Exercicis: Fraccions algebraiques

Simplifica la fracció algebraica següent utilitzant les identitats notables per descompondre el numerador:

Indica per a quin valor de $x$ l'expressió original no té sentit matemàtic.

Extreu factor comú al numerador i al denominador per simplificar al màxim l'expressió següent:

Un error molt comú entre els estudiants és "ratllar" termes que estan sumant. Observa la il·lustració següent i raona, sense realitzar càlculs complexos, per què la igualtat plantejada és falsa:

Quina condició s'hauria de complir perquè la simplificació fos correcta?

Calcula la suma de les fraccions algebraiques següents. Com que tenen el mateix denominador, recorda que només has d'operar amb els numeradors:

Realitza el producte de fraccions algebraiques següent i simplifica el resultat abans de multiplicar els termes si és possible:

Resol la divisió de fraccions algebraiques següent transformant-la en un producte en creu i simplificant el resultat final:

L'àrea d'un cartell publicitari rectangular ve donada per l'expressió polinòmica $A(x) = x^2 - 1$. Si sabem que la base del cartell fa $x + 1$, troba l'expressió algebraica simplificada que representa l'altura $h$.

Una empresa de missatgeria calcula el cost d'enviament de $x$ paquets mitjançant la fórmula $C(x) = 2x^2 + 10x$ euros. Escriu la fracció algebraica que representa el cost mitjà per paquet i simplifica-la al màxim.

Nota: El cost mitjà es calcula dividint el cost total $C(x)$ entre el nombre de paquets $x$.

En un examen de la primera avaluació, Sergio simplifica la fracció algebraica $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$ escrivint al seu full el següent:

1. a) Explica amb rigor algebraic per què el primer pas de Sergio és un error greu: per què no es poden ratllar sumands en una fracció? Per convèncer Sergio, posa un contraexemple numèric calculant el valor de la fracció original i el del seu resultat per a $x = 4$.
2. b) Fes la simplificació correcta factoritzant prèviament el numerador i el denominador.
3. c) Indica per a quins valors de $x$ la fracció original no està definida i comprova si en l'expressió errònia de Sergio aquests valors produïen el mateix problema.

Dissenya una fracció algebraica $\frac{P(x)}{Q(x)}$, on $P(x)$ i $Q(x)$ siguin polinomis amb coeficients reals, que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. El seu denominador s'anul·la única i exclusivament per a $x = 3$ i per a $x = -1$.

2. El grau tant del numerador com del denominador és 2.

3. La fracció es pot simplificar cancel·lant el factor comú $(x - 3)$.

4. Després de simplificar-la del tot, l'expressió irreductible resultant és $\frac{x + 2}{x + 1}$.

Escriu la fracció original $\frac{P(x)}{Q(x)}$ amb els polinomis desenvolupats (sense productes indicats) i justifica pas a pas per què satisfà cadascuna de les quatre condicions demanades.

Un equip d'enginyers aeroespacials està analitzant la resistència d'un nou material compost. La relació entre la deformació i la càrrega aplicada ve donada per la següent fracció algebraica:

Factoritza el numerador i el denominador per simplificar l'expressió al màxim i facilitar els càlculs posteriors de l'equip.

En un estudi sobre la propagació d'una notícia a les xarxes socials, s'ha determinat que el temps de resposta dels usuaris (en segons) depèn de dues variables combinades en la següent operació:

Realitza l'operació reduint a comú denominador i simplifica el resultat per obtenir una única fracció algebraica que modeli aquest comportament.

Una empresa de logística urbana utilitza drons per repartir paquets. L'àrea de la base de les caixes de transport és rectangular i les seves dimensions, en decímetres, vénen donades per les expressions que es mostren en la imatge. Calcula l'expressió simplificada que representa l'àrea total de la base de la caixa multiplicant totes dues dimensions.

Les dimensions són $Largo = \frac{x^2 - 1}{x}$ i $Ancho = \frac{x+2}{x-1}$. Calcula l'àrea del rectangle simplificant el producte de totes dues fraccions.

Un analista financer està comparant la rendibilitat de dos fons d'inversió. La diferència de rendibilitat entre tots dos s'expressa mitjançant el quocient de dues fraccions algebraiques:

Resol la divisió i simplifica el resultat final perquè l'analista pugui presentar un informe més clar als seus clients.

