Exercicis: Inequacions de primer i segon grau

Resol la inequació de primer grau següent i representa la solució a la recta real utilitzant un interval:

$5 - 2x \le 11$

Dibuixa al teu quadern una recta real amb una escala adequada, marca l'extrem de l'interval i assenyala si queda inclòs o no. Escriu després la solució amb notació d'interval.

Un grup d'amics vol organitzar una festa de graduació. El lloguer del local costa $150$ € fixos, i el càtering costa $12$ € per cada assistent. Si disposen d'un pressupost màxim de $600$ €, planteja una inequació i calcula quin és el nombre màxim de persones que poden assistir a la festa.

Determina el conjunt de solucions de la inequació de segon grau següent analitzant el signe dels factors:

$x^2 - 9 > 0$

Expressa el resultat en forma d'intervals.

Comprova si els valors $x = 0$, $x = 2$ i $x = 5$ són solucions de la inequació quadràtica:

$x^2 - 5x + 4 \le 0$

Troba la solució del sistema d'inequacions lineals següent amb una incògnita i expressa-la en forma d'interval:

$\begin{cases} x + 3 > 1 \\ 2x - 4 \le 2 \end{cases}$

Pots ajudar-te d'aquesta recta numèrica per representar les solucions de cada inequació i la seva intersecció:

L'àrea d'un rectangle de base $5$ cm i altura $(x - 2)$ cm ha de ser menor que $30$ cm². Quins valors pot prendre la variable $x$? Tingues en compte que l'altura ha de ser sempre una quantitat positiva.

Resol la inequació següent amb parèntesis i simplifica el resultat:

$3(x - 1) + 2 > 5x - 7$

Una empresa de telefonia ofereix un pla pel qual cobra $10$ € de quota fixa mensual més $0,05$ € per cada minut de trucada. Una altra empresa cobra $5$ € de quota fixa però $0,15$ € per minut. A partir de quants minuts de conversa al mes resulta més econòmica la primera empresa?

La Lucía resol la不等ació de primer grau $7 - 3x \le 19$ per esbrinar a partir de quin valor una variable econòmica resulta admissible. En el seu examen escriu el procediment següent:

• Pas 1: $-3x \le 19 - 7$

• Pas 2: $-3x \le 12$

• Pas 3: $x \le \frac{12}{-3}$

• Pas 4: $x \le -4$

La Lucía conclou que el conjunt solució és $(-\infty, -4]$. Identifica en quin pas ha comès un error, explica quina propietat algebraica de les desigualtats no ha respectat (recolzant-te en el que passa amb l'ordre a la recta real en multiplicar o dividir per un nombre negatiu) i escriu la resolució correcta indicant la solució final en forma d'interval.

En una capital espanyola, el Consorci de Transports ofereix dues modalitats per als desplaçaments urbans: un abonament mensual amb tarifa plana de $20$ € sense límit de viatges, i una targeta multiviatge de $10$ trajectes que costa $6,10$ € (és a dir, $0,61$ € per viatge individual). Un estudiant de 1r de Batxillerat vol saber si li resulta rendible comprar l'abonament mensual per anar a l'institut durant un mes lectiu. Planteja una不等ació de primer grau que expressi la condició necessària perquè el cost de l'abonament mensual sigui menor que la despesa total en bitllets senzills en funció del nombre de viatges mensuals, $x$. Resol la不等ació i respon de manera raonada: si el mes té $21$ dies lectius i l'estudiant només fa dos trajectes cadascun d'aquests dies (anada i tornada), li convé adquirir l'abonament mensual o pagar els viatges solts?

Un grup d'estudiants de 1r de Batxillerat està organitzant una graduació. Han calculat que les despeses fixes de lloguer del local i el DJ són de $450$ €. A més, el càtering per cada assistent costa $12$ €. Si han recaptat un total de $1500$ € mitjançant la venda de butlletes i patrocinis, i volen que en acabar l'esdeveniment els sobrin almenys $210$ € per a un viatge de final de curs, redacta i resol una inequació que determini el nombre màxim de persones, $x$, que poden convidar.

En el gràfic pots veure els diners recaptats i les despeses en funció del nombre d'assistents.

En una competició de salts, l'altura $h$ (en metres) que aconsegueix un esportista respecte al temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = -t^2 + 4t + 1,5$. Determina l'interval de temps durant el qual el saltador es troba a una altura superior als $4,5$ metres.

Resol la següent inequació de primer grau, expressant la solució en forma d'interval i representant-la sobre la recta real:

Una empresa de fabricació de fundes per a mòbils ha determinat que els seus beneficis mensuals, en centenars d'euros, depenen del nombre d'unitats produïdes $x$ (en milers) segons la funció $B(x) = -2x^2 + 14x - 12$.

