ de manera paral·lela cap a l'exterior de manera que el nou vèrtex passi a ser $C'(3, 8)$ mantenint fixa la base $AB$, quina seria la nova inequació que substitueix la del costat $BC$?

Un estudi de gravació per a joves talents a Madrid ofereix dos tipus de sessions: Sessió Acústica ($x$) i Sessió Banda ($y$). A causa de la normativa de sorolls i de la disponibilitat dels tècnics, l'estudi ha de complir les restriccions setmanals següents:

• El nombre total de sessions no pot superar les 15.

• El temps d'edició per a una sessió acústica és de 2 hores i per a una de banda és de 5 hores. L'estudi no disposa de més de 50 hores d'edició a la setmana.

• Per polítiques de promoció, el nombre de sessions de banda ha de ser, almenys, la meitat del nombre de sessions acústiques.

• No es poden fer més de 8 sessions de banda.

• A més, $x \geq 0$ i $y \geq 0$, perquè no pot haver-hi un nombre negatiu de sessions.

1. a) Representa gràficament la regió factible on es troben les possibles combinacions de sessions.

1. b) Determina si és possible fer 10 sessions acústiques i 6 de banda complint tots els requisits.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Determina el sistema d'inequacions lineals que defineix el quadrilàter convex els vèrtexs del qual són els punts $A(1, 2)$, $B(5, 2)$, $C(4, 6)$ i $D(2, 5)$. Has d'expressar cada inequació en la forma $ax + by \leq c$ o $ax + by \geq c$.

Un taller d'artesania produeix polseres ($x$) i collars ($y$) que ven en un mercat setmanal. Es coneixen les condicions de producció diària següents:

1. El cost de materials és de $10\euro$ per polsera i $30\euro$ per collar. El pressupost total de materials no pot excedir els $450\euro$ al dia.

2. Per cada collar elaborat, s'han de produir com a mínim 2 polseres, ja que es venen com un conjunt.

3. A causa de l'espai a l'expositor, el nombre de polseres no pot superar en més de 10 el nombre de collars.

4. La suma del triple de collars i el nombre de polseres ha de ser com a mínim 15 per cobrir la comanda mínima d'una botiga local.

Planteja el sistema d'inequacions, dibuixa la regió de solucions i respon: quin és el nombre màxim de collars que es poden produir sota aquestes condicions?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sigui el següent sistema d'inequacions dependent d'un paràmetre $k \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x \geq 1 \\ y \geq 0 \\ y \leq k \end{cases}$$

Analitza com varia la forma de la regió factible (si és un triangle, un trapezi o si desapareix) en funció dels valors que prengui $k$. En particular, determina el valor de $k$ per al qual la regió factible és un trapezi d'àrea exactament $8$ unitats quadrades.

Resol gràficament el sistema següent d'inequacions i comprova si existeix alguna solució entera $(x, y)$ que satisfaci totes les condicions simultàniament:

$$\begin{cases} \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{3} > 1 \\ 2x - y < 4 \\ x + 3y > 6 \\ y < 3 \end{cases}$$

Indica raonadament si la regió factible és acotada o no acotada.

Un centre esportiu ofereix cursos de Ioga i Pilates. Per normativa de seguretat sanitària, l'aforament total està limitat a 100 persones. A més:

• El nombre d'alumnes de Ioga ($x$) no pot excedir el doble dels de Pilates ($y$).

• Perquè el centre sigui rendible, l'ingrés total ha de ser de com a mínim $3600\euro$. Ioga costa $30\euro/\text{mes}$ i Pilates $60\euro/\text{mes}$.

• Es requereix un professor per cada 20 alumnes de Ioga i un per cada 10 de Pilates. El centre només disposa de 7 professors en aquesta franja horària.

Escriu el sistema d'inequacions simplificat, dibuixa la regió factible i determina els punts extrems (vèrtexs).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la regió del pla definida pel sistema següent:

$$\begin{cases} y - x \leq 4 \\ y + x \geq 2 \\ y - 2x \geq -4 \\ y \leq 5 \end{cases}$$

1. a) Dibuixa la regió factible amb precisió.

1. b) Calcula l'àrea del polígon resultant.

1. c) Determina els punts de la regió que minimitzen l'expressió $Z = x + y$ (indica si és un de sol o n'hi ha més d'un), justificant la teva resposta a partir de la representació gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per estudiar el següent sistema d'inequacions lineals:

$$\begin{cases} 2x - y \geq -2 \\ 2x - y \leq 6 \\ x + 2y \geq 4 \\ x \geq 0, \quad y \geq 0 \end{cases}$$

dos estudiants debaten sobre quina és la millor estratègia per comprovar si la regió factible és fitada (un polígon tancat) o no fitada (s'estén indefinidament):

• Mètode de la Sara: Representar meticulosament en paper mil·limetrat les cinc rectes frontera mitjançant taules de valors, ombrejar els semiplans amb fletxes, buscar visualment on es tallen i deduir la forma de la regió a partir del dibuix resultant.

• Mètode d'en David: Analitzar la posició relativa de les rectes frontera (en particular, observant que les dues primeres inequacions representen una franja delimitada per rectes paral·leles amb pendent positiu), comprovar si les altres restriccions tanquen aquesta franja en el primer quadrant en estudiar el comportament conjunt quan les variables creixen, i calcular únicament els vèrtexs indispensables.

1. a) Compara críticament ambdós mètodes: discuteix en quines circumstàncies el mètode gràfic de la Sara pot induir a error o exigir dimensions inabastables de paper, i quins avantatges de rigor analític aporta l'estratègia d'en David.
2. b) Aplica el raonament analític proposat per en David per demostrar si la regió és fitada o no fitada, justificant formalment què passa amb els punts de la regió quan la variable $x$ es fa arbitràriament gran.
3. c) Calcula algebricament les coordenades de tots els vèrtexs que delimiten la regió factible.

Una empresa de paqueteria urgent que opera a la Zona de Baixes Emissions (ZBE) de Madrid gestiona la seva flota diària combinant furgonetes elèctriques estàndard ($x$) i furgonetes elèctriques de gran capacitat ($y$). Les condicions de recàrrega nocturna i capacitat de magatzem vénen donades pel sistema:

$$\begin{cases} x + y \geq 10 \\ 2x + y \leq 24 \\ x - y \leq k \\ x \geq 0, \quad y \geq 0 \end{cases}$$

on $k$ és un paràmetre real que fixa la direcció tècnica en funció del protocol ambiental activat.

1. a) Sense tenir en compte la inequació que conté el paràmetre $k$, calcula analíticament les coordenades dels quatre vèrtexs del quadrilàter que determinen les restants quatre restriccions en el primer quadrant.
2. b) Avalua raonadament els valors que pren l'expressió $x - y$ en els vèrtexs trobats en l'apartat anterior i dedueix per a quins valors del paràmetre $k$ el sistema complet resulta incompatible (és a dir, la regió factible queda completament buida).
3. c) Per al valor concret $k = 2$, determina les coordenades exactes de tots els vèrtexs del recinte factible resultant i raona quin és el nombre màxim enter de furgonetes estàndard ($x$) que l'empresa pot posar en servei complint simultàniament totes les condicions.