En el disseny d'un nou parc intel·ligent, els arquitectes volen que la proporció entre la zona de gespa i la zona de jocs segueixi una regla específica. Perquè el projecte sigui aprovat, la fracció algebraica següent s'ha de poder simplificar:

Calcula el valor de la constant $k$ perquè el numerador sigui divisible pel denominador i realitza la simplificació.

Un grup d'estudiants de 1r de Batxillerat està realitzant un experiment de química sobre la velocitat de reacció. Han obtingut una expressió complexa que necessiten simplificar abans d'introduir les dades en el seu programari de simulació:

Opera seguint la jerarquia de les operacions i simplifica el resultat final.

S'està dissenyant un microxip on el flux de dades per un canal es regeix per la suma de dos inversos de capacitat. L'expressió resultant és:

Simplifica aquesta "fracció de fraccions" (fracció complexa) per obtenir una única expressió algebraica lineal o quadràtica que defineixi el flux total.

Dos ciclistes recorren la mateixa distància $d$. El primer ho fa a una velocitat mitjana de $x$ km/h i el segon a una velocitat mitjana de $x+5$ km/h. La diferència de temps (en hores) que triguen a completar el recorregut ve donada per l'expressió:

Si la distància és constant $d = 100$ km, opera la resta de fraccions algebraiques i obtén una única expressió que relacioni la diferència de temps amb la velocitat $x$.

Per resoldre la següent operació combinada amb fraccions algebraiques:

dos alumnes de 1r de Batxillerat proposen camins diferents:

• Mètode de Sofía: Opera primer la resta del parèntesi reduint a comú denominador i, a continuació, efectua la divisió multiplicant per la fracció inversa i simplificant.

• Mètode de Mateo: Inverteix en primer lloc la segona fracció per transformar la divisió en una multiplicació, aplica la propietat distributiva multiplicant aquesta fracció per cadascun dels termes del parèntesi i simplifica cada producte abans de restar.

1. a) Resol l'operació seguint pas a pas el procediment de Sofía.
2. b) Resol l'operació seguint pas a pas el procediment de Mateo.
3. c) Compara tots dos camins: quin dels dos mètodes ha requerit manejar polinomis de menor grau i minimitza el risc d'equivocar-se amb els signes? Justifica quin recomanaries a un company.

Una petita empresa de Toledo calcula el cost unitari mitjà d'assemblatge (en centenars d'euros) d'un model d'inversor solar segons el nombre $x$ de lots produïts (mesurat en centenars d'unitats, amb $x > 1$), mitjançant l'expressió:

1. a) Estima: Abans d'operar amb llapis i paper, analitza el comportament de cada fracció si la fàbrica assolís una producció enorme (per exemple, imaginant $x = 100$). Estima raonadament a quin valor enter tendirà el cost unitari mitjà $C(x)$ comparant mentalment els termes de major grau de cada fracció.
2. b) Calcula: Fes algebraicament la resta factoritzant els denominadors, reduint a comú denominador i simplificant fins a obtenir una única fracció irreductible.
3. c) Comprova: Substitueix $x = 100$ a la teva fracció simplificada per obtenir el valor numèric exacte (pots arrodonir a dues xifres decimals). És coherent amb l'estimació que havies fet a l'apartat a)? Quin avantatge econòmic ofereix augmentar el volum de producció segons aquest model?

Simplifica al màxim la següent expressió algebraica, factoritzant prèviament tots els polinomis mitjançant identitats notables i la regla de Ruffini:

Determina els valors dels paràmetres reals $A$ i $B$ perquè la següent igualtat entre fraccions sigui vàlida per a qualsevol valor de $x$ que no anul·li els denominadors:

Al departament de màrqueting d'una empresa de cosmètics, han determinat que el cost total (en euros) d'una campanya publicitària a les xarxes socials ve donat per l'expressió $C(x) = \frac{2x^2 + 10x}{x - 1}$, on $x$ és el nombre de dies que dura la campanya ($x > 1$). D'altra banda, el nombre de clients nous assolits s'estima mitjançant $N(x) = \frac{x^2 + 5x}{x^2 - 1}$.