Entre quins valors de producció l'empresa obté beneficis (és a dir, $B(x) > 0$)? Resol la inequació i expressa la solució com un interval, en milers d'unitats.

Troba el conjunt de solucions del següent sistema d'inequacions:

L'àrea d'un jardí rectangular ha de ser menor que $54$ $m^2$. Es sap que la llargada del jardí fa $3$ metres més que l'amplada. Si anomenem $x$ a la mesura de l'amplada, planteja una inequació de segon grau i determina els possibles valors que pot prendre aquesta mesura.

Resol la següent inequació racional, tenint especial cura amb els valors que anul·len el denominador:

Donada l'equació de segon grau $x^2 - 6x + k = 0$, determina per a quins valors del paràmetre real $k$ l'equació no té solucions reals. Pista: Recorda que perquè no existeixin solucions reals, el discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ ha de complir una inequació específica.

Un gabinet d'assessoria econòmica modelitza el rendiment net $R(x)$ d'una petita empresa familiar en funció del nombre $x$ de lots de producte venuts al mes (amb $x \ge 0$). Després d'estudiar els balanços comptables, es constata que l'empresa obté beneficis estrictes (és a dir, $R(x) > 0$) exactament quan el nombre de lots venuts es troba en l'interval obert $(3, 8)$. Si la producció se situa exactament en $x = 3$ o en $x = 8$, el rendiment és nul ($R(x) = 0$), i per a qualsevol altre nivell de vendes s'obtenen pèrdues. A més, els costos fixos mensuals impliquen que si no es ven cap lot ($x = 0$), les pèrdues ascendeixen a $48$ centenars d'euros (és a dir, $R(0) = -48$). Determina raonadament la inequació de segon grau de la forma $ax^2 + bx + c > 0$ que descriu la zona de beneficis de l'empresa. Explica amb claredat com dedueixes els signes i els valors numèrics exactes dels coeficients $a$, $b$ i $c$ a partir de les arrels i del terme independent.

Per resoldre la不等ació $(2x - 5)^2 \le 9$, dos estudiants de Ciències Socials proposen dues estratègies diferents:

• En Marcos proposa desenvolupar el quadrat del binomi, transposar el $9$ al primer membre per obtenir una expressió de la forma $ax^2 + bx + c \le 0$, aplicar la fórmula quadràtica per trobar les dues arrels i construir una taula de signes per deduir l'interval solució.

• La Sara proposa restar $9$ a tots dos membres per escriure $(2x - 5)^2 - 3^2 \le 0$, aplicar la identitat notable de diferència de quadrats $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ per factoritzar directament l'expressió sense fer servir la fórmula general, o bé deduir que $|2x - 5| \le 3$.

Resol la不等ació aplicant el mètode proposat per la Sara. A continuació, compara totes dues vies: justifica quina resulta més directa per a aquest cas i argumenta si la proposta de factorització de la Sara continuaria sent igual d'avantatjosa si el segon membre hagués estat un nombre que no fos un quadrat perfecte, com ara el $7$, en lloc del $9$.

Una empresa de serveis de consultoria estima que els seus beneficis mensuals, expressats en milers d'euros, vénen donats per l'expressió racional $B(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 5}$, on $x$ representa el nombre de projectes gestionats simultàniament. Per raons operatives, l'empresa només pot gestionar entre 0 i 10 projectes. Determina l'interval de projectes per als quals l'empresa obté beneficis positius però meors o iguals a 4 mil euros, és a dir, resol el sistema:

$0 < \frac{x^2 - 9}{x - 5} \leq 4$

En un experiment sociològic sobre la difusió d'una notícia en una xarxa social, s'ha modelat que el nombre de persones que coneixen la notícia (en centenars) després de $t$ hores segueix la funció $N(t) = -t^2 + 12t - 20$. Al mateix temps, un equip de moderació intervé eliminant publicacions de manera que l'abast màxim permès per la normativa de la plataforma ve donat per $L(t) = 3t - 4$, és a dir, s'ha de complir $N(t) < L(t)$.

Calcula l'interval de temps (valors de $t$ en hores) en què la notícia es difon de manera natural ($N(t) > 0$) però el seu abast ja supera el límit permès per la plataforma.

Determina per a quins valors del paràmetre real $k$ la inequació de segon grau $x^2 + (k-2)x + k + 1 > 0$ es verifica per a qualsevol valor real de $x$. Aplica aquest resultat per explicar sota quines condicions un fons d'inversió que garanteix aquest rendiment mínim mai no entraria en pèrdues, independentment de la fluctuació del mercat $x$.

