Definición de matriz

Tres amigos, Alex, Bea y Cris, están comparando sus estadísticas en un videojuego de disparos tras la última partida. Los datos de "Bajas", "Muertes" y "Asistencias" son los siguientes:

• Alex: 12 bajas, 5 muertes, 8 asistencias.

• Bea: 15 bajas, 2 muertes, 10 asistencias.

• Cris: 9 bajas, 7 muertes, 12 asistencias.

1. a) Escribe la matriz $S$ de dimensiones $3 \times 3$ que represente esta información, situando a los jugadores por filas y las estadísticas por columnas (en el orden mencionado).
2. b) Indica el valor de los elementos $s_{21}$ y $s_{32}$ y explica qué representan en el contexto del problema.
3. c) ¿Cuál es la dimensión de la matriz traspuesta $S^t$?

Identifica la dimensión de las siguientes matrices y clasifícalas según su forma (fila, columna, cuadrada o rectangular):

1. a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 \end{pmatrix}$
2. b) $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
3. c) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
4. d) $D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Una tienda de ropa deportiva tiene dos sedes, una en Madrid y otra en Barcelona. El inventario de sudaderas (tallas S, M, L) al principio de mes se organiza en las siguientes matrices, donde las filas representan las tallas en orden creciente:

1. a) Identifica el tipo de matriz (fila, columna o cuadrada) y su dimensión.
2. b) Si el gerente decide unir ambos inventarios en una única matriz $I$ de $3 \times 2$, escribe cómo quedaría dicha matriz.
3. c) ¿Qué representa el elemento $i_{21}$ de la nueva matriz?

Determina los valores de $x$, $y$ y $z$ para que las siguientes matrices sean iguales:

Escribe de forma explícita los elementos de la matriz $A = (a_{ij})$ de dimensión $3 \times 4$ definida por la siguiente ley de formación:

$a_{ij} = \begin{cases} i^2 - j & \text{si } i \geq j \\ (-1)^{i+j} \cdot (i+j) & \text{si } i < j \end{cases}$

Considera la matriz cuadrada $C$ de orden 3 dada por:

1. a) Indica cuáles son los elementos que forman la diagonal principal.
2. b) Calcula la traza de la matriz $C$ (la suma de los elementos de su diagonal principal).
3. c) Escribe la matriz traspuesta $C^t$.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a-b & 2 & 3 \\ c & a+b & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, calcula los valores de $a$, $b$ y $c$ para que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

• La traza de la matriz $M$ es igual a $10$.

• El elemento $m_{22}$ es el triple que el elemento $m_{11}$.

• La matriz $M$ sumada a su traspuesta da como resultado una matriz diagonal.

Construye la matriz cuadrada $B = (b_{ij})$ de orden 2 tal que sus elementos sigan la siguiente condición lógica:

¿Cómo se llama este tipo de matriz especial?

Construye una matriz $B$ de orden 3 sabiendo que:

• Es una matriz triangular superior.

• Los elementos de la diagonal principal siguen la progresión $b_{ii} = 2i + 1$.

• Para los elementos por encima de la diagonal, se cumple que $b_{ij} = j^i$.

• Calcula la suma de todos los elementos de la matriz resultante.

Determina los valores de los parámetros reales $x$, $y$ y $z$ para que las siguientes matrices $A$ y $B$ sean iguales, sabiendo que $A$ es una matriz cuadrada de orden 3 y $B$ representa su traspuesta ($B = A^t$):

$A = \begin{pmatrix} 2 & x+y & 5 \\ 3 & 0 & z^2 \\ x-y & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Halla la forma general de todas las matrices cuadradas de orden 2 que son, al mismo tiempo, simétricas y antisimétricas. Justifica tu respuesta basándote en las definiciones de $A^t = A$ y $A^t = -A$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & x-1 \\ y+2 & 3 \end{pmatrix}$. Determina los valores de $x$ e $y$ para que la matriz sea simétrica y su traza coincida con el valor del elemento $a_{12}$. Una vez hallados, clasifica la matriz resultante dentro de los tipos de matrices estudiados.

Determina los valores de los parámetros reales $x$, $y$ y $z$ para que la siguiente matriz $M$ sea antisimétrica:

$M = \begin{pmatrix} \ln(x-1) & x+y & 2z-4 \\ 1 & e^y - 1 & z^2-1 \\ -2 & 0 & \cos(\pi z) + 1 \end{pmatrix}$

Justifica razonadamente si existe algún valor de los parámetros que permita que la traza de $M$ sea distinta de cero.