Operaciones con matrices

En el desarrollo de un nuevo motor para drones, un equipo de ingenieros utiliza una matriz de transferencia $M$ que relaciona las vibraciones en tres puntos estructurales. La matriz viene dada por:

$$M = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

donde $a$ y $b$ son parámetros reales no nulos.

1. a) Demuestra que la matriz $M$ es nilpotente y determina su índice de nilpotencia (el menor exponente $k$ tal que $M^k = O$).
2. b) Utiliza el resultado anterior para calcular de forma simplificada la matriz $S = I + M + M^2 + M^3 + \dots + M^{100}$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3.

Dadas las dimensiones de las siguientes matrices:

• $A$ es una matriz de orden $2 \times 3$

• $B$ es una matriz de orden $3 \times 4$

• $C$ es una matriz de orden $4 \times 2$

Indica razonadamente cuáles de los siguientes productos se pueden realizar y, en caso afirmativo, especifica la dimensión de la matriz resultante:

1. a) $A \cdot B$
2. b) $B \cdot A$
3. c) $(A \cdot B) \cdot C$

Calcula el producto de las matrices $A$ y $B$ en el orden $A \cdot B$, siendo:

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

En una competición de deportes electrónicos (eSports), la puntuación de dos equipos en tres juegos diferentes se organiza en una matriz $A$. Por otro lado, la matriz $B$ representa el valor de los premios en función de la posición alcanzada.

Dadas las matrices:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el producto $C = A \cdot B$ e interpreta qué representa el elemento $c_{11}$ si las filas de $A$ son los equipos y las columnas de $B$ son los tipos de bonificación (puntos por victoria y puntos por consistencia).

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, demuestra que el producto de matrices no es conmutativo calculando:

1. a) $A \cdot B$
2. b) $B \cdot A$

Compara ambos resultados.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula $(A+B)^2$.
2. b) Calcula $A^2 + 2AB + B^2$.
3. c) Compara ambos resultados y justifica por qué, en el álgebra de matrices, la identidad notable del binomio al cuadrado no se cumple de forma general. ¿Qué condición debería cumplirse para que fuera cierta?

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcula las potencias $A^2$ y $A^3$. A la vista del resultado, ¿podrías deducir cuál sería la expresión de $A^n$ para cualquier número natural $n$?

Dada la matriz cuadrada $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula $A^2$, $A^3$ y $A^4$.
2. b) Basándote en los resultados anteriores, conjetura una fórmula general para $A^n$ donde $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Demuestra la fórmula obtenida utilizando el método de inducción matemática.

Dada la matriz cuadrada de orden 3:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcula las potencias $A^2$, $A^3$ y $A^4$. A partir de los resultados obtenidos, conjetura una fórmula general para la expresión de $A^n$ en función de $n \in \mathbb{N}$ y demuéstrala mediante el método de inducción matemática.

Halla la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación polinómica matricial:

$X = A^2 - 5A + 2I$

Siendo $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 2.

Sea $M$ una matriz cuadrada de orden 2 que verifica la ecuación polinómica $M^2 - 5M + 6I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula.

1. a) Si $M = \begin{pmatrix} 4 & x \\ 2 & y \end{pmatrix}$, encuentra los valores de $x$ e $y$ para que se cumpla la ecuación.
2. b) Utilizando únicamente la relación $M^2 = 5M - 6I$, expresa la matriz $M^4$ como una combinación lineal de $M$ e $I$ (es decir, halla los escalares $\alpha$ y $\beta$ tales que $M^4 = \alpha M + \beta I$).