Un fabricant de components electrònics ha detectat que el cost unitari de producció $C$ depèn de la temperatura de la sala $T$ (en ºC) segons l'expressió $C(T) = |T^2 - 40T + 375|$. Perquè el producte sigui competitiu al mercat, el cost unitari no ha de superar els 25 euros.

A la figura tens la gràfica de $C(T)$ i la recta $C = 25$.

Resol la inequació $|T^2 - 40T + 375| \leq 25$ i determina els rangs de temperatura permesos per a la fabricació.

Una ONG distribueix lots d'aliments ($x$) i d'higiene ($y$). Disposa d'un pressupost màxim de 2000€. Cada lot d'aliments costa 20€ i cada un d'higiene 10€. Per logística, han d'enviar almenys 40 lots d'aliments i el nombre de lots d'higiene no pot superar el doble dels d'aliments. A més, perquè l'ajuda sigui equilibrada, la suma total de lots ha de ser almenys de 100.

Escriu el sistema d'inequacions lineals amb dues variables que representa aquestes restriccions i representa gràficament la regió factible en el pla.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba el conjunt de solucions del següent sistema d'inequacions amb una incògnita, parant atenció a la simplificació de les fraccions i a l'estudi de signes de la inequació quadràtica:

$\begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{x^2-1}{4} \geq 1 \\ |2x - 5| < 7 \end{cases}$

Es vol dissenyar un jardí rectangular de manera que el seu perímetre sigui exactament de 60 metres. Si l'àrea del jardí ha d'estar compresa entre 125 i 200 metres quadrats, quins valors pot prendre la longitud del costat més llarg del jardí? Expressa el resultat en forma d'interval.

Resol la següent inequació racional de segon grau, assegurant-te de considerar correctament el domini de l'expressió i els intervals on el quocient canvia de signe:

$\frac{3}{x-2} \leq \frac{x}{x+3}$

Indica detalladament els valors que queden exclosos de la solució per anul·lar el denominador.

Una almàssera cooperativa de Jaén envasa oli d'oliva verge extra. Els tècnics comercials estimen que fixant un preu de venda de $p$ euros per garrafa (amb $p > 20$), el benefici mensual $B(p)$ (expressat en centenars d'euros) segueix el model parabòlic $B(p) = -2p^2 + 140p - 1600$. L'assemblea de socis estableix com a fita indispensable assolir un benefici mensual d'almenys $600$ centenars d'euros ($60\,000$ €).

1. Estima: Abans de fer càlculs algebraics formals, troba les coordenades del vèrtex de la paràbola per determinar el preu que maximitza el benefici i quin és aquest benefici màxim. A partir d'aquesta informació, argumenta sense resoldre la不等ació si la fita de la cooperativa és viable i estima raonadament entre quins dos preus aproximats s'hauria de situar la garrafa.

2. Calcula: Planteja la不等ació quadràtica que modelitza l'exigència de la cooperativa, resol-la pas a pas mitjançant l'estudi del signe a la recta real i escriu l'interval exacte de preus admissibles $[p_1, p_2]$.

3. Comprova i reflexiona: Comprova si l'interval obtingut concorda amb la teva estimació prèvia i explica, des d'una perspectiva econòmica i social, per què preus superiors a $p_2$ provoquen que el benefici caigui per sota del llindar exigit malgrat que cada garrafa es vengui més cara.

Un fons d'inversió socialment responsable analitza la viabilitat d'una cartera l'índex de volatilitat temporal de la qual ve modelitzat pel polinomi quadràtic $V(t) = t^2 - 2(m + 1)t + (m^2 + 5m + 4)$, on $t$ representa el temps transcorregut en trimestres i $m$ és un paràmetre d'ajust regulatori fixat per la direcció. El comitè de riscos exigeix que la volatilitat sigui estrictament positiva en tot moment per evitar escenaris de col·lapse, és a dir, que la不等ació quadràtica $t^2 - 2(m + 1)t + (m^2 + 5m + 4) > 0$ es verifiqui per a QUALSEVOL valor real del temps ($t \in \mathbb{R}$).

Calcula raonadament per a quins valors del paràmetre $m$ es garanteix aquesta exigència. Justifica la teva resposta analitzant la relació geomètrica i analítica entre el signe del coeficient principal, la condició sobre el discriminant $\Delta$ perquè no existeixin arrels reals i la posició de la paràbola respecte a l'eix horitzontal, explicant per què no seria matemàticament vàlid limitar-se a comprovar uns quants valors aleatoris de $t$.