Diagramas de árbol y tablas de contingencia

Un estudiante de 2º de Bachillerato se presenta a un examen final de Física. Se sabe que el $70\%$ de los alumnos que estudiaron con la plataforma digital del centro aprobaron, mientras que solo el $40\%$ de los que no la usaron consiguieron el aprobado. Se estima que el $60\%$ de la clase utilizó dicha plataforma.

Utilizando un diagrama de árbol, determina:

1. a) La probabilidad de que un alumno elegido al azar haya aprobado el examen.
2. b) Si sabemos que un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya usado la plataforma digital?

Una caja de suministros tecnológicos contiene $8$ ratones inalámbricos de color blanco y $4$ de color negro. Si se extraen sucesivamente dos ratones sin reemplazamiento:

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que describa todos los resultados posibles, indicando las probabilidades en cada rama.
2. b) Calcula la probabilidad de que los dos ratones extraídos sean del mismo color.

En una academia de idiomas, los alumnos se dividen según el curso que realizan: el $50\%$ estudia Inglés, el $30\%$ Francés y el $20\%$ Alemán. Además, se sabe que el porcentaje de mujeres en cada curso es del $60\%$, $55\%$ y $45\%$ respectivamente.

Si se elige un estudiante al azar, construye una tabla de contingencia (considerando un total hipotético de 1000 estudiantes) y calcula:

1. a) La probabilidad de que el alumno sea hombre.
2. b) Sabiendo que el alumno es hombre, la probabilidad de que estudie Inglés.

En un estudio sobre el uso de redes sociales en un instituto de Madrid, se ha observado que de un grupo de $100$ estudiantes de Bachillerato, $65$ utilizan TikTok habitualmente y $45$ utilizan Instagram. Además, se sabe que $25$ alumnos utilizan ambas plataformas.

Representa estos datos en una tabla de contingencia y calcula la probabilidad de que, al elegir un estudiante al azar:

1. a) No utilice ninguna de las dos redes sociales.
2. b) Utilice TikTok, sabiendo que ya utiliza Instagram.

Una plataforma de streaming ofrece dos tipos de suscripciones: Estándar y Premium. Se sabe que el $60 \%$ de los usuarios tiene la suscripción Estándar, mientras que el resto tiene la Premium. De los usuarios con suscripción Estándar, el $25 \%$ consume contenido en resolución 4K, mientras que entre los usuarios Premium, este porcentaje asciende al $80 \%$.

Representa la situación mediante un diagrama de árbol y calcula:

1. a) La probabilidad de que un usuario elegido al azar consuma contenido en 4K.
2. b) Si sabemos que un usuario está viendo una película en 4K, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una suscripción Estándar?

En una prestigiosa academia de e-sports, los jugadores se clasifican según su rendimiento en dos categorías: Élite ($E$) y Promesa ($P$). Se ha realizado un estudio sobre el uso de teclados mecánicos ($M$) y teclados de membrana ($\bar{M}$).

Se sabe que el $30 \%$ de los jugadores son de categoría Élite. Además, entre los jugadores Promesa, la probabilidad de que usen teclado de membrana es el doble que la de que usen teclado mecánico. Por último, se sabe que la probabilidad de que un jugador elegido al azar sea Élite y use teclado mecánico es de $0,24$.

1. a) Construye la tabla de contingencia completa con las probabilidades de cada suceso.

1. b) Calcula la probabilidad de que un jugador use teclado mecánico.

1. c) Si seleccionamos un jugador que utiliza teclado mecánico, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la categoría Promesa?

1. d) ¿Son independientes los sucesos "ser jugador Élite" y "usar teclado mecánico"? Justifica tu respuesta matemáticamente.