Obté i simplifica l'expressió de la "Inversió per Client" ($IC$), definida com el quocient entre el cost total i el nombre de clients assolits: $IC(x) = \frac{C(x)}{N(x)}$.

Realitza la següent operació combinada i simplifica el resultat fins a obtenir una fracció irreductible:

Demostra, mitjançant el desenvolupament i la simplificació de la part esquerra de la igualtat, que l'expressió següent és una identitat (el resultat és constant):

Les "fraccions contínues" són expressions on els denominadors contenen al seu torn altres fraccions. Simplifica la següent estructura per convertir-la en una única fracció algebraica racional:

Es vol dissenyar un dipòsit d'emmagatzematge de gra amb forma de prisma rectangular. La relació entre el volum $V$ i l'àrea de la base $B$ defineix l'alçària $h = \frac{V}{B}$.

Si el volum del dipòsit ve donat per $V(x) = x^3 - 7x + 6$ i l'àrea de la base per $B(x) = x^2 + x - 6$, expressa l'alçària $h$ com un polinomi simplificat. Per a quin valor de $x$ l'alçària del dipòsit seria de $5$ metres?

Troba el valor dels coeficients $a$ i $b$ sabent que el polinomi $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 12$ ésEndivible per $(x - 2)$ i que en simplificar la fracció algebraica $\frac{P(x)}{x^2 - x - 6}$ s'obté un polinomi de primer grau. Un cop trobats $a$ i $b$, realitza aquesta simplificació.

Un tren d'alta velocitat cobreix el trajecte de $360\text{ km}$ entre Madrid-Chamartín i Valencia-Joaquín Sorolla. En el viatge d'anada circula a una velocitat mitjana constant $v$ (en $\text{km/h}$). En el viatge de tornada, a causa d'un avís de l'AEMET per fortes ratxes de vent creuat a la comarca de La Manchuela, el tren es veu obligat a reduir la seva velocitat mitjana en $30\text{ km/h}$.

1. a) Escriu la fracció algebraica que representa el temps total d'anada i tornada emprat pel tren en funció de $v$, i redueix-la a una sola fracció irreductible.
2. b) La velocitat mitjana global de tot el viatge (anada i tornada) no es calcula sumant velocitats, sinó dividint la distància total recorreguda ($720\text{ km}$) entre el temps total invertit. Determina l'expressió algebraica irreductible d'aquesta velocitat mitjana global, $V_m(v)$.
3. c) Un portaveu de la companyia assegura que la velocitat mitjana global és senzillament la mitjana aritmètica de les dues velocitats: $\frac{v + (v - 30)}{2} = v - 15$. Comprova si és cert calculant la diferència algebraica $(v - 15) - V_m(v)$ com una única fracció. Demostra que per a qualsevol velocitat real admissible ($v > 30\text{ km/h}$) aquesta diferència és estrictament positiva i explica què significa això a la pràctica per a la planificació d'horaris.

El departament de logística d'una empresa de paqueteria urgent modelitza el temps d'espera (en minuts) en una plataforma de distribució mitjançant la suma de dues fraccions simples:

on $x$ és el nombre d'operaris en torn ($x > 2$) i $A$ i $B$ són constants reals fixes.

1. a) Després de reduir a comú denominador i sumar ambdues fraccions, l'equip tècnic obté l'expressió única:

Planteja la identitat algebraica corresponent i iguala els coeficients del numerador per deduir de manera justificada els valors exactes de $A$ i de $B$.

1. b) Per optimitzar el sistema, es proposa multiplicar $f(x)$ pel factor d'ajust $g(x) = \frac{x^2 - 4}{7x^2 + 22x + 3}$. Fes l'operació combinada $f(x) \cdot g(x)$, descomponent prèviament en factors tots els polinomis per simplificar l'expressió al màxim.
2. c) Determina amb precisió els dominis de definició: per a quins valors de $x$ la funció producte original $f(x) \cdot g(x)$ no es pot avaluar, però en canvi sí que es podria calcular el valor numèric a la fracció simplificada obtinguda a l'apartat b)? Raona per què simplificar una fracció algebraica pot ocultar restriccions del domini original.